[양상논리] 9장 발제 (미완성)

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Chapter 9 – Incompleteness

과학사 및 과학철학 협동과정 2004-20309 정동욱 | 제출일 : 2004.7.21

이번 장에서 우리는 어떤 체계의 모든 정리가 정확히 f-타당하게 되는 프레임들의 집합 f가 존재하지 않는다는 의미에서 불완전한 어떤 체계가 있다는 것을 보일 것이다.

프레임과 모형

바른식들의 어떤 집합에 속한 원소들이 모두 어떤 모형 하에서 타당하다고 해서, US, MP, N에 의해 그들로부터 도출되는 모든 바른식들이 그 모형 하에서 타당하다고 확신할 수 없다. 우리느 단지 그 바른식들 자신뿐만 아니라 그들의 모든 대입예들이 그 모형 하에서 타당하다면, 위와 같이 도출된 바른식들이 타당할 것이라는 것만을 확신할 수 있다. 이러한 결과를 다음과 같이 서술할 수 있다.

정리 9.1        만일 바른식들의 집합 에 속한 모든 원소들의 모든 대입예가 어떤 모형 <W,R,V> 하에서 타당하다면, K + 의 모든 정리들 역시 <W,R,V> 하에서 타당하다.

대략적인 증명 : 모형 <W,R,V>가 있다고 하자. 어떤 바른식의 모든 대입예가 <W,R,V> 하에서 타당할 때 오직 그 때만 그 바른식은 일반화 가능하다(generalizable)고 부르자. 이 때, 위의 정리 9.1의 가정은 S의 모든 공리, 즉 의 모든 바른식이 일반화 가능하다는 것이다. 이러한 가정에서 정리 9.1의 증명은 어떤 변화규칙에 의해 일반화 가능한 바른식들로부터 도출되는 모든 바른식은 그 자체가 다시 일반화 가능하다는 것을 보여주는 형식으로 진행한다.

불완전한 모형 체계

KH는 다음의 바른식을 K에 덧붙인 체계이다.

H        

우리는 KH가 불완전하다는 것, 즉 프레임들의 어떤 집합도 그것을 특성화하지 못한다는 것을 보이고자 한다. KH의 불완전성을 보이기 위해, 다음의 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.

A        만일 H가 F 하에서 타당하다면, 도 역시 그렇다.
B        는 KH의 정리가 아니다.

먼저 우리가 왜 이 두가지가 KH의 불완전성을 확립하는지를 알아야 한다. KH가 완전하다고 말하는 것은 다음과 같은 프레임들의 집합 f가 존재한다는 말과 같다.

C        (i) 만약라면, 는 모든 Ff에서 타당하다.
        (ii) 만약 가 모든 Ff에서 타당하다면,이다.

우리는 C가 A, B와 함께 모순을 낳는다는 것을 보이고자 한다. 어떤 Ff를 고려하자. H이기 때문에, C(i)에 의해 H는 F에서 타당하다. 그런데, A에 의해 는 F에서 타당하다. 따라서, C(ii)에 의해 이고, 이는 B와 모순된다.

KH와 KW

KH에 대한 모든 프레임들의 집합이 특성화하는 체계가 바로 KW이다.
즉, f가 KH에 대한 프레임들의 집합이라 할 때, 는 +KW일 때 오직 그 때에만 f-타당하다

증명 1: 우선, KH + 4 = KW 임을 보인다.
(i) +KH+4W
(ii) KW가 4를 포함
(iii) +KWH

증명 2 : +KW라고 가정해보자. 그러면 +KH+4일 것이다. 그리고, f의 모든 프레임들은 또한 KH+4에 대한 프레임들일 것이기 때문에, (위의 (A)에 의해) 는 f-타당하다. 만약 +KW라면, 앞장에서 확립한 KW의 완전성으로부터 는 KW에 대한 어떤 프레임에서 타당하지 않을 것이다. 그러나, KW는 KH를 포함하기 때문에, KW에 대한 프레임은 마찬가지로 KH에 대한 프레임이 되고, 그에 따라 는 f-타당하지 않게 된다.

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