[양상논리] 9장 발제 보완

9balje2.hwp 논리철학연습 발제
Chapter 9 – Incompleteness

과학사 및 과학철학 협동과정 2004-20309 정동욱 | 제출일 : 2004.7.21

이번 장에서 우리는 어떤 체계의 모든 정리가 정확히 f-타당하게 되는 프레임들의 집합 f가 존재하지 않는다는 의미에서 불완전한 어떤 체계가 있다는 것을 보일 것이다.

프레임과 모형

정리 9.1        만일 바른식들의 집합 에 속한 모든 원소들의 모든 대입예가 어떤 모형 <W,R,V> 하에서 타당하다면, K + 의 모든 정리들 역시 <W,R,V> 하에서 타당하다.

증명 : 정리 구성에 대한 귀납으로 증명한다.
라 하고,
로 정의할 때,
의 모든 원소들이 타당한 모형 <W,R,V>에서 의 원소들은 모두 타당할 수밖에 없다.
왜냐하면, 의 모든 원소들이 모형 <W,R,V>에서 타당하다면, 의 모든 원소들도 타당하기 때문이다.

한편, K +  체계의 정리들은 공리들로부터 시작하여 N, MP 또는 US를 차례차례 적용시켜 만든 바른식이며, 오직 K +  체계의 정리들만이 의 원소가 된다.
i) N 규칙 : 일때,
ii) MP 규칙 : 일 때,
iii) US 규칙 : 일때,

iii)을 증명하기 위해서는, 다시 귀납적인 증명을 해야 한다.
① 일때,
② 일때, 이라고 가정하면,
첫째, 이고  (왜냐하면, )
둘째, 에 대해, 이고  (왜냐하면, )
따라서, 일때, 이 된다.

이로써, K + 의 정리들은 의 원소이며, 의 모든 원소들은 가 타당한 모형 <W,R,V>에서 타당하다.

KH와 KW

KH에 대한 모든 프레임들의 집합이 특성화하는 체계가 바로 KW이다.
즉, f가 KH에 대한 프레임들의 집합이라 할 때, 는 +KW일 때 오직 그 때에만 f-타당하다

증명 1: 우선, KH + 4 = KW 임을 보인다.

(i) +KH+4W
PC                (1)
(1) []        (2)
4 (2) MP                (3)
(3) L-dis, Eq        (4)
(4) DR1                (5)
H                (6)
(6) []        (7)
(5)(7) Syll                (8)
PC                (9)
(9) []        (10)
(10) DR1                (11)
(8)(11) Syll        (12)

(ii) KW가 4를 포함한다 (Ch. 8 p.150)

(iii) +KWH
PC                (1)
(1) []        (2)
(2) DR!                (3)
W                (4)
(3)(4) Syll                (5)

증명 2 : +KW라고 가정해보자. 그러면 +KH+4일 것이다. 그리고, f(KH에 대한 프레임 집합)의 모든 프레임들은 또한 KH+4에 대한 프레임들일 것이기 때문에, (위의 p.160의 A에 의해) 는 f-타당하다. 만약 +KW라면, 앞장에서 확립한 KW의 완전성으로부터 는 KW에 대한 어떤 프레임에서 타당하지 않을 것이다. 그러나, KW는 KH를 포함하기 때문에, KW에 대한 프레임은 마찬가지로 KH에 대한 프레임이 되고, 그에 따라 는 f-타당하지 않게 된다.

완전성 그리고 유한 모형 속성

유한모형속성 : 체계 S의 정리가 아닌 바른식 에 대해서는 항상 그 가 타당하지 않은 S의 유한 프레임이 있을 때 오직 그 때에만, 체계 S는 유한모형속성을 지닌다.
과연, 체계 유한모형속성을 지닌 체계에 대해서는 완전성이 자동적으로 따라나올까? f가 S에 대한 모든 유한 프레임들의 집합이라고 하면 그 f가 S를 특성화하는 귀결을 갖게 될 것으로 짐작되지만, 과연 그럴까?
체계 S에 대한 유한모형은 존재하지만, 그 유한모형이 기반하고 있는 어떤 프레임도 S에 대한 유한프레임이 아니라면, 유한모형이 기반하고 있는 프레임들의 집합으로 체계 S를 특성화할 수 없을 것이다.
그러나, 이는 불가능하다.

증명 : 만일 S에 대한 어떤 유한 모형에서 가 타당하지 않으면, 그 모형을 쉽게 S에 대한 유한프레임에 기반한 어떤 모형으로 변환할 수 있다는 것을 보임으로써 진행한다.

i) S의 모든 정리가 타당한 어떤 모형 <W,R,V>에서, 에 대해 V이라고 가정하자.
이 모형으로부터 ‘동등한’ 어떤 두 세계도 포함하지 않고 타당성을 보존시키는 방식으로 <W*,R*,V*>를 구성한다. (이는 동등한 세계 중 하나만 남기고 나머지는 누락시키는 방식으로 얻을 수 있다.)
이 경우, <W,R,V>가 S에 대한 모형이라면, <W*,R*,V*> 또한 S의 모형이다. 즉, 가 <W,R,V>에서 타당사지 않으면 <W*,R*,V*>에서도 타당하지 않으며, 이는 가 S의 유한모형에서 타당하지 않으면 그것은 동등한 세계를 포함하지 않은 (유한)모형에서도 타당하지 않다는 것을 의미한다.

ii) 동등한 세계를 포함하지 않은 S에 대한 어떤 유한모형 <W*,R*,V*>를 상정하자.
이 모형에서는 세계마다 오직 자기세계 에서만 타당한 바른식 가 존재한다.

iii) 이제 <W*,R*,V*>가 S에 대한 모형이면서, <W*,R*>가 S에 대한 프레임이라는 것을 보이자.
<W*,R*,V*>가 S에 대한 모형이지만, <W*,R*>가 S에 대한 프레임은 아니라고 가정하자.
그러면, W*에 속하는 와 S의 어떤 정리 에 대해, 이 성립하는 어떤 모형 <W*,R*,V’>가 존재한다.
이 모형의 각 명제변항 는 어떤 세계들의 모임()에서는 참이고, 나머지 세계에서는 거짓이다.
한편, 가  (란 모형 <W*,R*,V*>에서 오직 에서만 타당한 바른식)이면, .
이제 가 정리 의 부분식이라 하고, 이 의 각 변항 를 로 대치한 결과라고 하면, .
특히, 가  자신인 경우, 이 된다. 그러나, 은 의 대입예이고, 따라서 은 S의 정리이다. 따라서 는 0이 될 수 없다. 따라서 이는 모순.

일반적 프레임(general frame)

<W,R,P>는 다음의 조건을 만족할 때 오직 그 때만 일반적 프레임이다.
(a) W는 공집합이 아닌 집합이다.
(b) R은 W에서 정의된 이항관계이다.
(c) P는 W의 원소들로 구성된 집합을 부분집합으로 가지는 집합으로서(즉, PpW) 다음의 조건을 만족한다.
  (i) 만약 AP이면, W-AP이다.
  (ii) 만약 AP이면, BP이면, ABP이다.
  (iii) 만약 AP이면, W:WRAP이다.

Read More

[양상논리] 9장 발제 (미완성)

9balje.hwp 논리철학연습 발제
Chapter 9 – Incompleteness

과학사 및 과학철학 협동과정 2004-20309 정동욱 | 제출일 : 2004.7.21

이번 장에서 우리는 어떤 체계의 모든 정리가 정확히 f-타당하게 되는 프레임들의 집합 f가 존재하지 않는다는 의미에서 불완전한 어떤 체계가 있다는 것을 보일 것이다.

프레임과 모형

바른식들의 어떤 집합에 속한 원소들이 모두 어떤 모형 하에서 타당하다고 해서, US, MP, N에 의해 그들로부터 도출되는 모든 바른식들이 그 모형 하에서 타당하다고 확신할 수 없다. 우리느 단지 그 바른식들 자신뿐만 아니라 그들의 모든 대입예들이 그 모형 하에서 타당하다면, 위와 같이 도출된 바른식들이 타당할 것이라는 것만을 확신할 수 있다. 이러한 결과를 다음과 같이 서술할 수 있다.

정리 9.1        만일 바른식들의 집합 에 속한 모든 원소들의 모든 대입예가 어떤 모형 <W,R,V> 하에서 타당하다면, K + 의 모든 정리들 역시 <W,R,V> 하에서 타당하다.

대략적인 증명 : 모형 <W,R,V>가 있다고 하자. 어떤 바른식의 모든 대입예가 <W,R,V> 하에서 타당할 때 오직 그 때만 그 바른식은 일반화 가능하다(generalizable)고 부르자. 이 때, 위의 정리 9.1의 가정은 S의 모든 공리, 즉 의 모든 바른식이 일반화 가능하다는 것이다. 이러한 가정에서 정리 9.1의 증명은 어떤 변화규칙에 의해 일반화 가능한 바른식들로부터 도출되는 모든 바른식은 그 자체가 다시 일반화 가능하다는 것을 보여주는 형식으로 진행한다.

불완전한 모형 체계

KH는 다음의 바른식을 K에 덧붙인 체계이다.

H        

우리는 KH가 불완전하다는 것, 즉 프레임들의 어떤 집합도 그것을 특성화하지 못한다는 것을 보이고자 한다. KH의 불완전성을 보이기 위해, 다음의 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.

A        만일 H가 F 하에서 타당하다면, 도 역시 그렇다.
B        는 KH의 정리가 아니다.

먼저 우리가 왜 이 두가지가 KH의 불완전성을 확립하는지를 알아야 한다. KH가 완전하다고 말하는 것은 다음과 같은 프레임들의 집합 f가 존재한다는 말과 같다.

C        (i) 만약라면, 는 모든 Ff에서 타당하다.
        (ii) 만약 가 모든 Ff에서 타당하다면,이다.

우리는 C가 A, B와 함께 모순을 낳는다는 것을 보이고자 한다. 어떤 Ff를 고려하자. H이기 때문에, C(i)에 의해 H는 F에서 타당하다. 그런데, A에 의해 는 F에서 타당하다. 따라서, C(ii)에 의해 이고, 이는 B와 모순된다.

KH와 KW

KH에 대한 모든 프레임들의 집합이 특성화하는 체계가 바로 KW이다.
즉, f가 KH에 대한 프레임들의 집합이라 할 때, 는 +KW일 때 오직 그 때에만 f-타당하다

증명 1: 우선, KH + 4 = KW 임을 보인다.
(i) +KH+4W
(ii) KW가 4를 포함
(iii) +KWH

증명 2 : +KW라고 가정해보자. 그러면 +KH+4일 것이다. 그리고, f의 모든 프레임들은 또한 KH+4에 대한 프레임들일 것이기 때문에, (위의 (A)에 의해) 는 f-타당하다. 만약 +KW라면, 앞장에서 확립한 KW의 완전성으로부터 는 KW에 대한 어떤 프레임에서 타당하지 않을 것이다. 그러나, KW는 KH를 포함하기 때문에, KW에 대한 프레임은 마찬가지로 KH에 대한 프레임이 되고, 그에 따라 는 f-타당하지 않게 된다.

Read More

지난 주말의 일과

이렇게 살면 안 돼..

토요일

10시
2시 과외 내일로 미룬다는 전화가 왔다.
다시 잤다.

11시 40분
11시에 일어나겠다던 동화를 깨웠다. 꼭 11시에 일어날 필요는 없었나보다.
다시 잤다.

4시
일어났다.
티비를 봤다.
동화가 5시 과외를 가야한단다.
과외가기 전에 나가서 같이 밥먹잔다.

어찌어찌하다 6시
나가서 같이 밥을 먹었다.
집에 오면서 ‘자토이치’ 비디오를 빌렸다.

집에 와 티비를 봤다.
8시 주말연속극 ‘애정의 조건’을 보고..
스타 프로리그 결승전 잠깐 보다가
10시 ‘파리의 연인’을 보고..
11시 프로리고 결승전 다시 보다가 닭을 시켜먹었고..
12시 30분부터 ‘자토이치’를 보기 시작..
3시 넘어서 잠을 잔 듯..

일요일

과외를 10시에 가려고 했으나.. 애가 다시 4시로 미뤘음
12시 기상
출발 비디오여행을 보고..
드라마 재방송들 좀 보다가..
밥을 해서.. 김치볶음밥을 해먹고..
4시 과외를 갔다가
7시쯤 집에 돌아와서..
8시 애정의 조건 보고..
9시 잠시 쉬다가..
10시 파리의 연인 보고..
11시 프렌즈 보고..
12시부터는 뭘 봤는지 잘 기억이 안나고..
2시쯤 방에 들어와 이불에 누워 책좀 읽다가..
춘기가 배고프다고 해서..
밥 2인분 해서는 몽땅 해치워버리고는
3시쯤 잤다..

드라마 중독에서 벗어나 문자 중독에 걸려야 할텐데…

Read More

과외하는 애 이름

며칠전인가..
과외집 아파트에 들어가려는데
수위아저씨가 붙잡는다..

“몇호에 무슨 일로 왔나?”
“1406호에 과외하러 왔거든요.”
“거기에도 학생이 있던가?”
“네.”
“어.. 그 학생 이름이 뭔가?”
생각보다 이 아저씨 깐깐하게 구시네..
자신의 직무에 충실하신 아저씨인가보다..
근데 문제는 내가 학생 이름을 까먹었다는 점.
“…. -_-;; 어어..”
“어어… 그러니까.. “
“조성민이요.”
운동선수 이름이랑 똑같다는게 생각났다.
안도의 한숨을 쉬고.. 뒤돌아 엘리베이터를 타려고 하는데..

아저씨가 한마디 한다.
“조성민이 아니라 조성원인데.”

-_-;;

아.. 맞다…
농구선수 이름이었다. 하하..

ps) 아무리 장마라지만 비 너무 많이 내리는 거 아냐.. >_<

Read More

대림역 지하철 사고와 6분

오늘 6시 30분 경
2호선 대림역에서의 전철 전기줄(?) 폭발사고로
2호선이 2시간 가량 멈추는 사태가 벌어졌다더라..
오늘 9시 뉴스에서도 헤드라인으로 다루던데..

난 그 6시 30분 경 2호선 서울대입구역을 지나는 전철 안에 있었다.
병원에서의 상담을 마치고 7시 반까지 가야 하는 과외가 있어서
2호선 전철을 타고 과외를 가고 있던 중이었다.
근데.. 6시 40분 경 봉천역에서 몇분 멈추더니..
대림역에서 차량사고가 있다는 방송이 나왔다.
다시 출발해서는 신림역에서 멈추고는 한참동안 서있더니..
대림역에서 차량사고가 있어서 운행을 잠시 멈춰있겠다는 방송만 계속 됐다.
그러기를 몇 분 후 지하철 내부조명이 꺼졌다 켜졌다 세번정도 반복되더니..
결국 아예 꺼져버렸다. -_-

웅성웅성대던 사람들이 하나둘 지하철에서 내리기 시작했고..
이대로는 과외를 늦겠다 싶어서 전화를 걸어 전철 사고 어쩌구 얘기하니까..
그럼 그냥 토요일에 하자고 하네.. 허허..
과외 다음에 하자는 말은 언제 들어도 기분 좋단 말이다.
돈 못버는 건 나중 문제.. -_-;;

신림역에서 나와 봉천역까지 걸어는데..
봉천역 앞의 버스정류장엔 엄청난 인파의 사람들이 있었고..
정류장에 섰다 떠나는 버스는 근래 보기드문 만원버스였다.

사람들은 버스노선을 살피느라 정신이 없었고..
여기저기서
“여기가 도대체 어디야? 하나도 모르겠어.”
“여기서 거기 어떻게 가?”
류의 전화통화 소리가 들렸다.

아.. 근데 여기가 어딘지 하나도 모르겠다는 말에는 괜히 심술이 났다. 봉천동 주민으로서의 자존심인가.. -_-;;

어쨌든..
집에 와서 9시 뉴스보면서 생각난건데..
대림역에서 사고난 전철 차량은 내가 탄 전철의 세 개 앞선 차량이니까..
내가 6분 전에 열차를 탔으면 내가 바로 그 차량에 타고 있었겠지?
재밌는 체험을 할 수 있었을텐데.. -_-;; 하는 생각이 들었다.
전철 문 수동으로 열고 나와서 선로 옆으로 걸을 수도 있었는데 말이지. -_-;;

물론 내가 아닌 남이 겪은 사고라 편하게 생각할 수 있겠지만.. 흠..
그래도 괜히 신기하고 부럽다..
겨우 6분의 차이 …

다행히 인명피해가 없었던 사고였지만..
그게 엄청난 인명피해를 낳은 사고였다면..
겨우 6분의 차이 땜에 내가 살 수 있었다는 거에 대해
지금쯤 엄청난 안도의 한숨을 쉬고 있겠지.. 허허

Read More