뉴턴의 품에 들어온 ‘힘의 선’

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정동욱 (2010), 『패러데이 & 맥스웰 : 공간에 펼쳐진 힘의 무대』. 김영사, 만남 4.


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패러데이에 대한 학계의 반응은 이중적이었다. 전자기 유도, 전기 유도 용량, 반자성체 등의 패러데이의 실험적 발견은 열광적으로 수용된 반면, ‘힘의 선’, ‘전기적-긴장 상태’, ‘자기 전도 이론’ 등 그의 이론적 아이디어는 완전히 외면 받았다. ‘힘의 선’은 셀 수 없었고, 전기적-긴장 상태의 강도는 잴 수 없었다. 연속적인 긴장 상태에 놓인 힘의 선을 통해 전기와 자기 작용이 전달된다는 패러데이의 생소한 개념 대신, 많은 학자들은 그의 발견을 익숙한 원거리력 이론으로 설명하곤 했다. 독일 물리학자 빌헬름 베버(Wilhelm Weber, 1804-1891)는 전하 사이에 작용하는 정전기력(쿨롱 힘)과 전류 사이에 작용하는 동전기력(앙페르 힘)을 결합하여 움직이는 전하 사이에 작용하는 일반화된 원거리력 법칙을 유도한 후, 이를 통해 정전기, 전자기, 자기 현상을 수학적으로 설명하는 데 성공했다. 그의 이론은 당시 모든 관찰 결과와 일치하는 최고의 전자기 이론이었다.

패러데이의 아이디어에 영향을 받은 사람이 하나도 없었던 것은 아니었다. 1845년 베버의 동료 학자 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)는 전자기 작용이 빛과 유사한 속도로 전달된다는 생각을 편지에 담아 베버에게 보낸 적이 있었다. 그러나 이러한 파격적인 생각은 당시까지는 세상에 알려지지 않았으며, 사후에나 가우스 전집에 수록되어 재평가받을 수 있었다. 영국의 물리학자 윌리엄 톰슨(William Thomson, 1824-1907) 또한 패러데이의 아이디어를 매우 진지하게 고려했던 사람 중 한 명이었다. 전기와 자기 작용을 체계화하기 위해 광범위한 아이디어를 비유를 통해 자유롭게 끌어오던 그는 패러데이가 발견한 광자기 회전 효과로부터 깊은 인상을 받아 1847년 전자기 작용을 ‘에테르(ether)’라는 매질의 소용돌이 운동에 의한 현상으로 설명하는 방법을 처음으로 고안하기도 했다.

패러데이의 아이디어를 가장 전면적으로 받아들인 사람은 바로 제임스 클러크 맥스웰(James Clerk Maxwell, 1831-1879)이었다. 패러데이의 논문 모음집 『󰡔전기에 대한 실험 연구』󰡕를 통해 전자기 분야를 접했던 맥스웰은 전기와 자기 작용이 ‘힘의 선’을 통해 전달된다는 패러데이의 아이디어에 무척 경도되어 있었으며, 톰슨과 깊은 친분을 유지하고 있던 그는 패러데이의 아이디어를 수학적으로 체계화하기 위해 애쓰고 있던 톰슨의 작업에도 익숙해 있었다. 맥스웰은 톰슨이 했던 작업을 최대한 끝까지 밀어붙이고 싶었다. 즉 그는 베버의 이론에 버금가는 수학적인 이론을 패러데이의 ‘힘의 선’을 활용해 만들어내고 싶었다.

1854년 케임브리지를 졸업한 맥스웰은 패러데이의 ‘힘의 선’ 개념을 수학화하는 연구에 매진했다. 10여년 사이에 발표한 세 편의 논문 “패러데이의 ‘힘의 선’에 관하여”(1855-56), “물리적 ‘힘의 선’에 관하여”(1861-62), “동역학적 전자기장 이론”(1864)을 발표하는 과정에서, 그는 패러데이의 ‘힘의 선’ 개념을 자신의 전자기장 이론으로 발전시켜, 종국에는 전자기장 방정식을 만들어 내어 그로부터 빛의 속도를 계산하는 데까지 성공했다. 이 과정에서 그가 가장 먼저 해야 했던 일은 패러데이의 ‘힘의 선’을 셀 수 있는 물리량으로 만드는 일이었다.

‘힘의 선’을 유체 튜브의 개수로 세다

수학적인 훈련을 받은 학자들에게 패러데이의 ‘힘의 선’은 모호하기 그지없는 개념이었다. ‘힘의 선’을 어떻게 정량적인 추론에 활용할 수 있는지 도무지 알 수 없었기 때문이다. 1850년대 이후 패러데이는 ‘단위 역선’이라는 개념을 도입하여 공간에 형성된 힘의 방향과 세기를 단위 역선의 개수로 다루는 방법을 제안하기도 했다. 이에 따르면, 힘의 선이 밀집한 곳에서는 강한 힘이 작용하고, 반대로 힘의 선이 드문 곳에서는 약한 힘이 작용했다. 또한 그는 도선에 의해 잘리는 ‘힘의 선’의 개수가 도선의 유도 기전력과 정량적으로 연결된다는 주장도 펼쳤다. 그러나 대부분의 물리량을 연속적인 양으로 다루어온 학자들은 선의 개수를 불연속적으로 ‘하나, 둘, 셋’ 세는 패러데이의 방식을 곧이곧대로 받아들일 수 없었다.

그림 4-1. 전기 유도 용량의 차이. 두축전지에는 같은 강도의 긴장이 걸리지만 축전지에 사용된 매질의 차이에 따라 매질을 통과하는 힘의 선의 개수가 달라짐으로써 축전기에 충전되는 전하량이 달라진다.
패러데이는 종종 힘의 선에 걸린 긴장의 강도라는 개념을 힘의 선의 개수와 구분지어 사용하기도 했다. 예컨대 그는 동일한 강도의 긴장이 주어지더라도 매질의 종류에 따라 매질을 통과하는 힘의 선의 개수가 달라진다고 주장함으로써, 매질에 따른 전기 유도 용량의 차이와 자기 투과율의 차이를 설명하곤 했다(그림 4-1). 그러나 이러한 구분은 선명하지 않았으며, 오히려 학자들을 더욱 혼란스럽게 만드는 측면도 있었다. 왜냐하면 공간에 형성되는 힘의 세기가 힘의 선의 개수에 의해 세어지는 것인지 힘의 선에 걸린 긴장의 강도에 의해 측정되는 것인지 더욱 아리송했기 때문이다.

맥스웰은 ‘힘의 선’에 대한 패러데이의 아리송한 제안 뒤에는 분명한 수학적 질서가 숨어 있다고 굳게 믿었다. 그는 ‘힘의 선’ 개념에 숨어있는 수학적 질서를 명시적으로 드러내고자 했다. 그러나 어디에서부터 시작해야할까? 안 그래도 모호한 ‘힘의 선’을 곧장 다루다가는 혼란만 야기될 수 있었다. 몇 년 전 전기 포텐셜과 기전력의 수학적 관계를 묘사하기 위해 톰슨이 사용했던 ‘수학적 유비(mathematical analogy)’가 맥스웰에게 영감을 주었다. 톰슨의 논문에 따르면, 기전력([math]\mathbf E[/math])과 전기 포텐셜([math]V[/math]) 사이의 수학적 관계([math]\mathbf E = - \nabla V[/math])는 열유동량(heat flux, [math]\mathbf q[/math])이 온도 분포의 공간적 기울기([math]\nabla T[/math])에 비례한다는 푸리에의 열전도 법칙([math]\mathbf q = -k \nabla T[/math], 단, 는 열 전도율)과 “형식적으로” 동일했다. 전기 현상의 특성을 이해하는 데 열전도라는 보다 익숙한 현상이 대신 이용될 수 있다는 톰슨의 생각은 매우 흥미로웠다. 1855년 5월, 맥스웰은 톰슨에게 편지를 보냈다.

그 생각을 적용하는 모든 경우에 대해 특허를 내셨습니까? 아니라면 그것을 잠시 빌리고 싶네요.

1855년 말에 출판한 “패러데이의 ‘힘의 선’에 관하여”라는 논문에서, 맥스웰은 톰슨으로부터 빌린 수학적 유비의 방법을 더욱 완전한 형태로 발전시켰다. 그는 ‘힘의 선’이 지닌 수학적 특징을 정교하게 흉내낼 수 있으면서도 수학적으로 분석하기 용이한 대리물을 새롭게 구성했다. 그가 만들어낸 대리물은 가상의 유체 시스템이었다. 그는 구멍이 송송 뚫린 다공성 매질로 이루어진 공간에 무게가 없는 압축 불가능한 유체를 가득 채운 후, 유체가 생성되어 나오는 ‘공급원(source)’과 유체를 빨아들이는 ‘배수구(sink)’를 설치했다. 그러면 유체 시스템에는 공급원으로부터 배수구로 이어지는 일정한 경로의 흐름이 만들어질 것이다. 만약 이 유체 시스템의 공급원과 배수구를 각각 +전하와 -전하로 (혹은 N극과 S극으로) 생각한다면, 그로 인해 만들어지는 물줄기는 패러데이가 말한 ‘힘의 선’으로 생각할 수 있지 않겠는가?

그림 4-1. 맥스웰의 단위 튜브. 공급원과 배수구로 이어지는 물줄기들은 동일한 유량의 단위 튜브들로 분할될 수 있다. 맥스웰은 공급원과 배수구를 각각 +전하와 -전하로 (혹은 N극과 S극으로) 대응시키고, 공급원과 배수구를 잇는 단위 튜브들을 패러데이의 단위 힘의 선과 대응시켰다. 정확히 그리자면 유체 시스템의 공간은 단위 튜브들로 빈틈없이 채워져 있어야 하지만, 그림에서는 독자의 이해를 돕기 위해 단 두개의 단위 튜브만 그려 놓았다. 단위 튜브와 등압면의 배치는 유체의 속도와 유체가 받는 힘을 알려주는데, 유체의 속도는 튜브의 단면이 좁아질수록 빨라지고, 유체가 받는 힘은 등압면의 간격이 좁을수록 커진다. 두 개의 등압면 사이에 놓인 단위 튜브 조각은‘단위 셀 격자’라고 하는데, 각각의 단위 셀 격자에서는 유체를 이동시키느라 단위 시간당 한 단위의 일이 수행된다.
맥스웰은 이 유체 시스템을 수학적으로 다루기 위해 '단위 튜브'라는 것을 도입했다(그림 4-2). 이에 따르면, [math]q[/math]의 공급량을 가진 공급원 표면에는 [math]q[/math]개의 단위 튜브가 달려 있어서, 단위 시간당 부피 [math]q[/math]씩의 물줄기가 공급원에 달린 [math]q[/math]개의 튜브를 따라 흘러나왔다. 마찬가지로 [math]q[/math]의 배수량을 가진 배수구에 달린 [math]q[/math]의 배수량을 가진 배수구에 달린 [math]q[/math]개의 튜브를 따라 물줄기가 흘러 들어갔다. 튜브의 한쪽 단면을 을 통해서 일정한 유량의 물줄기가 들어오면 반대쪽 단면을 통해서는 그와 동일한 유량의 물줄기가 나갔다. 이를 위해 튜브의 굵기가 일정할 필요는 없었다. 튜브의 단면이 넓어질수록 튜브의 단면을 통과하는 물줄기의 속도가 줄어들면 그만이었다. 정확히 말하자면, 튜브의 단면을 통과하는 유체의 속도는 단위 튜브의 단면적의 역수에 해당했다.

한편 ‘유량’이라는 개념은 어떤 단면을 단위 시간 동안 통과하는 유체의 양을 지칭하는데, 맥스웰의 유체 시스템 하에서 ‘유량’은 단면을 통과하는 단위 튜브의 개수로 묘사된다. 같은 원리로 ‘단위 면적당 유량’은 단위 면적을 통과하는 단위 튜브의 개수, 즉 튜브의 밀도로 묘사된다. 그런데 단위 면적을 통과하는 단위 튜브의 개수는 단위 튜브의 단면적의 역수와 같다. 즉 단위튜브의 밀도는 유체의 속도와 같게 되는 것이다. 이러한 수학적관계는 다음과 같이 정리될 수 있다.

단위 면적당 유량 = 단위 튜브의 밀도 = 1 / 단위 튜브의 단면적 = 유체의 속도
유량 = 단위 튜브의 개수

‘압축 불가능한 유체’라는 가정 덕분에, 유체의 모든 운동은 ‘연속적인 밀어내기’의 과정으로 파악될 수 있었다. 즉, 임의의 공간 내부에 공급원이나 배수구가 없는 한, 한쪽 면을 통해 일정한 유량의 물줄기가 들어오면 다른쪽 면을 통해서는 그와 동일한 유량의 물줄기가 나가야 한다. 만약 공간에 들어오는 유량과 나가는 유량이 서로 다르다면, 다시 말해 공간에 들어오는 튜브의 수와 나가는 튜브의 수가 다르다면, 그 내부에는 그 차이만큼의 공급원 또는 배수구가 반드시 존재하게 된다. 이러한 유체의 흐름과 공급원 사이의 관계는 기호를 사용하면 다음과 같이 표현될 수 있다.

[math]\rho = \nabla \cdot \mathbf v[/math] ([math]\rho[/math]는 공급 밀도, [math]\nabla \cdot[/math]는 발산 연산자, [math]\mathbf v[/math]는 유체의 속도 또는 단위 면적당 유량)

유체 시스템에 내장된 이러한 특성은 패러데이가 암묵적으로 생각하고 있었던 ‘힘의 선’과 전하 사이의 수학적 특징을 그대로 구현하고 있었다. 패러데이의 주장에 따르면, +전하와 -전하는 힘의 선 양쪽 말단에 형성되는 한 쌍의 잉여 극성이었다. 맥스웰의 유체 시스템은 이를 정확히 흉내내어, 하나의 단위 튜브 양쪽 말단에는 한 쌍의 단위 공급원과 단위 배수구가 위치했다. 그래서 튜브가 시작되는 곳에는 그 개수만큼의 공급량을 가진 공급원이, 튜브가 끝나는 곳에는 그 개수만큼의 배수량을 가진 배수구가 위치했다. 또한 맥스웰의 유체 튜브는 패러데이의 힘의 선을 셀 수 있는 대상으로 만들어 주었다. 즉 힘의 선의 개수는 단위 튜브의 개수로, 힘의 선의 밀도는 단위 튜브의 밀도로 세어졌다.

맥스웰의 유체 시스템은 패러데이가 얘기했던 힘의 선의 긴장강도라는 개념도 구현해냈다. 힘의 선의 양이 유체의 유량과 대응될 수 있다면, 힘의 선에 걸린 긴장의 강도는 유체를 미는 힘에 대응될 수 있었다. 유체는 압력이 높은 곳에서 낮은 곳으로 흘렀는데, 유체를 밀어내는 힘은 바로 압력의 차이에서 비롯되었다. 그래서 임의의 지점에 위치한 (단위 부피의) 유체는 그 지점에서 압력이 가장 가파르게 낮아지는 방향으로 그 압력이 변하는 기울기만큼의 힘을 받게 된다. 만약 일정한 압력 간격으로 등압면이 그려져 있다면, 유체 시스템의 각 지점에서는 등압면에 수직을 이루는 방향으로 등압면의 간격에 반비례하는 힘이 작용할 것이다. 그래서 등압면들의 간격이 좁아질수록 유체를 미는 힘은 강해지고, 간격이 넓어질수록 그 힘은 약해질 것이다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다([math]\mathbf F[/math]는 유체가 받는 힘, [math]\nabla[/math]은 기울기 연산자, [math]p[/math]는 유체의 압력).

[math]\mathbf F = - \nabla p [/math]

여기에 맥스웰은 매 지점에서 유체가 받는 저항력이 매질의 마찰계수와 유체의 속도에 비례한다는 가정을 더함으로써, 그 저항을 거슬러 유체를 밀어내는 힘과 유체의 속도 사이의 관계식을 구할 수 있었고, 이로써 유체 시스템 내 각 지점의 압력([math]p[/math]), 힘([math]\mathbf F[/math]), 속도([math]\mathbf v[/math]), 마찰계수([math]k[/math]) 사이에 성립하는 다음의 관계식이 완성되었다.

[math]- \nabla p = \mathbf F = k \mathbf v[/math]

이제 공급원과 배수구의 배치와 매질의 마찰계수만 주어지면, 유체 시스템의 속도와 압력 분포는 그에 의해 완벽하게 결정될 수 있었다. 우선 매우 간단한 상황을 다루어보자.

공급량 [math]q[/math]의([math]q[/math]개의 튜브가 달린) 공급원이 한 지점에 있고, 배수구는 그로부터 무한대의 거리에 배치되어 있는 간단한 유체 시스템을 가정해보자. 공급원으로부터 [math]q[/math]개의 단위 튜브가 사방으로 뻗어 나오기 때문에, 공급원으로부터 거리 [math]r[/math]만큼 떨어진 위치에서 각 단위 튜브의 단면적은 반지름 [math]r[/math]의 구면([math]4 \pi r^2[/math])을 [math]q[/math]로 나눈 [math]\frac{4 \pi r^2}{q}[/math]이 되고, 물줄기의 속도는 튜브 단면적의 역수로서 [math]\frac{q}{4 \pi r^2}[/math]가 된다(그림 4-5 왼쪽 그림 참조). 다시 말해, 공급원으로부터 거리가 증가함에 따라, 각 단위 튜브의 단면적은 거리의 제곱에 비례하여 증가하는 반면, 물줄기의 속도(단위면적당 유량)는 거리의 제곱에 반비례하여 줄어든다(그림 4-5 오른쪽 그림 참조).

유체에 가해지는 힘과 압력은 앞에서 정립한 관계식([math]– \nabla p = \mathbf F = k \mathbf v[/math])에 지금 구한 속도만 대입하면 간단히 구해진다. 그래서 공급량 [math]q[/math]의 공급원 하나로부터의 거리([math]r[/math])에 따른 유체의 속도([math]\mathbf v[/math]), 힘([math]\mathbf F[/math]), 압력([math]p[/math])은 다음과 정리될 수 있다.

유체의 속도 [math]\mathbf v= \frac {q}{4 \pi r^2}[/math]
유체에 가해지는 힘 [math]\mathbf F = k \mathbf v = \frac {kq}{4 \pi r^2}[/math]
유체의 압력 [math]p= \int_{\infty}^r - \mathbf F \cdot dr = \frac{kq }{4 \pi r^2}[/math] (단, 공급원으로부터 무한대 지점의 압력은 0)

그리고 공급원과 배수구들([math]q_i[/math])이 임의로 배치된 경우, 그에 의해 형성되는 유체의 압력은 각각의 공급원과 배수구에 의해 만들어지는 압력의 단순 산술합으로 간단히 계산된다.

유체의 압력 [math]p = \frac {k}{4} \sum \frac {q_i} {r}[/math]

유체 시스템을 전기와 자기 현상에 적용하다

맥스웰은 완성된 유체 시스템을 정전기 시스템과 대응시켜 보았다. 공급량과 배수량은 +/- 전하량과 대응되었다. 한 쌍의 단위 공급원과 단위 배수구를 잇는 단위 튜브는 하나의 ‘힘의 선’으로 해석되었고, 튜브의 개수로 표현되는 유체의 속도 또는 단위면적당 유량은 전기력선의 밀도가 되었다. 또한 유체 시스템의 압력은 전기 포텐셜과 대응되었으며, 유체를 밀어주는 힘은 ‘힘의 선’에 걸린 긴장 강도와 대응되었다. 마지막으로 매질의 마찰계수는 유전체 매질의 전기 유도 용량의 역수로 해석되었다. 유체 시스템과의 이러한 대응 덕분에, 패러데이가 암묵적으로 생각하고 있었던 ‘힘의 선’과 전하 사이의 수학적 관계도 선명하게 드러났을 뿐 아니라, 패러데이의 언어에서 다소 모호하게 사용되었던 ‘힘의 선’의 밀도와 ‘힘의 선’에 걸린 긴장의 강도 사이의 관계도 한결 선명해졌다. 즉 매질에 형성되는 전기력선의 밀도는 전기장의 긴장 강도에 비례했으며, 그 비례상수는 매질의 전기 유도 용량에 의존했다.

맥스웰은 ‘힘의 선’의 특징을 구현하고 있는 자신의 유체 시스템을 수학적으로 분석함으로써 톰슨 및 가우스 등이 밝힌 전기 포텐셜 이론을 유도하기 시작했다. 전기 포텐셜 이론에 따르면, 전하() 주위의 전기 포텐셜()은 그로부터의 거리()에 반비례했으며(), 전하 주위의 단위 전하가 받는 힘, 즉 기전력()은 전기 포텐셜 감소율()에 의해 유도될 수 있었다(). 그런데 맥스웰은 이 이론의 일부를 이미 유도해놓은 상태였다. 유체 시스템의 힘()과 압력()을 각각 기전력과 전기 포텐셜과 대응시킬 경우, 맥스웰이 이미 유도해놓은 힘과 압력 사이의 관계식()은 전기 포텐셜 이론의 기전력과 전기 포텐셜 사이의 관계식()으로 해석될 수 있기 때문이다. 맥스웰이 마저 해야 할 일은 전기 포텐셜 공식()과 기전력 공식()을 유체 시스템으로부터 유도하는 일이었다.

공급량 의 -- 개의 튜브가 달린 -- 공급원이 한 지점에 있고, 배수구는 그로부터 무한대의 거리에 배치되어 있는 간단한 유체 시스템을 가정해보자. 공급원으로부터 개의 단위 튜브가 사방으로 뻗어 나오기 때문에, 공급원으로부터 거리 만큼 떨어진 위치에서 각 단위 튜브의 단면적은 반지름 의 구면()을 로 나눈 이 되고, 물줄기의 속도는 튜브 단면적의 역수로서 가 된다(그림 왼쪽). 다시 말해, 공급원으로부터 거리가 증가함에 따라, 각 단위 튜브의 단면적은 거리의 제곱에 비례하여 증가하는 반면, 물줄기의 속도(=단위면적당 유량)는 거리의 제곱에 반비례하여 줄어든다(그림 오른쪽). 맥스웰은 이러한 유체의 성질과 함께 앞서 정리해 놓은 유체의 속도, 힘, 압력 및 매질의 저항 사이의 관계식()을 이용하여, 공급원()으로부터의 거리()에 따른 유체의 속도()와 힘(), 압력() 분포식을 다음과 같이 구할 수 있었다.

  • 유체의 속도
  • 유체를 미는 힘
  • 압력 (단, 공급원으로부터 무한대 지점의 압력은 0으로 가정)

이렇게 유도한 압력 분포식은 전기 포텐셜 공식과 “형식적으로” 동일했다. 또한 유체 시스템의 힘 분포식은 기전력 공식과 “형식적으로” 동일했다. 즉 맥스웰은 유체 시스템을 이용해 전기 포텐셜 이론에 등장하는 모든 공식을 유도해내는 데 성공한 것이다. 더 나아가 맥스웰은 유체 시스템의 매질의 마찰계수()를 패러데이가 도입했던 전기 유도 용량의 역수()에 해당하는 값으로 해석함으로써, 유전체 매질의 효과까지도 전기 포텐셜 방정식에 반영할 수 있었다. 이는 시작에 불과했다.

맥스웰의 유체 시스템은 튜브와 등압면에 의해 수많은 셀 격자들로 나누어졌는데, 이 셀 격자들은 일과 에너지에 관한 함축을 가지고 있었다. 그의 설계에 따르면, 하나의 셀에서는 저항을 거슬러 유체를 이동시키기 위해 매 단위 시간마다 한 단위의 일이 수행되었고, 따라서 유체 시스템 전체의 셀의 개수는 매 단위 시간당 유체 시스템 전체에서 소비되는 에너지의 양을 보여주었다. 맥스웰은 이 셀의 개수를 정전기 시스템에 저장된 에너지와 대응시켰고, 셀의 밀도는 공간에 분포한 에너지 밀도와 대응시켰다.

맥스웰의 유체 시스템은 정전기 시스템뿐만 아니라 전류와 자기 시스템을 수학적으로 묘사하는 데에도 적용될 수 있었다. 공급원과 배수구를 전지의 +극과 -극으로, 유체 튜브를 전류로, 압력 차이를 전압으로, 매질의 저항을 도체의 전기 저항으로 해석할 경우, 이 유체 시스템은 전류 시스템으로 둔갑했다. 앞에서 구했던 유체 시스템의 관계식()을 이러한 해석 하에서 적분해 보면, 오늘날 옴의 법칙이라 불리는 전류(), 전압(), 전기 저항() 사이의 관계식()이 만들어졌다. 한편, 유체 튜브의 밀도를 자기력선 밀도()로, 등압면의 밀도를 자기적 긴장의 강도()로, 매질의 저항을 자기 투과율의 역수()로 해석할 경우, 동일한 관계식()은 자기 시스템의 기본 관계식()을 만들어냈다.

맥스웰의 셀 격자 시스템은 패러데이의 자기 전도 이론을 수학적인 형태로 번역해줄 수도 있었다. 패러데이의 자기 전도 이론에 따르면, 자기장에 놓인 물체들은 자기력선이 더 잘 통과하도록 재배치함으로써, 자성체는 자기력이 강한 곳으로 반자성체는 자기력이 약한 곳으로 움직이는 경향을 띤다고 했다. 맥스웰의 버전에 따르면, 자기장에 놓인 물체들은 에너지 셀 격자의 개수()가 증가하도록 재배치함으로써, 자성체는 에너지 셀의 밀도()가 높은 곳으로 반자성체는 에너지 셀의 밀도가 낮은 곳으로 움직이는 경향을 띤다. 맥스웰의 설명에 따르면, 이러한 운동 경향은 자기장에 놓인 물체가 자기에너지 밀도의 기울기()에 해당하는 힘을 받기 때문에 나타났다.

이러한 성공적인 적용에도 불구하고, 유체 시스템과 각각의 정전기, 전류, 자기 시스템 사이의 유비는 완전하지 못했다. 유체 시스템의 셀 격자는 정전기 시스템과 자기 시스템의 공간상에 저장된 에너지를 묘사하는 데 사용되긴 했지만, 엄밀히 말해 유체 시스템의 셀 격자에는 에너지가 저장되어 있지 않았다. 유체 시스템의 각 셀 격자에서는 단위 시간당 한 단위의 에너지가 소비될 뿐이었다. 이러한 유체 시스템의 상황과 정확히 대응되는 현상은 전류 작용뿐이었다.

한편 유체 시스템의 압력은 자기 시스템 내에서 대응되는 물리량이 존재하지 않았다. 자기력선은 언제나 폐곡선을 그렸기 때문이다(그림 5). 자기력선을 의미하는 튜브를 따라 유체가 압력이 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐른다면, 유체가 한 바퀴를 돌고났을 때 압력은 어떻게 될 것인가? 압력은 낮아질까 아니면 그대로일까? 이러한 문제 때문에, 튜브/등압면 그림을 자기 시스템으로 해석하기 위해서는 약간의 트릭이 필요했다. 등압면의 밀도는 압력에 대한 참조 없이 곧바로 자기적 긴장의 강도()와 대응되었고, 폐곡선을 따라 지나치게 되는 등압면의 개수는 단위 자극을 한 바퀴 운동시키는 데 필요한 일의 양()으로만 해석되었다(그림 6).


맥스웰도 이러한 한계를 알고 있었다. 그는 자신의 유비가 “임시적”이라는 점을 누차 강조했다. 심지어 그는 자신의 이론이 “참된 물리 이론의 그림자조차” 담지 못하고 있다고 말하기도 했다. 유체 튜브는 필요에 따라 전기력선도 되었다가, 자기력선도 되었다가, 전류도 되었는데, 이는 유체 시스템의 유연한 적용 가능성을 보여주는 것이기도 하지만, 그 근본적인 한계를 보여주는 것이기도 했다. 즉 유체 시스템은 자기력선과 전기력선과 전류가 함께 상호작용하는 시스템을 전혀 묘사할 수 없었다. 다시 말해, 그의 유체 시스템은 전기와 자기 작용들이 실제로 어떻게 벌어지는지에 대해서는 아무것도 말해주지 않았다.

전기와 자기 작용이 실제로 어떻게 벌어지는지 그의 유체 시스템이 전혀 말해주지 않는다면, 지금까지 그의 작업은 전기와 자기 작용을 이해하는 데 도대체 어떤 도움이 되었을까? 유체 시스템은 ‘힘의 선’의 특징을 가진 시스템이 어떻게 수학적으로 묘사될 수 있는지 알려주었으며, 그러한 수학적 시스템이 전기와 자기 현상에 관한 알려진 법칙들과 정합적일 수 있는지 확인할 수 있는 기회를 제공했다. 실제로 맥스웰은 유체 시스템으로부터 ‘힘의 선’의 몇몇 중요한 특징을 구현했을 뿐 아니라, 전기 포텐셜 이론을 비롯해 전류와 자기 현상의 알려진 수학적인 법칙들을 유도해낼 수 있었고, 그로부터 전기와 자기 작용에 대한 이론을 ‘힘의 선’에 기반한 수학적 이론으로 새롭게 재구축할 수 있다는 가능성을 제시할 수 있었다. 이는 맥스웰이 “패러데이의 ‘힘의 선’에 관하여”라는 논문을 기획한 의도이기도 했다.

장의 양과 강도를 구분짓다

유체 시스템은 전기와 자기 작용에 관여하는 물리량들을 장(field)의 양(quantity)과 강도(intensity)로 체계적으로 구분하는 데에도 결정적인 도움을 주었다. 유체 시스템에서는 유체를 미는 힘(force)과 그로 인해 흐르는 유체의 유량(flux)이 선명하게 구분되었다. 유체 시스템의 이러한 구분으로부터, 맥스웰은 전기와 자기 작용을 일으키는 장의 강도(intensity)와 그로 인해 만들어지는 ‘힘의 선’의 양(quantity)이 구분될 것이라는 통찰을 얻었다. 유체 시스템을 묘사하는 튜브/등압면 그림으로 보자면, ‘힘의 선’의 양은 튜브의 개수(유량)에 의해, 장의 강도는 튜브가 통과하는 등압면의 개수(압력 차이에 의한 힘)에 의해 표현되었다. 이에 따라, 정전기 작용에서는 전기력선 수/전압, 전류 작용에서는 전류/전압, 자기 작용에서는 자기력선 수/자기 총 강도라는 물리량이 구분될 수 있었다. 이 세 쌍의 물리량은 전기와 자기 작용이 벌어지는 “장(field)”에 관한 물리량으로서, 이들의 미분형 물리량인 전기력선 밀도()/기전력(), 전류 밀도()/기전력(), 자기력선 밀도()/자기 강도()는 이후 맥스웰이 만들어 나가게 될 “장 방정식”의 핵심 구성 성분이 되었다.

몇 달 뒤 출판된 논문의 2부에서, 맥스웰은 위에서 정립한 물리량을 전자기 상호작용에 관한 앙페르의 법칙과 패러데이의 법칙을 장 방정식 형태로 “재기술”하는 데 곧바로 이용했다. 맥스웰은 먼저 앙페르의 법칙을 다음과 같이 재정식화했다. 전류 작용의 양, 즉 전류()는 그 주위를 감싼 자기 강도()를 결정한다(). 전류 주위의 자기장을 튜브/등압면 그림으로 보자면, 전류를 감싼 어떤 자기력선을 선택하든 그 자기력선을 따라 한 바퀴를 돌면 동일한 개수의 등압면을 통과하게 되는데, 그 등압면의 개수, 즉 자기적 긴장의 총 강도가 전류의 크기에 의해 결정된다는 것이다(그림 6 참조). 스토크스로부터 벡터를 다루는 법을 접한 맥스웰은, 이러한 수학적 관계를 미분 형태로 표현하는 법을 알고 있었는데, 그에 따르면 임의의 지점을 둘러싼 자기 강도 회전()은 그 지점을 통과하는 전류 밀도()에 의해 그 회전량과 방향이 결정되었다.

(전류의 자기 작용 : (는 전류 밀도, 는 자기 강도)

맥스웰은 패러데이의 전자기 유도 법칙도 같은 형태의 장 방정식으로 재기술하고자 했다. 그는 앙페르 법칙에서 전류 작용의 양이 자기 작용의 강도를 결정짓듯이, 자기 작용의 양, 즉 자기력선 수가 전류 작용의 총 강도, 즉 전압을 결정짓는 방식을 생각했다. 그러나 자기장에 가만히 놓인 도선에 전류가 유도되지 않는다는 것은 잘 알려진 사실이었다. 회로의 유도 기전력은 회로를 통과하는 자기력선 수의 감소율에 의존했다. 그러나 맥스웰은 자기 작용의 양이 모종의 강도를 결정한다는 생각을 버리지 못했고, 그래서 그는 ‘전기적-긴장 강도(electro-tonic intensity)’라는 새로운 물리량을 도입하여, 패러데이의 법칙을 다음과 같이 재기술했다. 그에 따르면, 자기력선의 양은 자기력선을 감싼 회로의 전기적-긴장 강도를 결정하며, 그 강도의 변화율이 회로의 기전력을 결정짓는다. 맥스웰은 위에서와 마찬가지로 이를 다음과 같은 미분 형태의 방정식으로 표현했다.

  • 자기의 전류 작용 :
(는 회로의 전기적-긴장 강도, 는 자기력선 밀도)
(는 전기장 강도)

‘전기적-긴장 강도’라는 물리량은 앞서 유체 시스템의 비유를 통해 체계적으로 짜놓은 범주에 들어맞지 않았지만, 맥스웰은 이 물리량을 패러데이가 말했던 ‘전기적-긴장 상태(electro-tonic state)’의 수학적 표현을 찾아낸 것으로 생각하여 살려두기로 했다.

이로써 맥스웰은 이후 만들어낼 장 방정식의 기본 재료가 되는 수학적 물리량을 모두 확정지었으며, 새로이 정립한 물리량들을 이용해 두 가지 전자기 법칙을 장 방정식의 형태로 “재기술”하는 데에도 성공을 거두었다. 그러나 그의 방정식이 그의 유체 시스템에서 유도되었다고 생각하면 오산이다. 유체 시스템 비유는 그의 방정식에 쓰일 물리량을 제공하는 데에서 자신의 역할을 다했다. 그의 방정식은 이미 알려져 있던 앙페르의 법칙과 패러데이의 법칙으로부터 벡터 연산에 관한 수학적 정리를 이용해 역으로 유도되었다. 따라서 그는 여전히 자기 작용이 어떻게 전류를 유도하는지, 전류 주위에 자기장이 어떻게 형성되는지 설명할 수 없었다. 이를 위해서는 정전기와 전류 및 자기 시스템을 통합적으로 묘사할 수 있는 완전히 새로운 이론이 필요했으며, 그의 방정식은 새로운 이론으로부터 다시 유도되어야 했다.

물론 지금까지의 작업만으로도 맥스웰은 중요한 성과를 거두었다. 그는 앞으로 이론적으로 유도해야 할 방정식이 어떤 모습이어야 할지 알게 되었으며, 장 방정식에 쓰이는 벡터라는 새로운 수학적 기법에도 익숙해질 수 있었기 때문이다.

소용돌이 분자를 통해 자기력선을 표현하다

1856년 논문을 마친 후, 맥스웰은 전기와 자기, 그리고 전류 작용을 통합적으로 설명할 수 있는 방법을 찾는 데 몰두했다. 이번에도 톰슨의 논문이 아이디어를 제공했다. 1856년 톰슨은 패러데이의 광자기 회전 현상에 대한 논문을 발표했는데, 그 논문에서 톰슨은 자기 현상이 물질과 공간을 구성하는 분자들의 소용돌이 운동과 관련되어 있다고 주장했으며, 전자기력과 전자기 유도 작용도 같은 방식의 소용돌이 운동을 가정하면 쉽게 설명될 수 있을 것이라고 제안했다. 톰슨의 논문을 읽은 맥스웰은 그 아이디어를 바탕으로 “자기와 전기에 대한 소용돌이 이론”을 몇 년간 갈고 닦았다.

1861년 맥스웰은 자신의 성과를 “물리적 힘의 선에 관하여”라는 논문으로 출판했다. 이 논문은 4부에 걸쳐 출판되었는데, 1부는 자기 작용을, 2부는 전류와 전자기 유도 작용을, 3부는 정전기 작용을, 4부는 패러데이의 광자기 회전 효과를 차례차례 다루었다. 맥스웰은 각 단계마다 나타나는 새로운 현상에 맞도록 소용돌이 유비를 조금씩 변경했지만, 전체적인 일관성은 잃지 않았다. 1부에서는 소용돌이 분자의 회전을 통해 자기력선을 표상하였고, 2부에서는 소용돌이 분자들 사이에 유동 바퀴를 끼워 넣어 전류를 표상했으며, 3부에서는 소용돌이 분자에 탄성을 추가하여 그 탄성 변형을 통해 정전기 분극 상태, 즉 전기력선을 표상했는데, 이렇게 3부에 걸쳐 발전되어 완성된 최종적인 소용돌이 분자 모형은 자기와 전류, 정전기 및 그들 사이의 상호작용까지 통합적으로 설명할 수 있었다.

논문의 제목에 쓰여 있는 “물리적 ‘힘의 선’”이란 ‘전기와 자기 작용을 관장하는 실재하는 힘의 선’을 의미했다. 패러데이에 따르면, 물리적 ‘힘의 선’은 다음의 특징을 지녔다. (1) ‘힘의 선’을 따라 양쪽을 잡아당기는 장력이 존재한다. (2) 평행한 ‘힘의 선’은 서로 반발한다. 맥스웰은 ‘힘의 선’의 이 두 가지 특징을 톰슨이 제안했던 작은 소용돌이 분자들로 구성된 매질을 통해 구현할 수 있다는 것을 깨달았다. ‘힘의 선’을 축으로 도는 소용돌이는 원심력 때문에 그 측면의 압력이 축방향의 압력보다 크다. 하나의 소용돌이를 둘러싼 이러한 불균등한 압력 분포는, 평균 압력()을 기준으로 축방향으로는 잡아당기는 장력(양의 스트레스)이 더해지고, 측면 방향으로는 밀어내는 압력(음의 스트레스)이 더해진 결과로 해석될 수 있었다. 맥스웰이 보기에, 소용돌이 분자에 작용하는 이러한 스트레스(stress), 즉 회전축을 따른 장력과 측면 방향의 압력은 ‘힘의 선’을 따른 장력과 ‘힘의 선’ 사이의 척력을 흉내낼 수 있을 것 같았다.

논문의 1부에서 맥스웰은 작은 소용돌이 분자들로 이루어진 매질을 가정한 후, 소용돌이 분자의 밀도()와 회전속도()의 분포에 따른 스트레스 방정식을 구하고, 각 미소 입방체에 작용하는 스트레스의 알짜 효과를 계산하여 정리함으로써 미소 입방체에 작용하는 역학적 힘을 도출했다.


맥스웰은 지난 논문 “패러데이의 ‘힘의 선’에 관하여”에서 얻은 결과에 근거하여 위의 식에 등장하는 각 항들의 의미를 해석할 수 있었다. , , 를 각각 앞서의 논문에서 정의한 ‘자기 강도’, ‘자기 투과율’, ‘자기력선 밀도’와 대응시키고 나니, 방정식의 첫 번째 항은 자기장()에 놓인 ‘가상의’ 자유 자극 이 자기력선을 따라 받는 자기력을(그림 9), 두 번째 항은 자기장에 놓인 전류()가 자기력선()과 직각 방향으로 받는 전자기력을(그림 10), 세 번째 항은 자기장에 놓인 자성체가 자기력선의 방향과 상관없이 자기 강도가 증가하는 방향()을 따라 (반자성체의 경우엔 감소하는 방향으로) 움직이도록 만드는 자기력을 의미했다(그림 11).

맥스웰은 소용돌이 분자들의 회전 운동으로부터 매질의 각 지점에 작용하는 힘을 구한 것뿐이었다. 그러나 소용돌이 분자의 회전 속도와 회전축을 자기장의 강도와 방향으로 해석하는 순간, 매질의 각 지점에 작용하는 힘의 크기와 방향은 자기장에 놓인 물체가 받는 자기력의 크기와 방향으로 둔갑하게 되는 것이다. 게다가 각 항별로 정리된 자기력의 크기와 방향은 각각 자극, 전류, 자성체(와 반자성체)에 작용하는 알려진 자기력 법칙과 정확히 일치했다. 이로써 맥스웰은 자기 작용에 의해 발생하는 모든 경우의 자기력을 ‘통째로’ 유도하는 데 성공한 셈이다.


유동 바퀴를 통해 전자기 유도의 메커니즘을 제공하다

소용돌이 분자 비유를 통해 자기 작용에 대한 설명을 마친 맥스웰은 2부에서는 전류 작용을 설명했다. 그러나 소용돌이 분자만으로 이루어진 매질에는 전류와 대응될 만한 것이 없었다. 소용돌이 분자들의 회전축과 회전 속도는 자기장의 방향과 강도를 묘사할 뿐이었다. 전류를 묘사하기 위해서는 소용돌이 분자에 추가적으로 무언가가 더 필요했다. 그것을 어떻게 만들어낼 수 있을까? 맥스웰은 애초의 소용돌이 분자 모형에 존재하던 문제의 해결책에서 전류의 대응물을 찾았다. 나는 매질 내에서 평행한 축으로 같은 방향으로 회전하는 소용돌이가 나란히 늘어서 있는 것을 상상하는 데 심각한 어려움이 있음을 깨닫게 되었다. 연속된 소용돌이의 인접 부분은 서로 반대 방향으로 운동하게 된다. 어떻게 매질의 한 부분의 운동이 그것과 접촉하고 있는 부분의 반대 운동과 공존하거나 혹은 그 운동을 산출할 수 있는지 이해하기 어렵다.

즉 같은 방향으로 회전하는 소용돌이 분자들은 인접한 소용돌이 분자의 운동을 방해하기 때문에, 그의 소용돌이 분자 시스템은 ‘연결된 기계 장치로서’ 작동할 수가 없었다. 그는 이 문제를 해결하기 위해 소용돌이 분자들 사이에 미끄러지지 않는 작은 “유동 바퀴(idle wheel)”들을 삽입했다. 이 유동 바퀴는 소용돌이 분자 시스템을 연결된 기계 장치로 작동할 수 있게 해주었을 뿐만 아니라, 전류를 묘사할 수 있는 추가적인 자원까지 제공했다(그림).

맥스웰은 이론적인 물리학뿐 아니라 실제 기계 장치에 상당히 익숙한 편이어서, 최신 기계 장치에 쓰이는 다양한 종류의 ‘유동 바퀴’에 대해서도 잘 알고 있었다. “기계 장치에서 유동 바퀴는 대체로 고정된 축에서 회전하도록 만들어지지만, ... 예컨대 지멘스사의 증기 기관 속도 조절기(governor)에 있는 몇몇 장치에는, 그 중심도 움직일 수 있는 유동 바퀴도 있다”고 지적한 그는, 고정된 축에 속박된 유동 바퀴와 축이 고정되어 있지 않은 자유로운 유동 바퀴를 구분했다. 그에 따르면, ‘절연체’는 속박된 유동 바퀴들로 구성되었고 ‘도체’는 자유로운 유동 바퀴들로 구성되었는데, ‘전류’는 바로 도체 내 자유로운 유동 바퀴의 직선 운동으로 묘사될 수 있었다.

유동 바퀴와 소용돌이 분자는 서로 연결되어 있기 때문에, 하나의 운동은 다른 하나의 운동을 만들어낼 수 있었다. 맥스웰은 이러한 메커니즘으로부터 전류와 자기의 상호 작용을 읽어낼 수 있었다. 유동 바퀴의 직선 운동은 그 주위의 소용돌이 분자들을 일정하게 회전시킬 텐데, 이것은 전류의 자기 작용을 의미했다(그림 13). 반대로 소용돌이 분자들의 회전은 유동 바퀴를 회전시킬 것이고, 만약 유동 바퀴 양쪽의 소용돌이 분자의 회전 속도가 다르다면 도체 내 유동 바퀴는 미끄러지지 않기 위해 일정한 방향으로 움직일 것이다. 이것은 바로 자기의 전류 작용, 즉 전자기 유도를 의미했다(그림 14).

맥스웰은 소용돌이 분자의 회전 운동 에너지의 변화율과 유동 바퀴로부터 받는 힘(작용-반작용의 원리에 의해 이는 소용돌이 분자가 유동 바퀴에 가하는 힘과 크기는 같고 방향은 반대) 사이의 관계를 이용하여, 자기력선수의 감소율이 그 주위를 감싼 회로의 유도 기전력을 결정한다는 다음의 전자기 유도 법칙이 유도하는 데 성공했다.

(는 기전력, 는 자기력선 밀도)

이 방정식은 지난 논문에서 만들어낸 방정식과 동일한 것이었지만 그 의미는 동일하지 않았다. 지난 논문에 쓰인 방정식은 단지 패러데이의 법칙을 수학적으로 재기술한 것에 불과했던 반면, 이번에 유도한 방정식은 기계 모형으로부터 유도된 것으로서 전자기 유도의 기계적인 메커니즘을 제공했다. 맥스웰은 그 메커니즘을 직관적으로 설명하기 위해 그림을 그려주었다(그림 15). 두 개의 도체(AB, pq) 외에는 모두 절연체로 구성된 시스템에서, 지금 막 A에서 B로 전류가 흐르기 시작했다고 가정하자. A에서 B로 유동 바퀴들이 움직이기 시작하자, 그와 인접한 소용돌이 분자들도 그와 함께 회전하기 시작한다. 위의 소용돌이 분자들(gh)은 시계 반대 방향(+)으로, 아래의 소용돌이 분자들은 시계 방향(-)으로 돈다. 이 소용돌이 분자의 회전은 절연체 내 유동 바퀴의 제자리 회전을 통해 인접한 소용돌이 분자들에 차례차례 전달될 것이다(AB 아래의 경우). 그러나 회전하는 소용돌이 분자(gh)와 멈추어 있던 소용돌이 분자(kl) 사이에 놓인 도체(pq)에서는 자유롭게 움직일 수 있는 유동 바퀴가 양편의 회전 속도 차이에 의해 qp 방향으로 구르게 되어 유도 전류가 만들어진다. 만약 도체에 저항이 없다면, 유동 바퀴는 영원히 움직이면서 도체 너머의 소용돌이 분자에는 운동을 전달하지 않을 것이다. 그러나 실제 도체는 저항이 있기 때문에, 움직이던 유동 바퀴는 멈춰서 제자리에서 회전하면서 도체 너머의 소용돌이 분자(kl)에도 운동을 전달하게 된다. 즉 이 소용돌이 분자-유동 바퀴 모형은 전류의 자기 작용이 어떻게 멀리까지 전달되는지, 어떻게 유도 전류를 만들어내는지, 그리고 왜 그 유도 전류는 금방 사라지는지까지 “기계적으로” 설명해 주었다.

이로써 맥스웰은 원거리 작용 개념을 사용하지 않고서, 자기와 전자기 현상에 대한 대안적인 모형을 일관되게 만들 수 있었으며, 그로부터 알려진 법칙과 일치하는 장 방정식을 만들어내는 데 성공했다. 게다가 그의 소용돌이 분자-유동 바퀴 모형은 전자기 유도 작용이 인접한 기계 장치들 사이의 연결된 메커니즘에 의해 일어날 수 있다는 무척이나 직관적인 설명을 제공했다. 그러나 이러한 맥스웰의 설명이 원거리 작용 개념에 대한 결정적인 논박을 제공한 것은 아니었다. 왜냐하면, 그의 모형을 통해 유도해낸 방정식은 원거리 작용 개념에 근거한 방정식과 전혀 차이가 없었으며, 그의 모형에 의한 전자기 유도 작용은 인접한 기계 장치를 따라 매개되긴 했지만 여전히 순식간에 전달되었기 때문이다. 원거리 작용 개념과의 실질적인 차별화를 제공한 것은 정전기 작용을 다룬 3부에 이르러서였다.

매질의 탄성 변형으로 전기력선을 그리다

논문의 2부를 출판할 때까지 그는 아직 소용돌이 분자 모형을 정전기 작용까지 설명할 수 있도록 확장하는 방법을 알지 못했다. 2부를 출판하고서 몇 달 후, 맥스웰은 인접한 소용돌이 분자와 유동 바퀴 사이에 미끄러지지 않으면서 서로의 운동이 온전히 전달되려면 소용돌이 분자에 탄성이 있어야 한다는 것을 깨닫는 동시에, 탄성이라는 아이디어가 정전기 현상을 설명할 수 있는 길을 열어준다는 것을 함께 깨달았다. 패러데이는 정전기 작용이 유전체 매질의 연쇄적인 전기 분극 상태에 의해 전달된다고 생각했는데, 패러데이가 말한 유전체의 전기적 분극 상태가 소용돌이 분자의 탄성 변형을 통해 재현될 수 있을 것 같았기 때문이다.

맥스웰에 따르면, 도체 내의 유동 바퀴는 소용돌이 분자에 속박되지 않아 움직일 수 있는 반면, 절연체 내의 유동 바퀴는 소용돌이 분자에 속박되어 제자리에서만 회전할 수 있었다. 그런데 소용돌이 분자가 탄성을 가지게 되자, 절연체 내의 유동 바퀴도 그에 속박된 소용돌이 분자의 탄성 변형에 의해 살짝은 움직일 수 있게 되었다. 유동 바퀴는 전기 입자를 의미하므로, 소용돌이 분자의 탄성 변형에 의해 전기 입자들이 한쪽으로 쏠리게 된다면, 이는 전기적 분극 상태를 표상할 수 있다. 쏠린 쪽은 +방향, 그 반대쪽은 -방향으로 말이다(그림 16). 그리고 이렇게 동일한 크기의 변위만큼 변형된 소용돌이 분자가 연쇄적으로 이어지는 동안에는 전기 입자의 넘치고 부족함이 상쇄되어 중성화되겠지만, 도체와 만나는 경계면에서는 전기 입자가 남아돌거나(+) 부족하게(-) 되어 그 만큼의 전하를 띠게 될 것이다(그림 17). 이는 전하를 유전체의 연쇄적인 전기적 분극 상태의 양쪽 말단에 남은 잉여의 극성으로 생각했던 패러데이의 생각을 그대로 반영한 것이었다.

맥스웰은 이러한 설정으로부터 쿨롱의 정전기력 법칙을 유도할 생각이었다. 맥스웰은 소용돌이 분자가 변형되면, 소용돌이 분자의 탄성 변형은 유동 바퀴 변위()의 반대 방향으로 원상 복귀시키려는 복원력()을 발휘할 것으로 생각했다. 이는 다음과 같은 방정식을 만들어냈다.

위의 방정식에서 는 쉽게 말해 ‘전기 탄성 계수’를 의미했다. 맥스웰은 이 변위의 변화를 변위 전류()라 부른 후, 앞서의 논문에서 작성했던 앙페르 법칙에 변위 전류를 추가했다.

(양변에 발산을 취하면 만 남음)

이제 맥스웰은 전하와 전류 사이의 연속성 원리를 채택했다. 즉 전류의 생성량()은 그 지점의 전하 밀도의 감소량()과 같아야 한다는 원리를 채택한 것이다. 이로부터 그는 전류밀도()와 전하 밀도() 사이에 다음의 관계식을 얻었다.


이렇게 구한 식들을 차례로 결합함으로써, 맥스웰은 다음의 관계식을 얻었는데,


이 식은 애초에 탄성 매질을 도입할 때 의도했던 전하의 개념을 정확히 묘사하고 있었다. 즉 전하는 탄성 변형에 따른 변위로 묘사된 전기적 분극 상태 양쪽 말단에 남은 잉여의 극성이 되었다. 게다가 식에 등장한 복원력()을 기전력으로 해석하는 순간, 이 식은 앞의 논문 “패러데이의 힘의 선에 관하여”에서도 이미 다룬 적이 있는 전하와 기전력 사이의 관계식이 되었다. 이로부터 점전하 주위의 기전력과 그 전기 포텐셜을 구하고 그로부터 점전하 사이에 작용하는 역학적 힘을 구하는 일은 맥스웰에게 식은 죽 먹기였다. 그 결과 맥스웰은 두 개의 점전하(과 ) 사이에 작용하는 역학적 힘을 다음과 같이 유도해냈다.


이는 다음의 쿨롱의 정전기력 법칙과 형식적으로 동일했다.


단 그가 유도한 공식과 쿨롱의 법칙은 형태는 같지만 서로 다른 단위계를 쓰고 있었다. 이번 유도과정에서 맥스웰이 도입한 전하 는 전류와의 연속성 원리가 내장되어 있어, 전류와는 무관하게 정의된 쿨롱의 전하 와는 서로 다른 단위를 쓰고 있었다. 맥스웰은 자신이 유도한 공식에 사용한 전하 의 단위를 “전기의 전자기적 단위”로, 쿨롱의 법칙에 쓰인 전하 의 단위를 “전기의 정전기적 단위”로 불렀다. 만약 양쪽 식에 쓰인 전하가 본질적으로 같은 대상을 다룬다면, 그들 사이에는 다음의 비례 관계가 성립해야 할 것이다.


맥스웰은 독일의 물리학자 콜라우쉬와 베버의 전자기 실험을 인용하면서 공기 중에서의 비례상수 값을 다음과 같이 계산했다.


자신의 정전기력 법칙에 포함시킬 비례상수와 그 단위까지 정립함으로써, 그의 정전기력 공식은 완전한 의미에서 쿨롱의 법칙과 동일한 것이 되었고, 이로써 맥스웰은 소용돌이 분자 모형을 가지고 시작했던 긴 여정을 마무리할 수 있게 되었다. 자기 작용에서부터 전자기 유도를 거쳐 드디어 정전기 작용까지, 그는 이 세 가지 작용을 하나의 일관된 모형으로 설명하는 데 성공했다. 자기력선은 소용돌이 분자의 회전으로, 전류는 소용돌이 분자들 사이의 유동 바퀴로, 전기적 분극 상태는 소용돌이 분자의 탄성 변형으로 정의하고 나면, 오늘날 ‘맥스웰 방정식’이라 불리는 전자기 현상에 대한 모든 방정식이 그로부터 유도되었고 그 방정식들은 알려진 모든 실험 법칙들과 일치했다. 그는 명실상부한 전자기장 이론을 만들어낸 것이다.

전자기 작용의 전달 속도는 빛의 속도와 같다!

논문을 끝내기 전에 그는 아직 할 일이 남아 있었다. 매질에 탄성을 부여했을 때, 처음부터 그는 전자기 작용이 전달되는 데 시간이 걸린다는 점을 보이고자 하는 목표를 갖고 있었다. 논문의 2부에서 전자기 유도를 설명하는 데 쓰였던 ‘소용돌이 분자-유동 바퀴’ 모형에 따르면, 전자기 유도 작용은 아무리 멀리 있는 유도 회로까지도 순식간에 전달되었다. 모든 소용돌이 분자와 유동 바퀴들은 완전히 딱딱해서 변형되지도 못하고 미끄러지지도 못하는 방식으로 연결되어 있었기 때문에, 하나의 유동 바퀴가 움직이려면 그와 연결되어 있는 모든 부분들이 한꺼번에 움직여야 했다. 즉 모형 내에서 전자기 작용은 분명히 연속된 매질을 통해 전달되나 결과적으로는 순식간에 전달되는 원거리 작용과 다를 바가 없었다. 맥스웰이 매질에 부여한 탄성은 이러한 상황을 개선할 수 있었다. 탄성 매질은 서로의 운동을 잠시 동안씩 품었다가 전달하기 때문에, 탄성 매질을 통해 매개되는 전자기 작용이 멀리까지 전달되는 데에는 시간이 걸릴 수 있었다.

맥스웰은 자신이 고안한 탄성 매질에서의 작용 전달 속도를 빛의 속도와 비교하고 싶었다. 당시 빛은 빛 에테르라는 탄성 매질에서의 횡파로 알려져 있었으므로, 맥스웰은 자신이 고안한 탄성 매질에서 횡파가 전달되는 속도를 구하기 시작했다. 탄성 매질에서 전달되는 파동의 속도는 보통 매질의 밀도와 탄성계수에 의해 정해졌다. 그는 각각의 소용돌이 분자들이 구형이라는 가정으로부터 전기 탄성 계수()와 자기 투과율()을 매질의 탄성계수와 밀도와 연결시키는 다소 복잡한 계산을 끝낸 후, 다음의 속도식을 구할 수 있었다.


이를 계산하기 위해서는 전기 탄성계수()와 자기 투과율()의 값을 알아야 했다. 자기 투과율()의 값은 공기 중에서 1로 정의해둔 것이라 새로이 구할 필요가 없는 값이었고, 의 값은 위에서 전자기적 전하 단위 대 정전기적 전하 단위 사이의 비례상수()에 의해 이미 구해졌으므로, 그가 고안한 탄성 매질 내 횡파의 속도 는 다음과 같이 구해졌다.


이 값이 피조가 측정한 빛의 속도 m/s와 놀라울 정도로 일치한다는 것을 깨달은 맥스웰은 다음과 같이 결론지었다.

MM. 콜라우쉬와 베버의 전자기 실험을 통해 계산된 우리의 가설적 매질에서의 횡파의 속도는, M. 피조의 광학 실험을 통해 계산된 빛의 속도와 너무나 정확히 일치하여, 우리는 다음과 같은 추론을 거의 피할 수 없다. 즉 빛은 전기와 자기 현상의 원인이 되는 같은 매질의 횡파로 구성되어 있다.

맥스웰이 빛을 곧장 전자기파로 주장하지 않는 데에는 이유가 있었다. 그는 전자기 작용을 일으키는 매질에 파동이 있다면 그 파동은 빛의 속도와 같을 것이라는 것만을 알아냈을 뿐, 전자기 작용 자체가 파동을 만들어내는지는 알아내지 못했기 때문이다. 전자기 작용에 의한 파동, 즉 전자기파의 존재는 3년 뒤 출판될 “동역학적 전자기장 이론”에서야 명확하게 드러나게 된다.

“물리적 힘의 선”이라는 논문을 처음 집필하기 시작했을 때, 맥스웰의 목표는 ‘인접한 입자들을 통한 작용’이라는 패러데이의 이론적 아이디어를 살리면서 전기와 자기, 전류를 통합적으로 설명할 수 있는 이론을 만드는 것이었다. 그는 매질의 연속적인 작용에 근거해 원거리 작용 개념에 기초해 유도된 법칙들을 재유도해냄으로써, 원거리력 개념에 의심을 가진 사람들에게 그럴듯한 대안을 제시하고 싶었다. 그런데 논문의 3부를 마치면서 맥스웰은 이러한 목표를 초과달성하게 되었다. 그는 알려진 법칙들을 모두 재유도해내는 데 그치지 않고, 전자기 작용 전달에 시간이 걸릴 것이고 그 전달 속도가 빛의 속도와 같다는 예측까지 선보였다. 드디어 그는 자신의 전자기장 이론을 원거리력 이론과 실질적으로 차별화할 수 있게 된 것이다.

이러한 성과는 모두 소용돌이 분자 모형 덕분이었다. 그러나 이러한 모형의 존재는 난처한 문제를 야기했다. 맥스웰은 논문에 공 모양의 소용돌이 분자라든가 전혀 미끄러지지 않는 유동 바퀴 등의 복잡한 기계 장치를 전면에 등장시켰다. 그러나 이러한 기계 장치의 존재는 “정말 그렇게 복잡하게 연결된 기계 장치가 공간을 채우고 있을까?”와 같은 질문이 제기되는 걸 막을 수 없었다. 맥스웰은 다음과 같은 해명을 해야 했었다.

소용돌이와 완벽하게 접촉하여 구름으로써 소용돌이의 운동과 자신의 운동이 연결된 입자[유동 바퀴]의 개념은 다소 이상해 보일지 모르겠다. 나는 이를 자연에 존재하는 연결 방식이라거나 내가 동의하는 전기에 대한 가설로도 제안하지 않는다. 그러나 이는 역학적으로 상상 가능한, 그리고 쉽게 탐구 가능한 연결 방식이며, 이는 알려진 전자기 현상들 사이의 실제 역학적 연결을 알려주는 데 도움을 준다.

분명 그의 기계 장치는 전자기 현상을 새로운 방식으로 이해하는 데 큰 도움을 주었다. 게다가 그가 상상으로 고안해낸 복잡한 기계 장치는 전자기장을 구성하는 실제 매질의 작동 방식을 대신하여 전자기장 방정식을 유도해 주었고 새로운 예측까지 덤으로 선물해 주었다. 그러나 그 보기 흉한 기계 장치를 계속 남겨둘 수는 없는 노릇이었다. 집을 다 지었으니, 집을 짓는 과정에서 필요했던 보기 흉한 임시 골조물들은 이제 치워버려도 되는 것 아닐까?

모형을 버린 채 방정식과 빛을 도출하다

맥스웰은 소용돌이 분자와 유동 바퀴로 이루어진 기계 장치를 옆에 치우고서, 순수하게 전자기 물리량들과 알려진 실험적 관계들만을 이용하여 전자기장 방정식을 유도할 수 있는 방법을 찾기 시작했다. 그리고 소용돌이 분자의 구체적인 모양에 의존하지 않고서도 전자기파의 속도를 구할 수 있는 방법도 필요했다. 만약 이것이 가능하다면, 그의 이론은 골조물을 치워도 스스로 설 수 있는 훌륭한 집이 될 것이었다.

이러한 바램은 1864년 출판된 논문 “전자기장에 대한 동역학 이론(A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field)”에서 달성되었다. 이 논문에서 맥스웰은 18세기 말 프랑스의 학자 라그랑주가 개발한 라그랑지안 “동역학” 체계의 도움을 받았다. 이 라그랑지안 동역학 체계는 기본적으로 뉴턴의 역학 법칙을 만족하는 시스템을 분석하기 위해 고안된 방법이지만, 대상 시스템을 분석하는 데 상세한 세부 정보를 필요로 하지 않는다는 장점이 있었다. 이 방법에 따르면, 겉에서 알 수 있는 적은 수의 제약조건으로부터 시스템을 구성하는 부분들 사이에 성립하는 운동량-에너지 관계식만 특성화할 수 있다면, 시스템 내부의 나머지 상세한 정보는 ‘블랙박스’처럼 놔둔 채 그로부터 원하는 방정식들을 이끌어낼 수 있었다. 맥스웰은 이 방법의 탁월함을 소개하기 위해 라그랑주의 말을 직접 인용하기도 했다.

흔히 보는 종탑에서 각각의 종에 매달린 밧줄은 종탑 바닥에 난 구멍 사이를 지나 종치기의 방까지 내려온다. 하지만 각각의 밧줄이 종 하나에 작용하는 대신에 종탑 안의 기계 장치의 여러 부분의 운동에 기여한다고 가정하고, 각 부분의 운동이 밧줄 하나의 운동만이 아니라 밧줄 여럿의 운동에 따라 결정된다고 가정하자. 그리고 더 나아가 이 기계장치의 모든 것이 잠잠하고 밧줄 여럿을 손에 쥐고 있는 사람들에게 전혀 알려지지 않는다고 가정하자. 사람들은 자기네 머리 위 저 높은 데 있는 종탑 바닥의 구멍을 그저 바라만 볼 뿐이다.

이 모두를 가정했을 때, 아래에 있는 사람들의 과학적 임무는 무엇일까? 그들은 밧줄은 완전히 마음대로 조종할 수 있지만, 나머진 아무것도 할 수 없다. 그들은 각 밧줄에 임의의 위치와 임의의 속도를 부여한 후, 동시에 모든 밧줄들을 정지시킨 채 각 밧줄에 전달되는 충격의 종류를 느낌으로써 그것의 운동량을 계산할 수 있다. 만약 주어진 세트의 위치까지 밧줄을 끌어당기기 위해 필요한 일의 양을 확인하거나 그것을 이들 위치로 표현하는 데 문제가 있다면, 알려진 다른 좌표계로 시스템의 퍼텐셜 에너지를 알 수 있다. 만약 그들이 임의의 한 밧줄에 걸리는 충격을 안다면, ... 그들은 알려진 좌표계와 속도를 이용해 운동 에너지를 표현할 수 있다.

이것은 우리가 종탑에 대해 알 수 있는 전부이지만, 우리가 종탑 시스템을 이해하기 위해 필요한 충분한 정보이기도 하다. 이를 통해 종탑 시스템을 구성하는 밧줄들 사이의 운동량-에너지 관계만 특성화할 수 있다면, 우리는 밧줄들에 작용하는 임의의 힘에 따라 밧줄이 어떻게 움직일지 정확히 알 수 있게 된다. 종탑 안에 도르래가 몇 개나 있고 어떻게 연결되어 있는지는 굳이 알 필요가 없다.

맥스웰은 이 같은 원리를 자신의 전자기 시스템에 적용했다. 전자기 시스템을 이해하는 데, 소용돌이 분자가 어떻게 생겼는지 유동 바퀴가 얼마나 작은지와 같은 사항은 몰라도 된다. 다만 그는 자신의 전자기 시스템을 동역학적으로 분석하기 위해 최소한의 가정만을 부여했다. 첫째, 전자기 현상은 장을 채우고 있는 매질에 의한 작용이다. 둘째, 장은 전자기 작용을 일으킬 수 있는 역학적 에너지를 지닌다. 맥스웰은 여기서 자기 작용에 의해 빛의 편광면이 회전하는 실험 결과로부터, 전자기장이 자기 작용과 관련된 회전 운동 에너지를 지닐 거라 추측했다. 셋째, 전자기장 내 한 부분의 운동은 연결된 메커니즘에 의해 다른 부분으로 전달된다. 이미 빛과 전자기파의 동일성을 염두에 두고 있던 맥스웰은 운동의 전달에 시간이 걸려야 한다고 생각했고, 이를 위해 전자기장은 에너지를 저장했다가 전달할 수 있는 탄성을 가져야 했다. 따라서 전자기장은 탄성 위치 에너지를 지녔다.

이로써 맥스웰의 전자기 시스템은 매질 내에 (회전) 운동 에너지와 탄성 위치 에너지를 품은 ‘연결된 시스템’이 되었다. (회전) 운동 에너지와 탄성 위치 에너지는 각각 자기 작용과 정전기 작용과 관련되었으며, 두 에너지는 손실 없이 상호 전환될 수 있었다. 에너지를 통해 분석된 전자기 시스템에서, 회로에 흐르는 전류 작용이란 전자기 에너지가 마찰에 의해 열 에너지로 전환되는 것을 뜻했다.

맥스웰은 위의 가정과 함께 패러데이의 전자기 유도 법칙을 제약조건 삼아 전자기 시스템의 운동량-에너지 관계식을 이끌어내었고, 이로부터 8개의 전자기장 방정식을 유도해내는 데 성공했다.

(a) 총 전류의 법칙
(는 총 전류, 는 일반 전류, 는 변위 전류)

(b) 자기력선 밀도와 전자기 모멘텀의 관계

(는 자기력선 밀도, 는 전자기 모멘텀

[전자기 모멘텀(A)는 지난 논문의 전기적-긴장 강도를 뜻함] (c) 앙페르 법칙

(는 자기 강도)

(d) 기전력의 법칙

(는 기전력, 는 전기 포텐셜)

[전자기 모멘텀()의 변화, 도선의 운동(), 전기 포텐셜의 증감()에 의해 발생하는 기전력을 묘사] (e) 전기 탄성 방정식

(는 전기 탄성계수, 는 전기 변위)

(f) 옴의 법칙

(는 전기 전도도로서 전기 저항의 역수)

(g) 가우스의 법칙

(는 자유 전하 밀도)
(h) 전하-전류 연속성 방정식

잘 보면 알겠지만, 위에 보이는 대부분의 식들은 앞에서 이미 등장했던 식이다. 그러나 몇 개의 식에서는 작은 변화가 일어났다. 그 변화를 조금만 지적하자면, 첫째로, 기전력()과 변위()의 부호 관계가 -에서 +로 바뀌었다(방정식 e). 지난 논문 “물리적 힘의 선에 관하여”에서는 기전력이 변위를 원상복구시키려는 복원력으로 정의되었던 데 반해, 이번 논문에서는 변위를 일으키는 힘으로 재정의되었기 때문이다. 둘째로, 일반 전류()와 변위 전류()의 합으로서 총 전류()가 정의되어(방정식 a), 지난 논문 “물리적 ‘힘의 선’에 관하여”에서는 변위 전류와 앙페르 자기 효과()의 합으로 일반 전류가 만들어지는 것으로 생각했지만, 이번 논문에서는 앙페르 자기 효과를 일반 전류()와 변위 전류()의 합인 총 전류()와 연결시켰다(방정식 c). 이로써 일반 전류가 아닌 정전기적 변위 전류만으로도 자기 효과가 일어날 수 있다는 점이 보다 명시적으로 드러나게 되었다.

이제 맥스웰은 정전기 작용과 자기 작용 사이의 상호 작용을 방정식을 통해 추적할 수 있게 되었는데, 이는 전자기파를 만들어냈다. 이 작업은 생각보다 간단했는데, 일반 전류()가 흐르지 못하는 유전체만으로 이루어진 공간에 한 축으로만 작용하는 자기장()을 가정한 후 위의 방정식들(a, b, c, d, e)을 단순 결합하면 아래의 방정식이 도출되었다.


이는 z축 방향으로 진행하는 전형적인 파동 방정식으로, 그 해는 아래처럼 잘 알려져 있었다.


단,

이 식은 지난 논문에서 구했던 속도식과 동일했다. 즉 맥스웰은 소용돌이의 모양에 대한 의심스러운 가정을 동원하지 않고서 파동의 속도를 구하는 데 성공한 것이다. 게다가 이번에 구한 속도는 단지 전자기 매질에서 진행되는 횡파의 속도가 아니라, 전자기장 방정식에 의해 곧장 도출되는 전자기파의 속도였다. 따라서 맥스웰은 지난번보다 강한 주장을 할 수 있게 되었다.

이 결과들의 일치는 빛과 자기가 같은 물질의 작용이며, 또 빛이 전자기 법칙을 따라 장을 통해 전파되는 전자기파라는 것을 보여주는 듯하다.

즉, 지난번 논문에서 전자기 작용과 같은 매질을 공유하는 횡파에 그쳤던 빛은 이제 전자기 법칙을 만족하는 전자기파가 되었다(그림).


맥스웰의 장 개념

전자기 작용이 전달되는 데 일정한 시간이 걸릴 것이라는 맥스웰의 이론적 예측은 그의 이론을 원거리 작용 개념과 양립 불가능한 것으로 만들었다. 전자기 작용이 본질적으로 공간의 상태에 의존하는 작용이라는 패러데이의 ‘장 개념’은 드디어 전자기 작용을 기술하는 데 필수적인 것이 되었다. 게다가 전자기파의 속도가 빛의 속도와 같다는 맥스웰의 계산은 전기와 자기와 빛의 통일적 이해를 갈구했던 패러데이의 오랜 바램까지 실현시켜주었다.

그러나 맥스웰의 ‘장 개념’이 패러데이의 ‘장 개념’과 완전히 똑같은 것은 아니었다. 패러데이는 전기와 자기 작용이 ‘힘의 선’을 따라 전달된다고 생각했다. 그래서 그는 ‘힘의 선’이 작용을 직접 전달하는 ‘운반자’이거나, 적어도 작용이 전달되는 ‘경로’는 될 것이라고 생각했다. 그러나 맥스웰에게 ‘힘의 선’은 작용을 전달하는 ‘운반자’도 ‘경로’도 아니었다. 그의 이론에서, ‘힘의 선’은 매질의 회전 운동(자기력선)이나 매질의 탄성 변형(전기력선)을 통해 표현되는 특정한 분극 상태를 지칭할 뿐이었으며, 전자기 작용은 전기력선과 자기력선 사이의 상호작용에 의해 그 둘 모두와 수직이 되는 방향으로 전파되었기 때문이다. 전기와 자기 작용은 힘의 선을 ‘따라’ 전달되는 것이 아니라 힘의 선에 ‘수직으로’ 전달되었다!

패러데이는 공간을 매질로 가득 채우는 것을 선호하지 않았지만, 맥스웰은 ‘힘의 선’을 묘사하기 위해 공간을 매질로 가득 채워야 했다. 패러데이는 분명 매질의 영향을 중요하게 생각했지만, 서로 다른 매질은 ‘힘의 선’을 통과시키는 정도에 차이를 주는 것으로서, 결국 작용을 전달하는 것은 ‘힘의 선’ 자체라고 보았다. 특히 그는 매질이 없는 진공을 통해서도 ‘힘의 선’이 직접 통과할 수 있다고 생각했다. 반면 맥스웰은 물질과 독립된 ‘힘의 선’을 인정하지 않았다. 모든 현상은 물질의 운동을 통해 매개되는 연결된 메커니즘으로 기술되어야 했다. 이를 위해 공간은 뉴턴의 역학 법칙에 따라 작동하는 탄성 매질로 가득 채워졌고, 결국 ‘힘의 선’은 이 탄성 매질의 역학적 상태가 되었다.

당시 많은 사람들의 관례에 따라, 그의 매질은 ‘에테르’라는 이름을 얻게 되었다. 당연히 맥스웰에게 이 ‘에테르’는 뉴턴의 역학 법칙을 따르는 물질로서, 운동 에너지와 위치 에너지를 지녔다. 에테르에 대한 구체적인 소용돌이 모형 대신 라그랑지안 동역학 체계를 통해 전자기 이론을 유도할 수 있게 된 후에도, 맥스웰은 에테르가 작동하는 참된 메커니즘이 어떠한 형태로든 존재한다고 생각했다. 사실 그는 ‘탄성 변형이 가능한 소용돌이 분자’라는 아이디어를 한 번도 버린 적이 없었으며, 에테르의 역학적인 메커니즘을 밝혀내는 작업을 죽을 때까지 포기하지 않았다. 그러나 그의 숙원은 이루어지지 못한다. 그의 전자기장 방정식은 약간만 변형된 채 21세기까지 살아남았지만, 20세기 초 그의 에테르 매질은 불필요한 것으로 버려지고 만다.

패러데이 & 맥스웰의 목차

정동욱, 패러데이 & 맥스웰 : 공간에 펼쳐진 힘의 무대 (김영사, 2010)

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