회전 (벡터 연산자)

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벡터 연산자 ‘회전’은 벡터장 내 임의의 지점의 회전량과 방향을 나타내는 연산자이다.

주어진 자기 강도 분포에 의한 자기 강도 회전 방향과 회전량이 각 사각형의 안쪽에 표시되어 있다.

자기장의 강도 [math]\mathbf H[/math]가 그림의 화살표들처럼 어지럽게 분포되어 있다고 해보자. 각 사각형의 한 변의 길이가 1이라고 할 때, 각 사각형의 자기 강도 회전량 [math]\nabla \times \mathbf H[/math]는 각 사각형의 변을 따라 반시계방향으로 돌면서 그 방향과 일치하는 화살표는 더하고 반대인 화살표는 빼서 얻어진다. 그 결과는 각 사각형 안에 회전 방향과 함께 회전량을 숫자로 기입해 두었다. 맥스웰이 정식화한 [math]\nabla \times \mathbf {H} = 4 \pi \mathbf J[/math]라는 법칙이 맞다면, 각 단위 사각형 내부에서는 각각 [math]\frac{1}{\pi}, - \frac{1}{4 \pi} , \frac{1}{2 \pi}[/math]의 전류가 종이를 통과하고 있어야 한다(+는 종이 아래에서 위로 뚫고 나오는 방향, -는 그 반대 방향).

수학적인 기호를 사용하면, [math]\mathbf {H} = (H_x , H_y , H_z )[/math]에 의해 정의된 벡터장 내 각 지점의 장의 회전은 [math](\nabla \times \mathbf {H})[/math]로 표현되며, 그 값은 다음과 같은 다소 복잡한 형태의 벡터로 정의된다.

[math]\nabla \times \mathbf {H} = \left( \frac{\partial H _z}{\partial y} - \frac{\partial H _y}{\partial z} , \frac{\partial H _x}{\partial z} - \frac{\partial H _z}{\partial x} , \frac{\partial H _y}{\partial x} - \frac{\partial H _x}{\partial y} \right)[/math]

수식의 복잡한 겉보기와 다르게 그 의미는 생각보다 간단하다. 그림의 경우, 각 단위 사각형마다의 장의 회전 [math]\nabla \times \mathbf {H}[/math][math]left( 0, 0, \frac{\Delta H_y}{\Delta x} - \frac{\Delta H_x}{\Delta y} \right)[/math]의 계산법으로 구해보면 그 값은 왼쪽 사각형부터 [math](0,0,4)[/math], [math](0,0,-1)[/math], [math](0,0,2)[/math]가 된다. 결과적인 벡터의 크기는 앞서 사각형을 반시계 방향으로 돌며 회전량을 계산한 결과와 동일하며, 벡터의 방향은 회전 방향으로 오른손을 감싸쥐었을 때 엄지손가락이 가리키는 회전축의 방향을 가리킨다.

스토크스 정리

스토크스 정리에 따르면, 임의의 폐곡선을 따라 자기 강도를 한 바퀴 경로 적분한 값은 그 폐곡선 내부 각 지점의 자기 강도 회전량의 총합(면적분)과 같다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

[math]\oint \mathbf {H} \cdot d \mathbf {l} = \iint \nabla \times \mathbf {H} \cdot d \mathbf {S}[/math]
맨 가운데 사각형의 회전만 12이고, 나머지 사각형의 회전은 0이다.
이 등식이 의미하는 바는 그림을 통해 더 명확히 보일 수 있다. 그림 4-8의 가장 바깥 둘레의 경우에 대해 등식의 좌변과 우변의 값을 구해보면 다음과 같이 정확히 일치한다(다른 폐곡선에 대해서도 결과는 마찬가지이다).
좌변 : [math]\oint \mathbf {H} \cdot d \mathbf {l} = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=12[/math]
우변 : [math]\iint \nabla \times \mathbf {H} \cdot d \mathbf {S} = 0+0+0+0+12+0+0+0+0=12[/math]

맥스웰이 정식화한 미분 형태의 앙페르 법칙은 바로 스토크스의 정리를 이용해 적분 형태의 앙페르 법칙을 고쳐 쓴 것이다. 그 유도 과정은 아래와 같다.

적분 형태의 앙페르 방정식 : [math]\oint \mathbf {H} \cdot d \mathbf {l} = 4 \pi \iint \mathbf {J} \cdot d \mathbf {S} :스토크스의 정리 : = \ltmath\gt\oint \mathbf {H} \cdot d \mathbf {l} = \iint \nabla \times \mathbf {H} \cdot d \mathbf {S}[/math]
두 등식의 좌변이 일치하므로 [math]\nabla \times \mathbf {H} = 4 \pi \mathbf {J}[/math]

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