Branden Fitelson, “The Plurality of Bayesian Measures of Confirmation and the Problem of Measure Sensitivity”, Philosophy of Science 66 (1999), pp. S362-S378.

입증도의 relevance measure [eqn: c]는 다음의 조건을 만족하는 측정방식을 말한다.

[eqn: c(h,e) LEFT { {matrix{>````0&if~p(h|e)>p(h)#<````0&if~p(h|e)<p(h)#=0&```if~p(h|e)=p(h)}} RIGHT .]

이를 만족시키는 잘 알려진 측정 방식들은 아래와 같다.

[eqn: d(h,e)= _{df} p(h|e)-p(h)]

[eqn: r(h,e)= _{df} log LEFT [ {p(h|e)} over {p(e)} RIGHT ]]

[eqn: l(h,e)= _{df} log LEFT [ {p(e|h)} over {p(e| LNOT h)} RIGHT ]]

r[eqn: (h,e)= _{df} p(he)-p(h)p(e)=p(e)d(h,e)]

정량적 베이즈주의 입증 이론의 많은 논증들은 위의 입증도 측정 방식을 사용하는데, 문제는 그 논증들이 입증도 측정 방식 선택에 민감하다는 데 있다. 즉 많은 논증들은 위의 입증도 측정 방식 중 어떤 것을 선택에 따라 그 타당성 여부가 달라진다. 이 논문에서 피텔슨은 차이 측정 방식 [eqn: d]의 옹호자들이 [eqn: r]보다 [eqn: d]가 낫다는 것을 보이는 데에는 일정 정도 성공했을지 몰라도, [eqn: d]가 [eqn: l]이나 r보다 낫다는 것을 보이지는 못했음을 주장한다.

2. 민감성 문제의 사례들

2.1. 길리스(Gillies)의 포퍼-밀러 논증 재구성 : 길리스(1986)는 (베이즈주의를 공격하기 위한) “귀납적 확률의 불가능성”에 관한 포퍼와 밀러(1983)의 악명 높은 논증을 재구성하기 위해, 차이 측정 [eqn: d]의 덧셈 가능 속성을 이용했다. 그러나 [eqn: d]와 r은 아래의 속성을 가지지만, [eqn: r]과 [eqn: l]은 아래의 속성을 가지지 않는다.

[eqn: d(h,e)=d(h LOR e,e)+d(h LOR LNOT e,e)]

이에 대한 증명은 아래와 같다.

[eqn: d(h LOR e,e)+d(h LOR LNOT e,e)```= & p(h LOR e|e)-p(h LOR e)+p(h LOR LNOT e|e)-p(h LOR LNOT e)# # = & [p(h|e)+p(e|e)-p(he|e)]-[p(h)+p(e)-p(he)]+# & [p(h|e)+p( LNOT e|e)-p(h LNOT e|e)]-[p(h)+p( LNOT e)-p(h LNOT e)]# # = & 1-2p(h)-[p(e)+p( LNOT e)]+[p(he)+p(h LNOT e)]+p(h|e)# # = & p(h|e)-p(h)]

길리스는 [eqn: r]보다 [eqn: d]가 낫다는 논증을 덧붙이지만, 이 논증은 [eqn: l]에는 해당되지 않는다.(3.1에서 더 논의) 따라서 길리스의 포퍼-밀러 논증 재구성은 베이즈주의에 심각한 위협이 되지 못한다.

2.2. 로젠크란츠(Rosenkrantz)와 이어만(Earman)의 “무관한 연언” : 로젠크란츠(1994)는 “무관한 연언” 문제를 해결하기 위해 [eqn: d]의 다음 속성을 이용한다. 그러나 [eqn: r]과 [eqn: l]은 위의 속성을 가지지 않는다.

If [eqn: h MODELS e], then [eqn: d(hx,e)=p(x|h)d(h,e)]

이에 대한 증명은 아래와 같다.

[eqn: d(hx,e) & =p(hx|e)-p(hx)# # & =p(x|he)p(h|e)-p(x|h)p(h)# # & =p(x|h)p(h|e)-p(x|h)p(h),~( BECAUSE h MODELS e)# # & =p(x|h)[p(h|e)-p(h)]# # & =p(x|h)d(h,e)]

이어만(1992)는 로젠크란츠보다는 온건한 아래의 조건을 사용한다. 그러나 아래의 조건은 [eqn: d,l,]r 모두 만족하지만, [eqn: r]은 만족하지 않는다.

If [eqn: h MODELS e], then [eqn: d(hx,e)<d(h,e)]

따라서 “무관한 연언” 문제는 로젠크란츠에게는 입증도 측정으로 [eqn: r]과 [eqn: l]을 사용하지 않을 때에만, 이어만에게는 [eqn: r]을 쓰지 않을 때에만 해결된다고 할 수 있다.

2.3. 엘즈(Eells)의 그루 역설 : 엘즈(1982)는 그루 역설을 해결하는 데 [eqn: d]의 다음 속성을 사용한다. 그러나 [eqn: r]과 [eqn: l]은 이 속성을 가지지 않는다. ([eqn: beta = _{df} p(h _{1} e)-p(h _{2} e)], [eqn: delta = _{df} p(h _{1} LNOT e)-p(h _{2} LNOT e)]라고 할 때)

If [eqn: beta < delta] and [eqn: p(e)< {1} over {2}], then [eqn: d(h _{1} ,e)>d(h _{2} ,e)]

즉 엘즈의 해법은 입증도 측정 방식으로 [eqn: d]를 쓸 때에만 작동한다고 할 수 있다.

2.4. 호위치(Horwich) 등의 까마귀 역설 문제와 다양한 증거의 문제 : 호위치(1982)를 비롯한 많은 베이즈주의자들은 까마귀 역설과 다양한 증거의 문제를 해결하기 위해 입증도에 관한 아래의 속성을 이용한다. [eqn: d, r,l] 모두 아래의 속성을 가지지만, r은 아래의 속성을 가지지 않는다.

If [eqn: p(h|e _{1} )>p(h|e _{2} )], then [eqn: c(h,e _{1} )>c(h,e _{2} )]

따라서 r에 비해 다른 입증도 측정을 선호할 강한 근거를 제시하기 전까지는, 까마귀 역설 문제와 다양한 증거의 문제에 대한 널리 알려진 해법을 수용하는 데 신중해야 할 것이다.

2.5. 소결 : 위의 사례들에서 보았듯이, 몇몇 베이즈주의자들은 다른 입증도 측정방식에 비해 [eqn: d]가 우월하다는 것을 전제하고 있으며, 또한 베이즈주의 입증 이론의 많은 유명한 논증들은 [eqn: d]의 우월성에 민감하게 의존하고 있다. 그러나 현재까지 [eqn: r]에 비해 [eqn: d]가 낫다는 논증들은 있지만, [eqn: l]과 r에 비해 [eqn: d]가 낫다는 논증은 아직 없다. 더구나 [eqn: r]에 비해 [eqn: d]가 낫다는 논증들 중에서는 오직 하나만이 인정할 만하다.(3.1의 논증만 유효. 3.2는 잘못된 논증이라 주장) 더구나 [eqn: d]를 옹호하기 위한 “일반적” 논증은 아직 존재하지 않는다.

3. [eqn: r]을 반대하는 두 논증

3.1. “연역 불감성” 논증 : 로젠크라츠(1981), 길리스(1986)은 [eqn: r]에 대해 다음과 같은 성질을 소개한다.

If [eqn: h MODELS e], then [eqn: r(h,e)=r(hx,e)], for any[eqn: x].

이에 대한 증명은 아래와 같다.

[eqn: r(hx,e) & =log LEFT [ {p(hx|e)} over {p(hx)} RIGHT ]# # & =log LEFT [ {p(x|he)p(h|e)} over {p(x|h)p(h)} RIGHT ]# # & =log LEFT [ {p(x|h)p(h|e)} over {p(x|h)p(h)} RIGHT ] ~( BECAUSE ~h MODELS e)# # & =log LEFT [ {p(h|e)} over {p(h)} RIGHT ]# # & =r(h,e)]

쉽게 말해, 연역적 증거의 경우, [eqn: r(h,e)]는 [eqn: h]의 논리적 힘에 좌우되지 않는다. 이는 [eqn: r]을 반대할 만한 좋은 이유가 된다. 길리스는 다음과 같이 그 이유를 설명한다. “베이즈주의 또는 임의의 귀납주의의 입장에서, 가설 [eqn: h]가 [연역적] 증거 [eqn: e]의 범위를 넘어설수록 [eqn: h]는 [eqn: e]로부터 덜 지지받게 된다. [위에서] 보았듯이, [eqn: r]은 베이즈주의 지지도(입증도) 측정의 이러한 본질적인 특성을 결여하고 있다.” 그러나 [eqn: d]나 [eqn: l], 그리고 r은 위의 성질을 가지지 않는다. 즉 길리스와 로젠크란츠는 [eqn: r]을 거부할 근거는 가졌지만, 나머지에 비해 [eqn: d]를 선호할 근거는 아직 가지고 있지 않다.

3.2 “반직관적 입증” 논증 : 소버(Sober 1994), 슘(Schum 1994) 등을 비롯한 몇몇 논자들은 [eqn: r]이 입증도에 관해 “반직관적인” 값을 매긴다면서 [eqn: r]을 비판한다. 그중 가장 대표적인 것은 소버(1994)의 예이다.

[eqn: & p(h _{1} |e)=0.9 & p(h _{1} )=0.09# & p(h _{2} |e)=0.0009 & p(h _{2} )=0.00009]

[eqn: & d(h _{1} ,e)=0.91 >> d(h _{2} ,e)=0.00081# & r(h _{1} ,e)=log10=r(h _{2} ,e)]

즉 입증도 측정 방식 [eqn: r]에 따르면, 증거 [eqn: e]는 [eqn: h _{1}]과 [eqn: h _{2}]에 대해 같은 입증도 값을 부여한다. 소버는 이것이 반직관적이라고 말한다. 그러나 피텔슨은 소버가 [eqn: d]를 직관적으로 맞는 입증도 측정으로 이미 전제하고 들어갔다고 지적한다. 즉 이는 begging the question이다.

5. 결론

결론적으로 [eqn: r]을 거부할 근거는 있다. 그러나 [eqn: l](또는 r)보다 [eqn: d]를 선호할 근거는 아직 없다. 따라서 [eqn: d]를 이용해야만 성립하는 논증들은 [eqn: d]를 이용하는 것에 대한 정당화 근거를 제시할 필요가 있다. 이 문제를 다루는 데에는 두 가지 전략이 있을 수 있다. 첫째, 입증도 측정 방식에 구애받지 않는 robust한 논증만을 제시하는 방법이 있으며, 둘째, 그런 논증이 불가능한 경우 자신이 사용한 입증도 측정 방식에 대한 정당화 근거를 제시해야 할 것이다. (실용주의적 해법도 있지 않을까?)