베이즈주의/오래된 증거의 문제

베이즈주의 입증 이론^[1]에 따르면, $P(h|e)>P(h)$ 일 때, $e$ 가 참으로 확인되면 $e$ 는 $h$ 를 입증한다. 그러나 이러한 정의에 따르면, 가설 $h$ 가 제안되기 전부터 알려진 증거 $e$ 는 가설 $h$ 를 입증해줄 수 없는 것처럼 보인다. 왜냐하면 $e$ 의 참이 이미 알려진 상태일 경우, 즉 $P(e)=1$ 일 경우, $P(h|e)={\frac {P(e|h)}{P(e)}}P(h)={\frac {1}{1}}P(h)=P(h)$ 이기 때문이다. 그런데 과학사의 많은 사례에서 과학자들은 가설이 제안되기 전부터 알려진 오래된 증거가 가설을 입증할 수 있다는 것을 당연하게 받아들이는 듯하다(코페르니쿠스의 태양 중심설은 오래된 천문 관측 자료들에 의해 뒷받침되며, 케플러의 법칙은 그 전에 관측된 티코의 자료들에 의해 뒷받침되고, 뉴턴의 보편 중력 법칙은 그 이전에 확립된 케플러의 법칙에 의해 뒷받침되며, 아인슈타인의 일반상대성 이론은 19세기부터 알려졌던 수성의 근일점 운동에 의해 뒷받침된다). 이처럼 오래된 증거의 입증 능력에 대한 과학사적/일상적 설명과 베이즈주의적 해명 사이에 발생하는 불일치를 글리모어(Clark Glymour 1980)는 '오래된 증거의 문제'라고 불렀으며, 그는 베이즈주의가 이 문제를 해결할 수 없다고 주장하며 베이즈주의를 거부했다. 그러나 많은 베이즈주의자들은 이를 베이즈주의 입증 이론의 틀 내에서 해결하기 위해 다양한 시도를 했다.

문제의 구분

가버(#Garber 1983)와 엘스(#Eells 1990)는 오래된 증거의 문제(POE)를 크게 역사적 문제와 비역사적 문제로 분류한다.^[2]

POE의 비역사적 측면은 다음과 같이 기술된다. 현재 시점에서 $E$ 가 알려져 있음( $P(E)=1$ )에도 불구하고 (E가 T의 정식화 이후에 발견된 경우(Problem of Old New Evidence)든 E가 T의 정식화 이전에 발견된 경우(Problem of Old Old Evidence)든^[3]) 우리는 $E$ 가 $T$ 의 긍정적 증거가 된다(혹은 T와 증거적으로 유관하다)고 말하고 싶을 때가 있다. 어떻게 그럴 수 있는가? 즉 이 문제는 특정한 시점과는 무관하게 증거와 이론 사이의 증거적 관계에 대해 해명하는 것과 관련되어 있다.
POE의 역사적 측면은 다음과 같이 기술된다. 이론 $T$ 가 제안되거나 $T$ 가 $E$ 를 설명한다는 것이 발견된 순간에 왜 $T$ 는 입증되는가? 즉, 이 문제는 특정한 순간에 이론 $T$ 에 부여되어 있던 확률이 오래된 증거 $E$ 와의 관련성에 의해 높아지는 사건이 발생하는 이유에 대해 해명하는 것과 관련되어 있다. 이 문제를 해결하기 위해서는 $E$ 의 발견에 따른 확률 갱신 외의 방법을 통해서도 이론 $T$ 의 확률이 갱신될 수 있는 방법이 개발되어야 한다.

POE의 비역사적 측면에 관심을 가진 학자들은 주로 반사실적 재구성의 방법을 활용하여 문제를 해결하려고 노력하는 반면, POE의 역사적 측면에 관심을 가진 학자들은 주로 논리적 함축의 학습에 의한 확률 갱신을 고려하여 문제를 해결하려고 노력하고 있다.

엘스(#Eells 1990)는 POE의 비역사적 문제, 즉 e가 h와 증거적 유관성을 가지는지에 대한 문제는 결국 특정한 시점에 e가 h를 입증하는 사건이 발생했는지를 확인함으로써 해결될 수 있다고 제안한 바 있다. 즉 그는 POE의 비역사적 문제가 역사적 문제로 환원된다고 주장했으며, 실제로 풀어야 하는 문제는 POE의 역사적 문제라고 생각했다. 반면 하우슨과 어배크는 POE의 역사적 문제는 존재하지 않는다고 생각하는 것 같다. 그들에게 입증이란 특정한 시점의 자동적 확률 갱신을 통해 나타나는 사건이 아니라 반사실적 재구성을 통해 계산되는 관계일 뿐이기 때문이다.

제안된 해결책들

반 프라센은 증거가 이미 알려져 있다 하더라도 100% 확신할 수 없다는 점(즉 $P(e)<1$ )을 이용하여 오래된 증거가 가설에 입증을 제공(즉 $P(e|h)/P(e)>1$ )할 수 있다는 점을 보이고자 했으나, 이 해결책은 알려진 증거 $e$ 의 확률 $P(e)$ 의 값이 1이 아니더라도 1에 가까워지는 문제로 인해, 이런 방식으로 계산되는 입증의 정도는 매우 미약하다는 단점이 있다. 즉 이 해결책은 과학사적/일상적 직관과 부합하지 않는다. #여영서 (2003)에 따르면, 반 프라센의 해결책은 오래된 증거의 문제의 '질적 문제'만 해결할 뿐, '양적 문제'를 해결해주지 못한다.

한편 가버(#Garber 1983)와 제프리(#Jeffrey 1983)는 베이즈주의에 전제된 논리적 전지성 조건을 약화시킴으로써 오래된 증거의 문제를 해결하고자 했다. 가버(#Garber 1983)는 "가설이 알려진 증거를 논리적으로 함축한다( $h\vdash e$ )"는 사실의 발견이 가설에 대한 입증을 산출할 수 있다(즉, $P(h|h\vdash e)>P(h)$ )고 제안했으며, 제프리(#Jeffrey 1983)는 특정한 조건을 가정하여 $P(h|h\vdash e)>P(h)$ 의 도출을 시도했다. 제프리(#Jeffrey 1983)의 도출은 매우 의심스러운 가정에 기초해 있다는 비판을 받았으며, 이후 이어만(#Earman 1992)을 비롯한 여러 철학자들(#Sprenger 2015; #Hartmann and Fitelson 2015)은 완화된 가정에 기초하여 $P(h|h\vdash e)>P(h)$ 를 도출하기 위해 계속된 시도를 거듭하고 있다. 한편 제프리(#Jeffrey 1995)는 증거가 발견된(O) 이후 그에 대해 가설이 설명할 수 있다는 것을 발견(X')한 경우(즉, 순서 OX')에 가설에 제공되는 총입증의 정도가 가설이 어떠한 현상을 예측할 수 있다는 것을 발견(X')한 이후 그 현상이 실제로 발견된(O) 경우(즉, 순서 X'O)에 가설에 제공되는 총입증의 정도가 동등하다는 교환 법칙을 가정하여, 오래된 증거에 대한 설명을 발견함으로써 제공되는 입증의 정도를 알아낼 수 있는 보상 규칙을 제안하기도 했다.

한편 하우슨과 어배크(Colin Howson and Peter Urbach 2006) 등은 베이즈주의적 입증이 배경지식 $K$ 에 상대적으로 이루어진다는 점을 이용하여, 오래된 증거 $e$ 의 입증도는 $K$ 에서 $e$ 를 제거한 $K-\{e\}$ 라는 배경지식에 상대화시켜 계산되어야 한다는 반사실적 재구성(혹은 역사적 재구성)의 방법을 제안한다. 이 해결책 자체는 여러 비판을 받고 있지만, 뒤엠-콰인 문제, 이론의 통합성 등을 비롯한 다양한 베이즈주의 논의에서는 이러한 반사실적 재구성 방법을 특별한 정당화 없이 사용하는 경우가 많다.

논리적 함축의 학습에 의한 확률 갱신을 고려한 해결책은 주로 역사적(혹은 동적) POE 문제를 해결하는 데 초점을 맞추고 있는 반면, 반사실적 재구성을 활용한 해결책은 주로 비역사적(혹은 정적) POE를 해결하는 데 초점을 맞추고 있다.

논리적 함축의 학습에 의한 확률 갱신

가버(#Garber 1983), 제프리(#Jeffrey 1983), 니닐루오토(Niiniluoto 1983)는 가설에 의한 증거의 논리적 함축( $h\vdash e$ )에 대한 깨달음이 가설에 대한 확률을 갱신시킴으로써 입증을 발생시킬 수 있다고 제안했다. 그러나 이상적인 베이즈주의 행위자는 논리적으로 전지하기 때문에, 가설이 증거를 논리적으로 함축한다는 사실은 가설의 제안과 동시에 학습되는 것으로 가설 제안 이후에 새롭게 학습될 수 없다. 따라서 가버 등의 제안은 행위자의 논리적 전지성 약화를 동반했다. 논리적으로 전지하지 않지만 합리적인 행위자가 되기 위해, 가버는 다음과 같은 제약을 부과했다.

P(e|h,h\vdash e)=1,P(h,e,h\vdash e)=P(h,h\vdash e)

즉 이 새로운 합리적 행위자는 $h$ 가 참이라고 믿는 동시에 $h$ 가 $e$ 를 함축한다는 것을 믿을 경우, $e$ 를 믿을 수밖에 없다. 가버는 이러한 제약으로부터 $P(h|h\vdash e)>P(h)$ 일 수 있음을 보였다.

제프리(#Jeffrey 1983)는 몇 가지 그럴듯한 가정이 만족될 경우 $P(h|h\vdash e)>P(h)$ 임을 도출할 수 있다고 주장했다. 제프리가 전제한 가정 중에는 $P(h|(h\vdash e)\lor (h\vdash -e))\geq P(h)$ 라는 가정이 포함되어 있었는데, 이 가정은 너무 강하다는 비판을 받았다. 이 가정은 $h$ 가 $e$ 또는 $-e$ 를 함축할 경우 그렇지 않은 경우보다 h의 확률이 높다는 것인데, 이는 h가 구체적인 예측을 해낼수록 그것이 참일 가능성이 높아진다는 것을 뜻한다. 그러나 구체적인 예측을 할 수 있는 가설을 추구하는 것은 방법론적으로 추천할 만한 방법일 수 있지만, 구체적인 예측을 할 수 있는 가설은 높은 경험적 내용을 가짐에 따라 오히려 낮은 (논리적) 확률을 가지는 것이 더 그럴듯하다(#포퍼 1994, 160쪽; #Sprenger 2015, 390쪽).

이어만(#Earman 1992)은 $P(h|h\vdash e)>P(h)$ 를 도출할 수 있는 새로운 가정을 제안했지만, 이 가정 역시 의심스럽다는 비판을 받고 있다. 스프렌저(#Sprenger 2015)는 새로운 가정과 반사실적 신임도를 결합한 새로운 해결책을 제안하고 있다. 그의 가정은 제프리나 이어만의 가정보다 약하다는 장점이 있지만 직관적이지 않다는 단점이 있으며, 반사실적 신임도를 사용함에 따라 가버식 해결책이 추구하는 이상을 훼손한다는 단점이 있다.

하우슨과 어배크는 논리적 함축의 학습에 의한 확률 갱신을 고려한 해결책에 대해 다음과 같은 문제를 제기한다. 만약 어떤 가설 $h$ 가 알려진 증거 $e$ 를 함축하도록 만들어졌다면, $h\vdash e$ 라는 사실은 이미 오래된 증거가 됨으로써 $h$ 의 확률을 높이는 데 사용될 수 없을 것이다( $P(h|h\vdash e)=P(h)$ ). 많은 논자들은 가설을 제안한 의도는 가설과 증거 사이의 관계와 무관하다는 직관에 호소하여, 가버식 해결책에 근본적으로 결함이 있다고 주장한다. 그러나 가버식 해결책을 옹호하는 이들은 $h$ 가 $e$ 를 함축하도록 h를 만들었다는 의도만으로는 $P(h\vdash e)=1$ 이 되지 않는다는 점에 호소하여 가버식 해결책을 고수한다. 그러나 의도 이상으로 확실한 방법을 사용하여 $h$ 를 구성했을 경우에는 어떨까? 예컨대 점 2개의 자료 $e$ 가 주어진 상황에서, 그 2개의 점을 지나는 직선 가설 $h$ 를 제안했다면? 하우슨과 어배크의 관점에서 이 문제는 오히려 간단히 해결될 수 있다. 우리는 특정한 어느 시점에 $h$ 가 $e$ 로부터 입증되는 사건이 일어났을 거라고 가정할 필요가 없다. 그런 사건은 일어나지 않았을 수 있다. 그럼에도 우리는 $e$ 가 $h$ 의 긍정적 증거라고 말할 수 있다. 어떻게? $e$ 를 고려하지 않은 가상의 배경지식 $K'$ 을 가정할 경우, 우리는 $P(h|e\&K')>P(h|K')$ 이라는 것을 직관적으로 추론할 수 있기 때문이다.^[4]

제프리의 보상 규칙

제프리(#Jeffrey 1995)는 증거가 발견된(O) 이후 그에 대해 가설이 그것을 함축한다는 사실을 발견(X')한 경우(즉, 순서 OX')에 가설에 제공되는 총입증의 정도가 가설이 어떠한 현상을 예측할 수 있다는 것을 발견(X')한 이후 그 현상이 실제로 발견된(O) 경우(즉, 순서 X'O)에 가설에 제공되는 총입증의 정도가 동등하다는 교환 법칙을 가정하여, 오래된 증거에 대한 설명을 발견함으로써 제공되는 입증의 정도를 알아낼 수 있는 보상 규칙을 제안했다.

제프리의 추론은 다음과 같다. 설명의 발견(X')과 증거의 발견(O) 이전의 확률 분포를 다음과 같이 설정해 보자.

	E	-E
H	a	b
-H	c	d

이제 예측(X'O) 시나리오와 포섭(OX') 시나리오를 구성해보자.

예측(X'O) 시나리오

H가 E를 함축한다는 사실을 발견(X')할 경우, P(H&-E)=0이 되지만 P(H)는 변하지 않아야 한다. 이러한 확률 분포 변화는 다음과 같은 odd 승수로 표현될 수 있으며,

X'	E	-E
H	(a+b)/a	0
-H	1	1

원래의 확률 분포에 위의 odd 승수((a+b)/a, 0, 1, 1)를 곱하면 다음과 같은 결과가 만들어진다.

	E	-E
H	a+b	0
-H	c	d

이후 E를 발견(O)하면, P(-E)=0이 되고, 이 감소분은 P(H&E)와 P(H&-E)에 배분되어야 한다. 이러한 확률 분포 변화는 아래의 odd 승수로 해석될 수 있다.

O	E	-E
H	1	0
-H	1	0

이제 O에 의한 odd 승수(1, 0, 1, 0)를 곱한 odd 분포는 아래와 같다.

	E	-E
H	a+b	0
-H	c	0

이제 이를 재규격화하면 아래와 같은 확률 분포가 얻어진다.

	E	-E
H	(a+b)/(a+b+c)	0
-H	c/(a+b+c)	0

즉, H가 E를 함축한다는 사실을 발견(X')하고 증거 E를 발견(O)하는 과정에서 발생하는 확률 분포의 변화는 X'의 odd 승수와 O의 odd 승수를 곱한 후 재규격화함으로써 얻어진다고 할 수 있다.

포섭(OX') 시나리오

E가 발견되면 O의 odd 승수(1, 0, 1, 0)를 곱함으로써 아래의 odd 분포가 만들어진다.

	E	-E
H	a	0
-H	c	0

이제 H가 E를 함축한다는 사실을 발견(X')하면, 예측 시나리오와 같은 odd 승수((a+b)/a, 0, 1, 1)로 odd 분포가 변화한다고 가정하자. 그러면 다음과 같은 odd 분포가 만들어진다.

	E	-E
H	a+b	0
-H	c	0

이를 재규격화하면 X'O 시나리오와 같은 확률 분포가 만들어진다.

	E	-E
H	(a+b)/(a+b+c)	0
-H	c/(a+b+c)	0

즉, 제프리는 X'O와 OX'이 동일한 확률 변화를 낳는다는 교환 법칙을 가정함으로써, 가설 H가 오래된 증거 E를 함축할 때 일어나야 할 확률 분포의 변화에 대한 보상 규칙을 발견했다. 그것은 바로 ((a+b)/a, 0, 1,1)이라는 odd 승수에 의한 변화이다.

평가

제프리의 보상 규칙은 (1) 교환 법칙을 가정하고 (2) 증거 발견 이전의 확률 분포를 (반사실적으로) 가정함으로써 얻어진다. 그러나 이 해결책은 "왜 O 이후에 일어난 X'에 의해 확률이 변화해야 하는지"에 대해 답하고 있지 않은 채 그것을 당연한 것으로 간주하고 있다. 또한 증거 발견 이전의 확률 분포를 가정한다는 것은 일종의 반사실적 재구성 전략을 끌어들이는 것으로, 역사적 POE를 중시하는 학자들에게는 좋은 해결책으로 받아들여지기 어려울 것이다.

한편, 기술적으로 검토할 때, X'에 의한 확률 변화는 P(E)=1이냐 아니냐에 따라 질적으로 완전히 다르게 기술된다. P(E)=1일 때에는 X'의 발생이 P(H)를 증가시키지만, P(E)<1일 때에는 X'의 발생이 P(H)를 전혀 증가시키지 않는다. 즉 P(E)의 값이 1에 매우 가까운 상황이라도 P(E)=1이 아니라면 H가 E를 설명한다는 사실을 발견하는 것은 H의 신임도를 전혀 증가시키지 않게 되는 것이다. 이러한 결과는 오래된 증거의 문제에 대한 해결책으로서 부적절해 보인다.

반사실적 재구성

반사실적 재구성 전략을 사용하는 하우슨과 어배크는 증거 $e$ 의 입증도를 현재의 배경지식 $K$ 에서 증거 $e$ 를 제거한 반사실적 배경지식 $K'$ 에 상대화시킴으로써 증거 $e$ 의 입증 효과가 드러날 수 있다고 주장했다. 왜냐하면 $P(h|e\&K')={\frac {P(e|h\&K')}{P(e|K')}}P(h|K')$ 에서, $P(e|K')<1$ 로 해석됨으로써 $P(h|e\&K')>P(h|K')$ 이 가능해지기 때문이다.

이에 대해, 스트레븐스(#Strevens 2006, 125-126쪽)는 아래의 세 가지 비판을 제기한다.

첫째, 반사실적 재구성의 방법은 베이즈주의 조건화 규칙을 위반한다. 베이즈주의 조건화 규칙에 따르면, 확률은 $e$ 에 대한 역사적 혹은 반사실적 확률이 아닌 현재 우리가 $e$ 에 주관적으로 부여하고 있는 확률을 사용하여 갱신되어야 한다. 하우슨과 어배크는 $e$ 에 대한 현재 시점의 주관적 확률을 사용하여 조건화하는 것은 언제나 부적절하다고 대응한다. 왜냐하면 조건화를 하려는 시점이면 이미 $P(e)=1$ 이 되어 버리기 때문이다. 따라서 하우슨과 어배크에 따르면, 조건화는 언제나 $e$ 가 관측되기 전에 $e$ 에 부여되었던 확률을 사용해야 한다. 스트레븐스는 하우슨과 어배크의 논변이 실용적인 문제를 이론적 문제와 섞고 있다고 비판한다.

둘째, $e$ 가 제거된 배경지식 $K'$ 에 조건화된 $e$ 의 확률 $P(e|K')$ 의 값을 구하기 어렵다. 어쩌면 $e$ 는 당신이 태어나기 오래 전에 관측되었을 수 있으며, $e$ 없이는 가설 $h$ 가 상상될 수조차 없었을 수 있다. 즉 $P(e|K')$ 은 특정한 시점에 존재한 적이 없었을 수 있으며, P(e|K')은 오직 상상에 의해서만 추정될 수 있을 뿐이다. 과연 이러한 상상이 입증도를 측정하기 위해 꼭 필요한 일이 될 수 있을까?^[5]

셋째, 반사실적 재구성의 방법은 자동 시계처럼 작동하는 베이즈주의의 이상을 훼손한다. 이 이상에 따르면, 확률은 사전확률이 (주관적으로) 정해진 이후에는 경험적 발견에 의해 자동적으로 갱신된다. 그러나 반사실적 재구성 전략은 베이즈주의 입증 이론을 매우 애매하고 주관적인 이론으로 만들 위험이 있다.

이러한 비판에 대한 하우슨과 어배크의 대응은 다음과 같이 이해될 수 있다. 현재의 배경지식 $K$ 에서 $e$ 가 제거된 배경지식 $K'$ 은 특정한 역사적 시점의 배경지식이 아닌 사고실험에 의해 만들어진 가상의 배경지식이다.^[6] 따라서 $P(e|K-\{e\})$ 역시 특정한 시점에 행위자가 $e$ 에 부여했던 확률이 아닌 사고실험에 의해 계산되는 가상의 믿음의 정도이다( $P(e|K')=\sum P(h_{i}|K')P(e|h_{i}\&K')$ ).^[7] 또한 하우슨과 어배크의 베이즈주의는 자동 시계처럼 작동하지 않으며, 증거 판단을 하려고 할 때마다 사고실험을 요구한다. 하우슨과 어배크에게 베이즈주의는 이러한 사고실험을 위한 추론 규칙으로서만 기능할 뿐이며, 개인에게 실제로 존재하는 '믿음의 정도'의 자동적 갱신 규칙으로 기능하는 것 같지는 않다. 따라서 하우슨과 어배크에게는 POE의 역사적 차원의 문제는 존재하지 않으며, 오직 비역사적 차원의 문제만 존재할 뿐이며, 오래된 증거에 의한 입증도는 (새로운 증거에 의한 입증도와 마찬가지로) 언제나 반사실적 재구성에 의한 확률 갱신을 상상 속에서 실험함으로써 계산된다.

공시적 입증 척도의 개발

크리스텐슨(#Christensen 1999)은 오래된 증거의 문제를 $P(e)$ 가 $1$ 로 근접할수록 입증도가 $0$ 에 가까워지는 문제로 변경한 후,^[8] 자신의 입증도 측정 방식 $S(h,e)[=P(h|e)-P(h|-e)]$ 가 그에 대한 부분적인 해결책이 될 수 있다고 말한다. 왜냐하면 $S$ 는 오래된 증거 $e$ 의 입증도를 $0$ 으로 만들지 않기 때문이다.^[9]

크리스텐슨의 시도에 대해서는 다음과 같은 비판이 제기된다. 첫째, 엘스와 피텔슨(#Eells & Fitelson 2000)에 따르면, 입증 척도 $S$ 는 완전히 순수한 의미의 공시적 입증 척도로 보기 어렵다. 후행 증거 $e_{2}$ 제공하는 입증도는 동일한 종류의 선행 증거 $e_{1}$ 이 제공하는 입증도보다 작게 측정되기 때문이다 $\left(S(h,e_{1})>S(h,e_{2})\right)$ . 둘째, 스프렌저(#Sprenger 2015, 387쪽)에 따르면, 크리스텐슨의 입증 척도 $S$ 는 고전적인 POE 상황, 즉 $P(e)=1$ 인 상황에 대해 정의되지 않으며, 만약 이 문제를 해결하기 위해 반사실적 확률을 도입한다면 하우슨의 해결책보다 나을 게 없어진다.

엘스와 피텔슨(#Eells & Fitelson 2000)은 공시적 입증도를 “순수히 공시적 방법”으로 측정하려고 했던 시도 자체가 잘못이라고 평가하며, 하우슨 식의 반사실적 재구성의 방법을 통해 증거의 (현재적) 중요도(weight of evidence)를 측정하는 것이 더 적절할 것이라고 제안한다.

국내 논의

#양삼삼 (2003)은 가버(Garber)와 제프리(Jeffrey)가 각각 제안한 해결책의 한계를 지적하며 베이즈주의의 결함을 강조하는 반면, #여영서 (2003)은 반 프라센과 가버의 해결책이 질적 문제만을 해결할 뿐 양적 문제를 해결하지 못한다는 점을 지적하며 하우슨의 반사실적 해결책을 대안으로 생각하고 있다. #여영서 (2005)는 하우슨의 반사실적 해결책이 배경지식을 명료하게 규정하기 어렵다는 문제를 가지고 있지만 그 문제가 베이즈주의만의 문제가 아님을 주장하며 책임을 입증 이론 전체에 돌리고 있다. 한편 #이영의 (2005)는 설명의 예측 사이에 비대칭성이 있기 때문에 베이즈주의가 오래된 증거의 문제를 해결할 필요할 필요가 없다고 주장한다.

주석

↑ 베이즈주의 입증 이론에 따르면, 어떤 시점에 가설 $h$ 에 부여되어 있던 사전 확률 $P(h)$ 는 이후 증거 $e$ 를 확인함에 따라 $P^{+}(h)$ 로 갱신되며, 이때 사전 확률 $P(h)$ 와 사후 확률 $P^{+}(h)$ 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
$P^{+}(h)=P(h|e)={\frac {P(e|h)}{P(e)}}P(h)$ .
↑ 엘스(#Eells 1990)는 가버보다 복잡한 분류를 제안한다.
↑ 엘스는 현재 시점에서 P(E)=1이기에 두 문제 모두 POE의 비역사적 문제로 볼 수 있다고 제안한다.
↑ 일반적인 직선 가설 H의 확률은 e에 의해 오르지 않는다고 하더라도, e의 고려와 함께 H에 포함된 수많은 직선 가설들 중 h를 제외한 가설들의 확률은 0으로 떨어지고 h의 확률은 급격히 올라가게 될 것이다( $(P(H|e\&K')=P(H|K')=P(h|e\&K')>P(h|K')$ ).
↑ 아마도 하우슨과 어배크는 그렇다고 말할 것이다. 그러나 여러 학자들은 $K-\{e\}$ 의 내용이 $K$ 의 공리화 방식에 따라 달라질 수 있음을 지적한다. 하우슨과 어배크는 그러한 논리적 가능성을 인정하긴 하지만, 실질적으로는 큰 문제가 되지 않는다고 주장하며, $P(e|K')$ 을 우회적으로 계산할 수 있는 방법을 제안한다( $P(e|K')=\sum P(h_{i}|K')P(e|h_{i}\&K')$ ). 물론 이 방법 역시 논란의 여지가 있긴 하지만, 하우슨과 어배크는 대표적인 사례들에 이 방법을 적용하는 것이 현실적으로 가능함을 주장한다.
↑ #여영서 (2005)는 하우슨의 제안이 특정한 역사적 시점의 배경지식이 아닌 현재의 배경지식에서 $e$ 와 관련된 최소한의 부분만을 제거하는 루이스식 최소 변화의 제안이라고 해석함으로써, 그러한 사고실험이 충분히 가능함을 주장했다.
↑ 스트레븐스(#Strevens 2006, 126쪽)는 이러한 확률은 '주관적 확률'이라기보다 '논리적 확률'에 가깝다고 비판한다.
↑ 토톨로지가 아닌 명제에 대해서는 확률값을 $1$ 로 줄 수 없다는 원칙 하에서, 이는 정당화될 수 있다.
↑ 이는 다음과 같이 증명될 수 있다. 만약 $e$ 가 $h$ 에 대한 연역적인 증거로 $p(e|h)=1$ 이라고 하면,
구문 분석 실패 (알 수 없는 함수 "\begin{split}"): {\displaystyle \begin{split} \displaystyle S(h,e) &= {1 \over p(\neg e)} \left[ p(h|e) - p(h) \right] \\ \displaystyle &= {1 \over p(\neg e)} \left[ {p(e|h) \over p(e)} p(h) - p(h) \right] \\ \displaystyle &= {p(h) \over {p(e)p(\neg e)}} \left[ p(e|h) - p(e) \right] \\ \displaystyle &= {p(h) (1-p(e)) \over p(e)(1-p(e))} \\ \displaystyle &= {p(h) \over p(e)} \\ \displaystyle &\neq 0 \end{split}}

참고문헌

Christensen, D. (1999), “Measuring Confirmation”, Journal of Philosophy 96: 437-461.
Eells, E. (1990), “Bayesian Problem of Old Evidence”, C. W. Savage (ed.), Scientific Theories. Minneapolis: University of Minnesota Press, 205-223.
Eells & Fitelson (2000), “Comments and Criticism: Measuring Confirmation and Evidence”, Journal of Philosophy 97: 663-672.
Garber, D. (1983), “Old Evidence and Logical Omniscience”, J. Earman (ed.), Testing Scientific Theories. Minneapolis: University of Minnesota Press, pp. 99-131.

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