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"양자역학의 형식적 구조"의 두 판 사이의 차이
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→수학적 기초
(→수학적 기초) |
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*벡터공간의 차원 : 직교벡터의 최대개수. | *벡터공간의 차원 : 직교벡터의 최대개수. | ||
*N-차원 공간의 기저(basis) : N개의 직교단위(orthonormal) 벡터들. | *N-차원 공간의 기저(basis) : N개의 직교단위(orthonormal) 벡터들. | ||
*기저를 이용한 벡터의 표현 : <math> | *기저를 이용한 벡터의 표현 : <math> | B \rangle = b_1 | A_1 \rangle + b_2 | A_2 \rangle + \cdots + b_N | A_N \rangle \quad (\text{with } b_i = \left< B | A_i \rangle )</math> | ||
*기저의 선택에 따라 <math>b_i</math>의 값 달라짐 | *기저의 선택에 따라 <math>b_i</math>의 값 달라짐 | ||
*N개의 <math>b_i</math>들의 전개를 통한 벡터의 표현 : 예. <math> | *N개의 <math>b_i</math>들의 전개를 통한 벡터의 표현 : 예. <math>| Q \rangle = \begin{bmatrix}{ 1 \\ 5 \\ - {3 \over 2} } \end{bmatrix}</math> | ||
*벡터곱(내적) : <math>\left< M | Q \ | *벡터곱(내적) : <math>\left< M | Q \rangle = m_1 q_1 + m_2 q_2 + \cdots </math> (기저에 따라 값이 달라지지 않음) | ||
*<math>(벡터 | *<math>(벡터 | B \rangle \text{의 길이})^2 = \left< B | B \rangle = \sum_i b_i^2 </math> | ||
=== 연산자와 그것의 고유벡터 및 고유값 === | === 연산자와 그것의 고유벡터 및 고유값 === | ||
*연산자(operator) : 자기공간에서 이루어지는 벡터에서 벡터로의 사상(mapping). <math> O \ | *연산자(operator) : 자기공간에서 이루어지는 벡터에서 벡터로의 사상(mapping). <math> O \rangle B \rangle = | B' \rangle</math> | ||
*선형 연산자의 조건 : (a) <math>O( | *선형 연산자의 조건 : (a) <math>O( | A \rangle + | B \rangle</math>, (b) <math>O(c | A \rangle ) = c(O | A \rangle )</math> | ||
*N-차원 공간의 선형 연산자의 표현 : N<sup>2</sup> 행렬로 표현 가능. | *N-차원 공간의 선형 연산자의 표현 : N<sup>2</sup> 행렬로 표현 가능. | ||
*2차원의 경우, <math>O = \begin{bmatrix}O_{11} & O_{12} \\ O_{21} & O_{22} \end{bmatrix} (O_{ij} = \left< A_i | O | A_j \ | *2차원의 경우, <math>O = \begin{bmatrix}O_{11} & O_{12} \\ O_{21} & O_{22} \end{bmatrix} (O_{ij} = \left< A_i | O | A_j \rangle</math> ) | ||
**예: 항등 연산자(unit operator) <math>\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>, 시계방향으로 90°회전시키는 연산자 <math>\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}</math> | **예: 항등 연산자(unit operator) <math>\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>, 시계방향으로 90°회전시키는 연산자 <math>\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}</math> | ||
*고유벡터와 고유값 : 연산자 <math>O</math>에 대해 <math>O | *고유벡터와 고유값 : 연산자 <math>O</math>에 대해 <math>O | B \rangle = @ | B \rangle</math>의 조건을 만족하는 벡터 <math>| B \rangle</math>와 상수 @. | ||
**위에서 벡터 <math> | **위에서 벡터 <math>| B \rangle</math>를 연산자 <math>O</math>의 고유값 @인 고유벡터라고 한다. | ||
== 양자역학의 5가지 원리 == | == 양자역학의 5가지 원리 == | ||