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| 7번째 줄: | 7번째 줄: | ||
|publisher = Harvard University Press | |publisher = Harvard University Press | ||
}} | }} | ||
* 발제문 : [[media:물리학의 철학_발제문_양자역학의 형식적 구조.hwp]] | * 발제문 : [[media:물리학의 철학_발제문_양자역학의 형식적 구조.hwp]] | [[media:양자역학의 형식적 구조 (그림 포함).pdf]] | ||
== 문제제기 (중첩) == | == 문제제기 (중첩) == | ||
| 48번째 줄: | 48번째 줄: | ||
*벡터공간의 차원 : 직교벡터의 최대개수. | *벡터공간의 차원 : 직교벡터의 최대개수. | ||
*N-차원 공간의 기저(basis) : N개의 직교단위(orthonormal) 벡터들. | *N-차원 공간의 기저(basis) : N개의 직교단위(orthonormal) 벡터들. | ||
*기저를 이용한 벡터의 표현 : <math> | B \rangle = b_1 | A_1 \rangle + b_2 | A_2 \rangle + \cdots + b_N | A_N \rangle | *기저를 이용한 벡터의 표현 : <math> | B \rangle = b_1 | A_1 \rangle + b_2 | A_2 \rangle + \cdots + b_N | A_N \rangle</math> (with <math>b_i = \langle B | A_i \rangle</math>) | ||
*기저의 선택에 따라 <math>b_i</math>의 값 달라짐 | *기저의 선택에 따라 <math>b_i</math>의 값 달라짐 | ||
*N개의 <math>b_i</math>들의 전개를 통한 벡터의 표현 : 예. <math>| Q \rangle = \begin{bmatrix} | *N개의 <math>b_i</math>들의 전개를 통한 벡터의 표현 : 예. <math>| Q \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ - \frac{3}{2} \end{bmatrix}</math> | ||
*벡터곱(내적) : <math>\ | *벡터곱(내적) : <math>\langle M | Q \rangle = m_1 q_1 + m_2 q_2 + \cdots </math> (기저에 따라 값이 달라지지 않음) | ||
*<math> | *(벡터 <math>| B \rangle</math>의 길이)<sup>2</sup> <math>= \langle B | B \rangle = \sum_i b_i^2</math> | ||
=== 연산자와 그것의 고유벡터 및 고유값 === | === 연산자와 그것의 고유벡터 및 고유값 === | ||
*연산자(operator) : 자기공간에서 이루어지는 벡터에서 벡터로의 사상(mapping). <math> O | *연산자(operator) : 자기공간에서 이루어지는 벡터에서 벡터로의 사상(mapping). <math> O | B \rangle = | B' \rangle</math> | ||
*선형 연산자의 조건 : (a) <math>O( | A \rangle + | B \rangle</math>, (b) <math>O(c | A \rangle ) = c(O | A \rangle )</math> | *선형 연산자의 조건 : (a) <math>O( | A \rangle + | B \rangle</math>, (b) <math>O(c | A \rangle ) = c(O | A \rangle )</math> | ||
*N-차원 공간의 선형 연산자의 표현 : N<sup>2</sup> 행렬로 표현 가능. | *N-차원 공간의 선형 연산자의 표현 : N<sup>2</sup> 행렬로 표현 가능. | ||
*2차원의 경우, <math>O = \begin{bmatrix}O_{11} & O_{12} \\ O_{21} & O_{22} \end{bmatrix} (O_{ij} = \ | *2차원의 경우, <math>O = \begin{bmatrix}O_{11} & O_{12} \\ O_{21} & O_{22} \end{bmatrix}</math> (<math>O_{ij} = \langle A_i | O | A_j \rangle</math> ) | ||
**예: 항등 연산자(unit operator) <math>\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>, 시계방향으로 90°회전시키는 연산자 <math>\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}</math> | **예: 항등 연산자(unit operator) <math>\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>, 시계방향으로 90°회전시키는 연산자 <math>\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}</math> | ||
*고유벡터와 고유값 : 연산자 <math>O</math>에 대해 <math>O | B \rangle = | *고유벡터와 고유값 : 연산자 <math>O</math>에 대해 <math>O | B \rangle = \alpha | B \rangle</math>의 조건을 만족하는 벡터 <math>| B \rangle</math>와 상수 <math>\alpha</math>. | ||
**위에서 벡터 <math>| B \rangle</math>를 연산자 <math>O</math>의 고유값 | **위에서 벡터 <math>| B \rangle</math>를 연산자 <math>O</math>의 고유값 <math>\alpha</math>인 고유벡터라고 한다. | ||
== 양자역학의 5가지 원리 == | == 양자역학의 5가지 원리 == | ||
| 69번째 줄: | 69번째 줄: | ||
*물리계 - 벡터공간과 대응. (힐버트공간) | *물리계 - 벡터공간과 대응. (힐버트공간) | ||
*물리적 상태 - 길이가 1인 벡터와 대응. (1대1 대응은 아님. 예: <math> | *물리적 상태 - 길이가 1인 벡터와 대응. (1대1 대응은 아님. 예: <math>| A \rangle</math>와 <math>- | A \rangle</math>는 같은 상태를 표상) | ||
===(B) 관찰가능속성=== | ===(B) 관찰가능속성=== | ||
| 78번째 줄: | 78번째 줄: | ||
'''예1. 스핀 공간(2차원 벡터공간)에서의 단단하기 속성의 표현''' | '''예1. 스핀 공간(2차원 벡터공간)에서의 단단하기 속성의 표현''' | ||
:hardness operator = <math>\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}</math> | :hardness operator = <math>\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}</math> | ||
:고유값 +1의 고유벡터 <math> | :고유값 +1의 고유벡터 <math>| hard \rangle = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}</math> (means precise hard) | ||
:고유값 -1의 고유벡터 <math> | :고유값 -1의 고유벡터 <math>| soft \rangle = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}</math> (means precise soft) | ||
'''예2. 스핀 공간(2차원 벡터공간)에서의 색깔 속성의 표현''' | '''예2. 스핀 공간(2차원 벡터공간)에서의 색깔 속성의 표현''' | ||
:color operator = <math>\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}</math> | :color operator = <math>\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}</math> | ||
:고유값 +1의 고유벡터 <math> | :고유값 +1의 고유벡터 <math>| black \rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} \\ \frac{1}{\sqrt 2} \end{bmatrix}</math> (means precise black) | ||
:고유값 -1의 고유벡터 <math> | :고유값 -1의 고유벡터 <math>| white \rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} \\ - {\frac{1}{\sqrt 2}} \end{bmatrix}</math> (means precise white) | ||
*2차원 벡터공간을 양자역학에서는 스핀 공간이라 지칭한다. | *2차원 벡터공간을 양자역학에서는 스핀 공간이라 지칭한다. | ||
| 93번째 줄: | 93번째 줄: | ||
{{상자|내용= | {{상자|내용= | ||
'''예.''' | '''예.''' | ||
:<math> | :<math>| hard \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} | black \rangle + \frac{1}{\sqrt 2} | white \rangle</math> | ||
:<math> | :<math>| soft \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} | black \rangle - \frac{1}{\sqrt 2} | white \rangle</math> | ||
}} | }} | ||
| 101번째 줄: | 101번째 줄: | ||
상태벡터는 슈뢰딩거 방정식을 따라 시간의 흐름에 따라 결정론적으로 변화한다. | 상태벡터는 슈뢰딩거 방정식을 따라 시간의 흐름에 따라 결정론적으로 변화한다. | ||
# 상태벡터의 길이는 항상 1이므로 상태벡터는 시간에 따라 방향만 변화한다. | # 상태벡터의 길이는 항상 1이므로 상태벡터는 시간에 따라 방향만 변화한다. | ||
# <math>t_1 : | # <math>t_1 : | A \rangle \to t_2 : | A' \rangle</math>이고, <math>t_1 : | B \rangle \to t_2 : | B' \rangle</math>이면, <math>t_1 : \alpha | A \rangle + \beta | B \rangle \to t_2 : \alpha | A' \rangle + \beta | B' \rangle </math>이다. (선형성) | ||
===(D) 실험과의 연결=== | ===(D) 실험과의 연결=== | ||
| 107번째 줄: | 107번째 줄: | ||
현 상태벡터가 측정하려는 속성 연산자의 고유벡터라면 그것의 고유값이 바로 측정값이 될 테지만, 만약 현 상태벡터가 측정하려는 속성 연산자의 고유벡터가 아니라면 어떻게 될 것인가? 그것은 확률의 문제이다. | 현 상태벡터가 측정하려는 속성 연산자의 고유벡터라면 그것의 고유값이 바로 측정값이 될 테지만, 만약 현 상태벡터가 측정하려는 속성 연산자의 고유벡터가 아니라면 어떻게 될 것인가? 그것은 확률의 문제이다. | ||
상태벡터 <math> | 상태벡터 <math>| A \rangle</math>의 속성 <math>B</math>를 측정하는 상황에서, 속성 <math>B</math>에 대한 연산자의 고유벡터들이 <math>| B = b _{1} \rangle , | B = b _{2} \rangle , \cdots , </math> ( <math>b_i</math>는 각 고유값, <math>| B = b_i \rangle</math>는 고유값 <math>b_i</math>의 고유벡터) 이라고 할 때, 속성 <math>B</math>의 측정값이 <math>b_j</math>일 확률은 아래와 같다. | ||
:<math>P(B=b_j ) = \left( \ | :<math>P(B=b_j ) = \left( \langle a | B = b_j \rangle \right)^2</math> | ||
* 여기서 <math> | * 여기서 <math>| a \rangle</math>와 <math>- | a \rangle</math>가 정확히 같은 물리적 상태를 표상한다는 점이 해명된다. | ||
{{상자|내용= | {{상자|내용= | ||
'''예. precise soft 상태인 전자의 색깔을 측정했을 때, 각 색깔이 측정될 확률.''' | '''예. precise soft 상태인 전자의 색깔을 측정했을 때, 각 색깔이 측정될 확률.''' | ||
:<math> | :<math> | soft \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} | black \rangle - \frac{1}{\sqrt 2} | white \rangle</math>이므로, | ||
:<math>P(Color=black) = \left( \ | :<math>P(Color=black) = \left( \langle soft | black \rangle \right)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt 2} \right)^2 = \frac {1}{2}</math> | ||
:<math>P(Color=white) = \left( \ | :<math>P(Color=white) = \left( \langle soft | white \rangle \right)^2 = \left( - \frac{1}{\sqrt 2} \right)^2 = \frac {1}{2}</math> | ||
}} | }} | ||
===(E) 붕괴 === | ===(E) 붕괴 === | ||
관찰가능속성 <math>O</math>에 대해 <math>O = | 관찰가능속성 <math>O</math>에 대해 <math>O = \alpha</math>인 관측을 한 직후, 상태벡터는 고유값 <math>\alpha</math>의 고유벡터로 “붕괴”한다. | ||
==양자역학의 예측 알고리즘== | ==양자역학의 예측 알고리즘== | ||
| 145번째 줄: | 145번째 줄: | ||
=== 벡터곱(내적)의 정의 변경=== | === 벡터곱(내적)의 정의 변경=== | ||
벡터 <math> | 벡터 <math>| A \rangle</math>의 길이를 뜻하는 <math>\sqrt {\langle A | A \rangle}</math>이 항상 양의 실수가 되도록 보장해줄 필요가 있다. | ||
* 해결방법 : <math>\sqrt {\ | * 해결방법 : <math>\sqrt {\langle A | A \rangle} = a_1^* b_1 + a_2^* b_2 + \cdots</math>(<math>a^*</math>는 <math>a</math>의 켤레복소수)로 변경. | ||
=== 확률값 === | === 확률값 === | ||
확률값이 항상 양의 실수가 되도록 보장해줄 필요가 있다. | 확률값이 항상 양의 실수가 되도록 보장해줄 필요가 있다. | ||
*해결방법 : <math>P(B=b_j ) = | *해결방법 : <math>P(B=b_j ) = | \langle a | B = b_j \rangle |^2</math>로 변경. | ||
*이렇게 되면, <math> | *이렇게 되면, <math>| A \rangle</math>는 <math>- | A \rangle</math>뿐만 아니라 <math>\alpha | A \rangle</math>(<math>\alpha</math>는 절대값이 1인 복소수)와 똑같은 상태를 표상하게 된다. | ||
=== 속성 연산자 === | === 속성 연산자 === | ||
| 181번째 줄: | 181번째 줄: | ||
*일차원 공간에서의 위치 연산자를 <math>X</math>라 하면, <math>X</math>의 고유값들은 연속적이면서 그 범위는 <math>(-\infty , \infty)</math>. | *일차원 공간에서의 위치 연산자를 <math>X</math>라 하면, <math>X</math>의 고유값들은 연속적이면서 그 범위는 <math>(-\infty , \infty)</math>. | ||
*즉, 평범한 일차원의 공간을 표상하기 위한 상태공간은 무한차원공간이어야 한다.. | *즉, 평범한 일차원의 공간을 표상하기 위한 상태공간은 무한차원공간이어야 한다.. | ||
*흔히, 위처럼 무한차원의 상태공간에서의 상태벡터를 <math> | *흔히, 위처럼 무한차원의 상태공간에서의 상태벡터를 <math>| \Psi \rangle</math>라 지칭한다. | ||
<math> | <math>| \Psi \rangle</math>를 연산자 <math>X</math>의 무한한 고유벡터들을 기저로 삼아 표현하면 아래와 같다. | ||
:<math> | :<math>| \Psi \rangle = a_5 | X=5 \rangle + a_7 | X=7 \rangle + a_{72.93} | X=72.93 \rangle + \cdots</math> (where <math> a_x = \langle \Psi | X=x \rangle</math>) | ||
=== 파동함수=== | === 파동함수=== | ||
*위의 표현과 동등하게 <math>(-\infty , \infty)</math>의 정의역을 갖고 그 함수값으로 <math>a_x</math>를 갖는 함수 <math>\Psi (x)</math>를 생각할 수 있다. | *위의 표현과 동등하게 <math>(-\infty , \infty)</math>의 정의역을 갖고 그 함수값으로 <math>a_x</math>를 갖는 함수 <math>\Psi (x)</math>를 생각할 수 있다. | ||
:<math>\Psi (x) = \ | :<math>\Psi (x) = \langle \Psi | X=x \rangle = a_x</math> (흔히 이 함수가 파동함수의 형태를 갖기 때문에 파동함수라고 부름) | ||
{{상자|내용= | {{상자|내용= | ||
'''예. <math> | '''예. <math>| \Psi \rangle</math>를 파동함수 <math>\Psi (x)</math>로 번역하기''' | ||
:<math> | :<math>| \Psi \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} | X=1 \rangle + \frac{1}{\sqrt 2} | X=-1 \rangle</math>를 <math>\Psi (x)</math>로 표현하면, | ||
:<math>\Psi (x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt2} \quad (x=1) \\ \frac{1}{\sqrt2} \quad (x=-1) \\ 0 \quad (x \neq 1 \& x \neq -1 ) \end{cases}</math> | :<math>\Psi (x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt2} \quad (x=1) \\ \frac{1}{\sqrt2} \quad (x=-1) \\ 0 \quad (x \neq 1 \& x \neq -1 ) \end{cases}</math> | ||
}} | }} | ||
* <math>P(X=x_j ) = | * <math>P(X=x_j ) = | \Psi (x_j ) |^2</math> | ||
== 2개 이상의 입자로 구성된 계== | == 2개 이상의 입자로 구성된 계== | ||
| 202번째 줄: | 202번째 줄: | ||
===두 입자로 구성된 계의 상태벡터와 상태공간=== | ===두 입자로 구성된 계의 상태벡터와 상태공간=== | ||
1번 입자의 상태벡터가 <math> | 1번 입자의 상태벡터가 <math>| \Psi_a \rangle</math>, 2번 입자의 상태벡터가 <math>| \Psi_b \rangle</math>일 때, 입자쌍의 상태벡터는 보통 <math>| \Psi_a \rangle_1 | \Psi_b \rangle_2</math> 또는 <math>| \Psi_a^1 , \Psi_b^2 \rangle</math>로 표현된다. | ||
1번 입자와 2번 입자 각각의 상태가 N차원의 상태공간에서 기술될 때, 두 입자쌍의 상태는 새롭게 구성된 N<sup>2</sup>차원의 상태공간에서 기술된다. 이 때 새롭게 구성된 상태공간의 기저는 두 입자의 상태공간의 각 기저벡터들 간의 텐서곱에 의해 만들어지는 N<sup>2</sup>개의 직교단위벡터들에 의해 구성된다. | 1번 입자와 2번 입자 각각의 상태가 N차원의 상태공간에서 기술될 때, 두 입자쌍의 상태는 새롭게 구성된 N<sup>2</sup>차원의 상태공간에서 기술된다. 이 때 새롭게 구성된 상태공간의 기저는 두 입자의 상태공간의 각 기저벡터들 간의 텐서곱에 의해 만들어지는 N<sup>2</sup>개의 직교단위벡터들에 의해 구성된다. | ||
새로운 기저벡터들 : <math> | 새로운 기저벡터들 : <math>| \Psi_a^1 , \Psi_b^2 \rangle</math> for <math>i , j = 1 , 2, \cdots , N</math> (<math>\Psi_i</math>와 <math>\Psi_j</math>는 원래의 기저벡터들). | ||
: <math>\ | : <math>\langle \Psi_i^1 , \Psi_j^2 | \Psi_k^1 , \Psi_l^2 \rangle =0</math> unless <math>i=k</math> & <math>j=k</math> (where <math>\langle \Psi_i^1 , \Psi_j^2 | \Psi_k^1 , \Psi_l^2 \rangle =\langle \Psi_i^1 | \Psi_k^1 \rangle \langle \Psi_j^2 | \Psi_l^2 \rangle</math>) | ||
:즉, 새로운 기저벡터들간의 벡터곱(내적)은 원리적으로 0. | :즉, 새로운 기저벡터들간의 벡터곱(내적)은 원리적으로 0. | ||
이제 새로운 상태공간에서 두 입자로 구성된 계의 상태는 일반적으로 다음과 같이 표현된다. | 이제 새로운 상태공간에서 두 입자로 구성된 계의 상태는 일반적으로 다음과 같이 표현된다. | ||
:<math> | :<math>| \Psi^{1,2} \rangle = a_{11} | \Psi_1^1 , \Psi_1^2 \rangle + a_{12} | \Psi_1^1 , \Psi_2^2 \rangle + \cdots + a_{ij} | \Psi_i^1 , \Psi_j^2 \rangle + \cdots</math> | ||
위의 일반적인 상태 <math> | 위의 일반적인 상태 <math>| \Psi^{1,2} \rangle</math>는 <math>| \Psi^1 \rangle | \Psi^2 \rangle</math>의 꼴로 표현 가능한 상태와 표현 불가능한 상태로 나뉘어진다. 이는 아래의 분리가능성의 문제를 낳는다. | ||
===분리 가능성과 분리 불가능성=== | ===분리 가능성과 분리 불가능성=== | ||
| 219번째 줄: | 219번째 줄: | ||
==== 분리 불가능한 상태 ==== | ==== 분리 불가능한 상태 ==== | ||
두 입자의 상태가 아래와 같다고 해보자. | 두 입자의 상태가 아래와 같다고 해보자. | ||
:<math> | :<math>| Q \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_1^1 , \Psi_1^2 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_2^1 , \Psi_2^2 \rangle</math> | ||
위의 상태벡터는 | 위의 상태벡터는 | ||
:1번 입자의 상태 : <math> | :1번 입자의 상태 : <math>| Q^1 \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_1 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_2 \rangle</math> | ||
:2번 입자의 상태 : <math> | :2번 입자의 상태 : <math>| Q^2 \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_1 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_2 \rangle</math> | ||
로 분리될 수 없다. 두 입자의 상태 <math> | 로 분리될 수 없다. 두 입자의 상태 <math>| Q \rangle</math>를 보고, 1번 입자의 상태는 이러이러하고 2번 입자의 상태는 저러저러하다고 말할 수 없다. 두 입자의 상태 <math>| Q \rangle</math>가 <math>| Q^1 \rangle| Q^2 \rangle</math>의 꼴로 표현될 수 없는 경우, 그 상태를 분리 불가능한 상태라고 한다. | ||
==== 분리 가능한 상태 ==== | ==== 분리 가능한 상태 ==== | ||
두 입자의 상태가 아래와 같다고 해보자. | 두 입자의 상태가 아래와 같다고 해보자. | ||
:<math> | :<math>| Q \rangle = \frac{1}{2} | \Psi_1^1 , \Psi_1^2 \rangle + \frac{1}{2} | \Psi_2^1 , \Psi_1^2 \rangle + \frac{1}{2} | \Psi_2^1 , \Psi_2^2 \rangle</math> | ||
위의 상태 <math> | 위의 상태 <math>| Q \rangle</math>는 아래의 <math>| Q^1 \rangle</math>과 <math>| Q^2 \rangle</math>의 텐서곱 <math>| Q^1 \rangle | Q^2 \rangle</math>로 정확히 표현된다. | ||
:<math> | :<math>| Q^1 \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_1^1 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_2^1 \rangle</math> | ||
:<math> | :<math>| Q^2 \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_1^2 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_2^2 \rangle</math> | ||
이 경우 우리는 1번 입자의 상태는 <math> | 이 경우 우리는 1번 입자의 상태는 <math>| Q^1 \rangle</math>, 2번 입자의 상태는 <math>| Q^2 \rangle</math>라고 말할 수 있다. | ||
즉, 두 입자의 상태 <math> | 즉, 두 입자의 상태 <math>| Q \rangle</math>가 <math>| Q^1 \rangle | Q^2 \rangle</math>의 꼴로 표현 가능한 경우, 그 상태를 분리 가능한 상태라고 한다. | ||
===측정=== | ===측정=== | ||
두입자의 상태 <math> | 두입자의 상태 <math>| k \rangle</math>에서, 1번 입자의 속성 <math>A</math>의 측정값이 <math>a_i</math>이고 2번 입자의 속성 <math>B</math>의 측정값이 <math>b_j</math>일 확률은 | ||
:<math> | :<math>| \langle A^1 = a_i , B^2 = b_j | k \rangle |^2</math> | ||
만약, 1번 입자의 속성 <math>A</math>의 측정값이 <math>a_i</math>일 확률은 | 만약, 1번 입자의 속성 <math>A</math>의 측정값이 <math>a_i</math>일 확률은 | ||
:<math> | :<math>| \langle A^1 = a_i , L^2 = l_1 | k \rangle |^2 + | \langle A^1 = a_i , L^2 = l_2 | k \rangle |^2 + \cdots + | \langle A^1 = a_i , L^2 = l_j | k \rangle |^2 + \cdots</math> | ||
===4) 붕괴=== | ===4) 붕괴=== | ||
실제로 1번 입자의 속성 <math>A</math>를 측정하여 <math>a_5</math>가 측정됐다면, 측정직후의 상태는 어떻게 될까? | 실제로 1번 입자의 속성 <math>A</math>를 측정하여 <math>a_5</math>가 측정됐다면, 측정직후의 상태는 어떻게 될까? | ||
:원래상태 : <math> | :원래상태 : <math>| k \rangle = \sum_{i, j} d_{ij} | A^1 = a_i , B^2 = b_j \rangle</math> | ||
:측정 후 : <math> | :측정 후 : <math>| k' \rangle = \alpha \sum_{j} d_{5j} | A^1 = a_5 , B^2 = b_j \rangle</math> (where <math>\alpha = \frac{1}{\sum_j d_{5j}}</math>) | ||
{{상자|내용= | {{상자|내용= | ||
'''예. 측정 시 벌어지는 붕괴''' | '''예. 측정 시 벌어지는 붕괴''' | ||
:<math> | :<math>| k \rangle = \frac{1}{\sqrt3} | A^1 = a_1 , B^2 = b_2 \rangle + \frac{1}{\sqrt3} | A^1 = a_1 , B^2 = b_{27} \rangle + \frac{1}{\sqrt3} | A^1 = a_8 , B^2 = b_{38} \rangle</math>일 때, | ||
:1번 입자의 속성 <math>A</math>의 측정값이 <math>a_1</math>라고 하자. 이 때, 측정후의 상태는 아래와 같이 붕괴한다. | :1번 입자의 속성 <math>A</math>의 측정값이 <math>a_1</math>라고 하자. 이 때, 측정후의 상태는 아래와 같이 붕괴한다. | ||
:<math> | :<math>| k \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | A^1 = a_1 , B^2 = b_2 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | A^1 = a_1 , B^2 = b_{27} \rangle</math> | ||
}} | }} | ||
| 266번째 줄: | 266번째 줄: | ||
{{상자|내용= | {{상자|내용= | ||
'''예1. 3차원 좌표공간에서 자유롭게 움직이며 스핀값을 가지는 전자 하나로 구성된 계의 상태공간''' | '''예1. 3차원 좌표공간에서 자유롭게 움직이며 스핀값을 가지는 전자 하나로 구성된 계의 상태공간''' | ||
:<math>\{ | :<math>\{ | SPIN = spin_i \rangle | \Psi_x = x_j \rangle | \Psi_y = y_k \rangle | \Psi_z = z_l \rangle : i=1 \text{ or } 2, \; j, k, l \in {\mathbb R} \}</math> | ||
'''예2. 위의 상태공간에서의 일반적인 상태벡터 표현''' | '''예2. 위의 상태공간에서의 일반적인 상태벡터 표현''' | ||
:<math> | :<math>| Q \rangle = \sum_{i,j,k,l} a_{ijkl} | SPIN = spin_i \rangle | \Psi_x = x_j \rangle | \Psi_y = y_k \rangle | \Psi_z = z_l \rangle </math> | ||
}} | }} | ||
== | ==두-경로 실험에 대한 표준적인 해석== | ||
===1) 두-경로 실험에서 장치를 통과한 전자는 왜 모두 흰색으로 측정되는가?=== | ===1) 두-경로 실험에서 장치를 통과한 전자는 왜 모두 흰색으로 측정되는가?=== | ||
[[그림:양자역학과 경험, 그림 2.8.png|그림 2.8. 두-경로 실험에 대한 표준 해석|thumb]]'''<math>t_1</math> 에서의 상태''' | [[그림:양자역학과 경험, 그림 2.8.png|그림 2.8. 두-경로 실험에 대한 표준 해석|thumb]]'''<math>t_1</math> 에서의 상태''' | ||
:<math>\begin{ | :<math>\begin{align} | Q_{t_1} \rangle &= | white, X=x_1 , Y=y_1 \rangle \\ | ||
& = \frac{1}{\sqrt {2}} | hard \rangle | X=x_{1} ,Y=y _{1} \rangle+\frac{1}{\sqrt {2}} | soft \rangle | X=x _{1} , Y=y _{1} \rangle \\ | |||
& = \frac{1}{\sqrt {2}} | & = \frac{1}{\sqrt {2}} | a \rangle+ \frac{1}{\sqrt {2}} | b \rangle \\ \end{align} | ||
& = \frac{1}{\sqrt {2}} | |||
\end{ | |||
</math> | </math> | ||
'''<math>t_2</math> 에서의 상태''' | '''<math>t_2</math> 에서의 상태''' | ||
: <math> | : <math>| Q_{t_2} \rangle = \frac{1}{\sqrt {2}} | hard \rangle | X=x_{2} ,Y=y _{2} \rangle+\frac{1}{\sqrt {2}} | soft \rangle | X=x _{3} , Y=y _{1} \rangle</math> | ||
:<math>t_2</math>의 시점에서, 전자가 두 경로 중 어디에 있느냐고 묻는 것 자체가 의미 없는 질문이다. <math>t_2</math>에서의 전자의 상태는 두 상태의 중첩으로 표현될 뿐이다. | :<math>t_2</math>의 시점에서, 전자가 두 경로 중 어디에 있느냐고 묻는 것 자체가 의미 없는 질문이다. <math>t_2</math>에서의 전자의 상태는 두 상태의 중첩으로 표현될 뿐이다. | ||
'''<math>t_4</math> 에서의 상태''' | '''<math>t_4</math> 에서의 상태''' | ||
: <math>\begin{ | : <math>\begin{align} | ||
| Q_{t_2} \rangle & = \frac{1}{\sqrt {2}} | hard \rangle | X=x_{5} ,Y=y _{4} \rangle+\frac{1}{\sqrt {2}} | soft \rangle | X=x _{5} , Y=y _{4} \rangle \\ | |||
& = \frac{1}{\sqrt {2}} ( | & = \frac{1}{\sqrt {2}} ( | hard \rangle - | soft \rangle ) | X=x_{5} ,Y=y _{4} \rangle \\ | ||
& = | & = | white, X=x_5 , Y=y_4 \rangle | ||
\end{ | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
| 299번째 줄: | 297번째 줄: | ||
만약 <math>t_2</math>에서 전자의 위치를 측정한다면, 중첩상태는 사라지고, 아래처럼 둘 중 하나의 상태로 붕괴한다. | 만약 <math>t_2</math>에서 전자의 위치를 측정한다면, 중첩상태는 사라지고, 아래처럼 둘 중 하나의 상태로 붕괴한다. | ||
:<math> | :<math>| hard \rangle | X=x_2 , Y=y_2 \rangle \text{ or } | soft \rangle | X=x_3 , Y=y_1 \rangle </math> | ||
둘 중 하나가 관측될 확률은 1/2이며, 이대로 가면 <math>t_4</math>에서의 상태는 아래의 두 상태 중 하나가 된다. | 둘 중 하나가 관측될 확률은 1/2이며, 이대로 가면 <math>t_4</math>에서의 상태는 아래의 두 상태 중 하나가 된다. | ||
:<math> | :<math>| Q_{t_4} \rangle = | hard , X=x_5 , Y=y_4 \rangle \text{ or } | soft , X=x_5 , Y=y_4 \rangle </math> | ||
따라서 <math>t_4</math> 시점에 색깔을 측정하면 검은색과 흰색이 반반씩 측정된다. | 따라서 <math>t_4</math> 시점에 색깔을 측정하면 검은색과 흰색이 반반씩 측정된다. | ||
| 309번째 줄: | 307번째 줄: | ||
만약, 경로 <math>y_1 , x_3 </math>에 함정을 설치하면, <math>t_4</math>에서의 상태는 아래와 같다. | 만약, 경로 <math>y_1 , x_3 </math>에 함정을 설치하면, <math>t_4</math>에서의 상태는 아래와 같다. | ||
:<math> | :<math> | Q_{t_4} \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | hard \rangle | X=x_5 , y=y_4 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | soft \rangle | X=x_3 , y=y_1 \rangle</math> | ||
따라서 <math>t_4</math>에 <math>(x_5 , y_4 )</math>지점에서 전자가 검출될 확률은 1/2이며, 그 때의 전자는 단단한 전자일 것이다. 따라서 그 지점에서 색깔을 측정하면 검은색과 흰색이 반반씩 측정될 것이다. | 따라서 <math>t_4</math>에 <math>(x_5 , y_4 )</math>지점에서 전자가 검출될 확률은 1/2이며, 그 때의 전자는 단단한 전자일 것이다. 따라서 그 지점에서 색깔을 측정하면 검은색과 흰색이 반반씩 측정될 것이다. | ||
| 315번째 줄: | 313번째 줄: | ||
===아무것도 아닌(total-of-nothing) 상자의 효과=== | ===아무것도 아닌(total-of-nothing) 상자의 효과=== | ||
상자의 구현 : 상태 <math> | 상자의 구현 : 상태 <math>| A \rangle</math>의 입자가 들어오면 <math>- | A \rangle</math>의 상태로 바꾸어 내보내는 방식으로 구현한다. | ||
보통의 경우, 입자의 관측가능속성은 하나도 바뀌지 않는다. 그러나, 위의 실험에서 중첩상태 중 한 경로에만 상자를 설치하면, 재밌는 변화가 일어난다. 예를 들어, 경로 <math>(x_{3.5} , y_1 )</math>에 이 상자를 설치하면 <math>t_3 </math>에서의 상태는 아래와 같이 된다. | 보통의 경우, 입자의 관측가능속성은 하나도 바뀌지 않는다. 그러나, 위의 실험에서 중첩상태 중 한 경로에만 상자를 설치하면, 재밌는 변화가 일어난다. 예를 들어, 경로 <math>(x_{3.5} , y_1 )</math>에 이 상자를 설치하면 <math>t_3 </math>에서의 상태는 아래와 같이 된다. | ||
:<math> | :<math>| Q_{t_3} \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | hard \rangle | X=x_3 , Y=y_3 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | soft \rangle | X=x_4 , Y=y_2 \rangle</math> | ||
그리고 <math>t_4</math>에 이르렀을 때 그 상태는 | 그리고 <math>t_4</math>에 이르렀을 때 그 상태는 | ||
:<math>\begin{ | :<math>\begin{align} | ||
| Q_{t_4} \rangle &= \frac{1}{\sqrt2} ( | hard \rangle + | soft \rangle ) | X=x_5 , Y=y_4 \rangle\\ | |||
&= | &= | black , X=x_5 , Y=y_5 \rangle | ||
\end{ | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
:가 되어, 색깔이 검은색으로 바뀌어버린다. | :가 되어, 색깔이 검은색으로 바뀌어버린다. | ||
| 337번째 줄: | 335번째 줄: | ||
[[분류:요약문]] | [[분류:요약문]] | ||
[[분류:발제문]] | [[분류:발제문]] | ||
[[분류:과학교양]] | |||