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양자역학의 형식적 구조 (원본 보기)

2025년 10월 15일 (수) 13:52 판

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|publisher = Harvard University Press
|publisher = Harvard University Press
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* 발제문 : [[media:물리학의 철학_발제문_양자역학의 형식적 구조.hwp]]
* 발제문 : [[media:물리학의 철학_발제문_양자역학의 형식적 구조.hwp]] | [[media:양자역학의 형식적 구조 (그림 포함).pdf]]


== 문제제기 (중첩) ==
== 문제제기 (중첩) ==
56번째 줄: 56번째 줄:
=== 연산자와 그것의 고유벡터 및 고유값 ===
=== 연산자와 그것의 고유벡터 및 고유값 ===


*연산자(operator) : 자기공간에서 이루어지는 벡터에서 벡터로의 사상(mapping). <math> O \rangle B \rangle = | B' \rangle</math>
*연산자(operator) : 자기공간에서 이루어지는 벡터에서 벡터로의 사상(mapping). <math> O | B \rangle = | B' \rangle</math>
*선형 연산자의 조건 : (a) <math>O( | A \rangle + | B \rangle</math>, (b) <math>O(c | A \rangle ) = c(O | A \rangle )</math>
*선형 연산자의 조건 : (a) <math>O( | A \rangle + | B \rangle</math>, (b) <math>O(c | A \rangle ) = c(O | A \rangle )</math>
*N-차원 공간의 선형 연산자의 표현 : N<sup>2</sup> 행렬로 표현 가능.
*N-차원 공간의 선형 연산자의 표현 : N<sup>2</sup> 행렬로 표현 가능.
*2차원의 경우,  <math>O = \begin{bmatrix}O_{11} & O_{12} \\ O_{21} & O_{22} \end{bmatrix} (O_{ij} = \left< A_i | O | A_j \rangle</math> )
*2차원의 경우,  <math>O = \begin{bmatrix}O_{11} & O_{12} \\ O_{21} & O_{22} \end{bmatrix}</math> (<math>O_{ij} = \langle A_i | O | A_j \rangle</math> )
**예: 항등 연산자(unit operator) <math>\begin{bmatrix}1 & 0  \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>, 시계방향으로 90°회전시키는 연산자 <math>\begin{bmatrix}0 & 1  \\ -1 & 0 \end{bmatrix}</math>
**예: 항등 연산자(unit operator) <math>\begin{bmatrix}1 & 0  \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>, 시계방향으로 90°회전시키는 연산자 <math>\begin{bmatrix}0 & 1  \\ -1 & 0 \end{bmatrix}</math>
*고유벡터와 고유값 : 연산자 <math>O</math>에 대해 <math>O | B \rangle = @ | B \rangle</math>의 조건을 만족하는 벡터 <math>| B \rangle</math>와 상수 @.
*고유벡터와 고유값 : 연산자 <math>O</math>에 대해 <math>O | B \rangle = \alpha | B \rangle</math>의 조건을 만족하는 벡터 <math>| B \rangle</math>와 상수 <math>\alpha</math>.
**위에서 벡터 <math>| B \rangle</math>를 연산자 <math>O</math>의 고유값 @인 고유벡터라고 한다.
**위에서 벡터 <math>| B \rangle</math>를 연산자 <math>O</math>의 고유값 <math>\alpha</math>인 고유벡터라고 한다.


== 양자역학의 5가지 원리 ==
== 양자역학의 5가지 원리 ==
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*물리계 - 벡터공간과 대응. (힐버트공간)
*물리계 - 벡터공간과 대응. (힐버트공간)
*물리적 상태 - 길이가 1인 벡터와 대응. (1대1 대응은 아님. 예: <math>\left| A \right></math>와 <math>- \left| A \right></math>는 같은 상태를 표상)  
*물리적 상태 - 길이가 1인 벡터와 대응. (1대1 대응은 아님. 예: <math>| A \rangle</math>와 <math>- | A \rangle</math>는 같은 상태를 표상)


===(B) 관찰가능속성===
===(B) 관찰가능속성===
78번째 줄: 78번째 줄:
'''예1. 스핀 공간(2차원 벡터공간)에서의 단단하기 속성의 표현'''
'''예1. 스핀 공간(2차원 벡터공간)에서의 단단하기 속성의 표현'''
:hardness operator = <math>\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}</math>
:hardness operator = <math>\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}</math>
:고유값 +1의 고유벡터 <math>\left| hard \right> = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}</math> (means precise hard)
:고유값 +1의 고유벡터 <math>| hard \rangle = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}</math> (means precise hard)
:고유값 -1의 고유벡터 <math>\left| soft \right> = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}</math> (means precise soft)
:고유값 -1의 고유벡터 <math>| soft \rangle = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}</math> (means precise soft)
   
   
'''예2. 스핀 공간(2차원 벡터공간)에서의 색깔 속성의 표현'''
'''예2. 스핀 공간(2차원 벡터공간)에서의 색깔 속성의 표현'''
:color operator = <math>\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}</math>
:color operator = <math>\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}</math>
:고유값 +1의 고유벡터 <math>\left| black \right> = \begin{bmatrix} 1 \over \sqrt 2 \\ 1 \over \sqrt 2 \end{bmatrix}</math> (means precise black)
:고유값 +1의 고유벡터 <math>| black \rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} \\ \frac{1}{\sqrt 2} \end{bmatrix}</math> (means precise black)
:고유값 -1의 고유벡터 <math>\left| white \right> = \begin{bmatrix}1 \over \sqrt 2 \\ - {1 \over \sqrt 2} \end{bmatrix}</math> (means precise white)
:고유값 -1의 고유벡터 <math>| white \rangle = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} \\ - {\frac{1}{\sqrt 2}} \end{bmatrix}</math> (means precise white)


*2차원 벡터공간을 양자역학에서는 스핀 공간이라 지칭한다.
*2차원 벡터공간을 양자역학에서는 스핀 공간이라 지칭한다.
93번째 줄: 93번째 줄:
{{상자|내용=
{{상자|내용=
'''예.'''
'''예.'''
:<math>\left| hard \right> = \frac{1}{\sqrt 2} \left| black \right> + \frac{1}{\sqrt 2}  \left| white \right></math>
:<math>| hard \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} | black \rangle + \frac{1}{\sqrt 2}  | white \rangle</math>
:<math>\left| soft \right> = \frac{1}{\sqrt 2}  \left| black \right> - \frac{1}{\sqrt 2}  \left| white \right></math>
:<math>| soft \rangle = \frac{1}{\sqrt 2}  | black \rangle - \frac{1}{\sqrt 2}  | white \rangle</math>
}}
}}


101번째 줄: 101번째 줄:
상태벡터는 슈뢰딩거 방정식을 따라 시간의 흐름에 따라 결정론적으로 변화한다.  
상태벡터는 슈뢰딩거 방정식을 따라 시간의 흐름에 따라 결정론적으로 변화한다.  
# 상태벡터의 길이는 항상 1이므로 상태벡터는 시간에 따라 방향만 변화한다.
# 상태벡터의 길이는 항상 1이므로 상태벡터는 시간에 따라 방향만 변화한다.
# <math>t_1 : \left| A \right> \to t_2 : \left| A' \right></math>이고, <math>t_1 : \left| B \right> \to t_2 : \left| B' \right></math>이면, <math>t_1 : \alpha \left| A \right> + \beta \left| B \right> \to t_2 : \alpha \left| A' \right> + \beta \left| B' \right> </math>이다. (선형성)
# <math>t_1 : | A \rangle \to t_2 : | A' \rangle</math>이고, <math>t_1 : | B \rangle \to t_2 : | B' \rangle</math>이면, <math>t_1 : \alpha | A \rangle + \beta | B \rangle \to t_2 : \alpha | A' \rangle + \beta | B' \rangle </math>이다. (선형성)


===(D) 실험과의 연결===
===(D) 실험과의 연결===
107번째 줄: 107번째 줄:
현 상태벡터가 측정하려는 속성 연산자의 고유벡터라면 그것의 고유값이 바로 측정값이 될 테지만, 만약 현 상태벡터가 측정하려는 속성 연산자의 고유벡터가 아니라면 어떻게 될 것인가? 그것은 확률의 문제이다.
현 상태벡터가 측정하려는 속성 연산자의 고유벡터라면 그것의 고유값이 바로 측정값이 될 테지만, 만약 현 상태벡터가 측정하려는 속성 연산자의 고유벡터가 아니라면 어떻게 될 것인가? 그것은 확률의 문제이다.


상태벡터 <math>\left| A \right></math>의 속성 <math>B</math>를 측정하는 상황에서, 속성 <math>B</math>에 대한 연산자의 고유벡터들이 <math>\left| B = b _{1} \right> , \left| B = b _{2} \right> , \cdots , </math> ( <math>b_i</math>는 각 고유값, <math>\left| B = b_i \right></math>는 고유값 <math>b_i</math>의 고유벡터) 이라고 할 때, 속성 <math>B</math>의 측정값이 <math>b_j</math>일 확률은 아래와 같다.  
상태벡터 <math>| A \rangle</math>의 속성 <math>B</math>를 측정하는 상황에서, 속성 <math>B</math>에 대한 연산자의 고유벡터들이 <math>| B = b _{1} \rangle , | B = b _{2} \rangle , \cdots , </math> ( <math>b_i</math>는 각 고유값, <math>| B = b_i \rangle</math>는 고유값 <math>b_i</math>의 고유벡터) 이라고 할 때, 속성 <math>B</math>의 측정값이 <math>b_j</math>일 확률은 아래와 같다.  
:<math>P(B=b_j ) = \left( \left< a | B = b_j \right> \right)^2</math>
:<math>P(B=b_j ) = \left( \langle a | B = b_j \rangle \right)^2</math>


* 여기서 <math>\left| a \right></math>와 <math>- \left| a \right></math>가 정확히 같은 물리적 상태를 표상한다는 점이 해명된다.
* 여기서 <math>| a \rangle</math>와 <math>- | a \rangle</math>가 정확히 같은 물리적 상태를 표상한다는 점이 해명된다.


{{상자|내용=
{{상자|내용=
'''예. precise soft 상태인 전자의 색깔을 측정했을 때, 각 색깔이 측정될 확률.'''
'''예. precise soft 상태인 전자의 색깔을 측정했을 때, 각 색깔이 측정될 확률.'''
:<math> \left| soft \right> = \frac{1}{\sqrt 2} \left| black \right> - \frac{1}{\sqrt 2} \left| white \right>이므로,</math>
:<math> | soft \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} | black \rangle - \frac{1}{\sqrt 2} | white \rangle</math>이므로,
:<math>P(Color=black) = \left( \left< soft | black \right> \right)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt 2} \right)^2 = \frac {1}{2}</math>
:<math>P(Color=black) = \left( \langle soft | black \rangle \right)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt 2} \right)^2 = \frac {1}{2}</math>
:<math>P(Color=white) = \left( \left< soft | white \right> \right)^2 = \left( - \frac{1}{\sqrt 2} \right)^2 = \frac {1}{2}</math>
:<math>P(Color=white) = \left( \langle soft | white \rangle \right)^2 = \left( - \frac{1}{\sqrt 2} \right)^2 = \frac {1}{2}</math>
}}
}}


===(E) 붕괴 ===
===(E) 붕괴 ===


관찰가능속성 <math>O</math>에 대해 <math>O = @</math>인 관측을 한 직후, 상태벡터는 고유값 <math>@</math>의 고유벡터로 “붕괴”한다.
관찰가능속성 <math>O</math>에 대해 <math>O = \alpha</math>인 관측을 한 직후, 상태벡터는 고유값 <math>\alpha</math>의 고유벡터로 “붕괴”한다.


==양자역학의 예측 알고리즘==
==양자역학의 예측 알고리즘==
145번째 줄: 145번째 줄:
=== 벡터곱(내적)의 정의 변경===
=== 벡터곱(내적)의 정의 변경===


벡터 <math>\left| A \right></math>의 길이를 뜻하는 <math>\sqrt {\left< A | A \right>}</math>이 항상 양의 실수가 되도록 보장해줄 필요가 있다.  
벡터 <math>| A \rangle</math>의 길이를 뜻하는 <math>\sqrt {\langle A | A \rangle}</math>이 항상 양의 실수가 되도록 보장해줄 필요가 있다.  
* 해결방법 :  <math>\sqrt {\left< A | A \right>} = a_1^* b_1 + a_2^* b_2 + \cdots</math>(<math>a^*</math>는 <math>a</math>의 켤레복소수)로 변경.
* 해결방법 :  <math>\sqrt {\langle A | A \rangle} = a_1^* b_1 + a_2^* b_2 + \cdots</math>(<math>a^*</math>는 <math>a</math>의 켤레복소수)로 변경.


=== 확률값 ===
=== 확률값 ===


확률값이 항상 양의 실수가 되도록 보장해줄 필요가 있다.
확률값이 항상 양의 실수가 되도록 보장해줄 필요가 있다.
*해결방법 : <math>P(B=b_j ) = \left| \left< a | B = b_j \right> \right|^2</math>로 변경.
*해결방법 : <math>P(B=b_j ) = | \langle a | B = b_j \rangle |^2</math>로 변경.
*이렇게 되면, <math>\left| A \right></math>는 <math>- \left| A \right></math>뿐만 아니라 <math>@ \left| A \right></math>(@는 절대값이 1인 복소수)와 똑같은 상태를 표상하게 된다.
*이렇게 되면, <math>| A \rangle</math>는 <math>- | A \rangle</math>뿐만 아니라 <math>\alpha | A \rangle</math>(<math>\alpha</math>는 절대값이 1인 복소수)와 똑같은 상태를 표상하게 된다.


=== 속성 연산자 ===
=== 속성 연산자 ===
181번째 줄: 181번째 줄:
*일차원 공간에서의 위치 연산자를 <math>X</math>라 하면, <math>X</math>의 고유값들은 연속적이면서 그 범위는 <math>(-\infty , \infty)</math>.  
*일차원 공간에서의 위치 연산자를 <math>X</math>라 하면, <math>X</math>의 고유값들은 연속적이면서 그 범위는 <math>(-\infty , \infty)</math>.  
*즉, 평범한 일차원의 공간을 표상하기 위한 상태공간은 무한차원공간이어야 한다..
*즉, 평범한 일차원의 공간을 표상하기 위한 상태공간은 무한차원공간이어야 한다..
*흔히, 위처럼 무한차원의 상태공간에서의 상태벡터를 <math>\left| \Psi \right></math>라 지칭한다.  
*흔히, 위처럼 무한차원의 상태공간에서의 상태벡터를 <math>| \Psi \rangle</math>라 지칭한다.  
<math>\left| \Psi \right></math>를 연산자 <math>X</math>의 무한한 고유벡터들을 기저로 삼아 표현하면 아래와 같다.  
<math>| \Psi \rangle</math>를 연산자 <math>X</math>의 무한한 고유벡터들을 기저로 삼아 표현하면 아래와 같다.  
:<math>\left| \Psi \right> = a_5 \left| X=5 \right> + a_7 \left| X=7 \right> + a_{72.93} \left| X=72.93 \right> + \cdots</math> (where <math> a_x = \left< \Psi | X=x \right></math>)
:<math>| \Psi \rangle = a_5 | X=5 \rangle + a_7 | X=7 \rangle + a_{72.93} | X=72.93 \rangle + \cdots</math> (where <math> a_x = \langle \Psi | X=x \rangle</math>)


=== 파동함수===
=== 파동함수===


*위의 표현과 동등하게 <math>(-\infty , \infty)</math>의 정의역을 갖고 그 함수값으로 <math>a_x</math>를 갖는 함수 <math>\Psi (x)</math>를 생각할 수 있다.
*위의 표현과 동등하게 <math>(-\infty , \infty)</math>의 정의역을 갖고 그 함수값으로 <math>a_x</math>를 갖는 함수 <math>\Psi (x)</math>를 생각할 수 있다.
:<math>\Psi (x) = \left< \Psi | X=x \right> = a_x</math> (흔히 이 함수가 파동함수의 형태를 갖기 때문에 파동함수라고 부름)
:<math>\Psi (x) = \langle \Psi | X=x \rangle = a_x</math> (흔히 이 함수가 파동함수의 형태를 갖기 때문에 파동함수라고 부름)


{{상자|내용=
{{상자|내용=
'''예. <math>\left| \Psi \right></math>를 파동함수 <math>\Psi (x)</math>로 번역하기'''
'''예. <math>| \Psi \rangle</math>를 파동함수 <math>\Psi (x)</math>로 번역하기'''
:<math>\left| \Psi \right> = \frac{1}{\sqrt 2} \left| X=1 \right> + \frac{1}{\sqrt 2} \left| X=-1 \right></math>를 <math>\Psi (x)</math>로 표현하면,
:<math>| \Psi \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} | X=1 \rangle + \frac{1}{\sqrt 2} | X=-1 \rangle</math>를 <math>\Psi (x)</math>로 표현하면,
:<math>\Psi (x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt2} \quad (x=1) \\  \frac{1}{\sqrt2} \quad (x=-1) \\ 0 \quad (x \neq 1 \& x \neq -1 ) \end{cases}</math>
:<math>\Psi (x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt2} \quad (x=1) \\  \frac{1}{\sqrt2} \quad (x=-1) \\ 0 \quad (x \neq 1 \& x \neq -1 ) \end{cases}</math>
}}
}}


* <math>P(X=x_j ) = \left| \Psi (x_j ) \right)^2</math>
* <math>P(X=x_j ) = | \Psi (x_j ) |^2</math>


== 2개 이상의 입자로 구성된 계==
== 2개 이상의 입자로 구성된 계==
202번째 줄: 202번째 줄:
===두 입자로 구성된 계의 상태벡터와 상태공간===
===두 입자로 구성된 계의 상태벡터와 상태공간===


1번 입자의 상태벡터가 <math>\left| \Psi_a \right></math>, 2번 입자의 상태벡터가 <math>\left| \Psi_b \right></math>일 때, 입자쌍의 상태벡터는 보통 <math>\left| \Psi_a \right>_1 \left| \Psi_b \right>_2</math> 또는 <math>\left| \Psi_a^1 , \Psi_b^2 \right></math>로 표현된다.  
1번 입자의 상태벡터가 <math>| \Psi_a \rangle</math>, 2번 입자의 상태벡터가 <math>| \Psi_b \rangle</math>일 때, 입자쌍의 상태벡터는 보통 <math>| \Psi_a \rangle_1 | \Psi_b \rangle_2</math> 또는 <math>| \Psi_a^1 , \Psi_b^2 \rangle</math>로 표현된다.  


1번 입자와 2번 입자 각각의 상태가 N차원의 상태공간에서 기술될 때, 두 입자쌍의 상태는 새롭게 구성된 N<sup>2</sup>차원의 상태공간에서 기술된다. 이 때 새롭게 구성된 상태공간의 기저는 두 입자의 상태공간의 각 기저벡터들 간의 텐서곱에 의해 만들어지는 N<sup>2</sup>개의 직교단위벡터들에 의해 구성된다.
1번 입자와 2번 입자 각각의 상태가 N차원의 상태공간에서 기술될 때, 두 입자쌍의 상태는 새롭게 구성된 N<sup>2</sup>차원의 상태공간에서 기술된다. 이 때 새롭게 구성된 상태공간의 기저는 두 입자의 상태공간의 각 기저벡터들 간의 텐서곱에 의해 만들어지는 N<sup>2</sup>개의 직교단위벡터들에 의해 구성된다.


새로운 기저벡터들 : <math>\left| \Psi_a^1 , \Psi_b^2 \right></math> for <math>i , j = 1 , 2, \cdots , N</math> (<math>\Psi_i</math>와 <math>\Psi_j</math>는 원래의 기저벡터들).  
새로운 기저벡터들 : <math>| \Psi_a^1 , \Psi_b^2 \rangle</math> for <math>i , j = 1 , 2, \cdots , N</math> (<math>\Psi_i</math>와 <math>\Psi_j</math>는 원래의 기저벡터들).  
: <math>\left< \Psi_i^1 , \Psi_j^2 \middle| \Psi_k^1 , \Psi_l^2 \right> =0</math> unless <math>i=k \text{ & } j=k</math> (where <math>\left< \Psi_i^1 , \Psi_j^2 \middle| \Psi_k^1 , \Psi_l^2 \right> =\left< \Psi_i^1 \middle| \Psi_k^1 \right> \left< \Psi_j^2 \middle| \Psi_l^2 \right></math>)
: <math>\langle \Psi_i^1 , \Psi_j^2 | \Psi_k^1 , \Psi_l^2 \rangle =0</math> unless <math>i=k</math> & <math>j=k</math> (where <math>\langle \Psi_i^1 , \Psi_j^2 | \Psi_k^1 , \Psi_l^2 \rangle =\langle \Psi_i^1 | \Psi_k^1 \rangle \langle \Psi_j^2 | \Psi_l^2 \rangle</math>)
:즉, 새로운 기저벡터들간의 벡터곱(내적)은 원리적으로 0.  
:즉, 새로운 기저벡터들간의 벡터곱(내적)은 원리적으로 0.  


이제 새로운 상태공간에서 두 입자로 구성된 계의 상태는 일반적으로 다음과 같이 표현된다.
이제 새로운 상태공간에서 두 입자로 구성된 계의 상태는 일반적으로 다음과 같이 표현된다.
:<math>\left| \Psi^{1,2} \right> = a_{11} \left| \Psi_1^1 , \Psi_1^2 \right> + a_{12} \left| \Psi_1^1 , \Psi_2^2 \right> + \cdots + a_{ij} \left| \Psi_i^1 , \Psi_j^2 \right> + \cdots</math>
:<math>| \Psi^{1,2} \rangle = a_{11} | \Psi_1^1 , \Psi_1^2 \rangle + a_{12} | \Psi_1^1 , \Psi_2^2 \rangle + \cdots + a_{ij} | \Psi_i^1 , \Psi_j^2 \rangle + \cdots</math>


위의 일반적인 상태 <math>\left| \Psi^{1,2} \right></math>는 <math>\left| \Psi^1 \right> \left| \Psi^2 \right></math>의 꼴로 표현 가능한 상태와 표현 불가능한 상태로 나뉘어진다. 이는 아래의 분리가능성의 문제를 낳는다.
위의 일반적인 상태 <math>| \Psi^{1,2} \rangle</math>는 <math>| \Psi^1 \rangle | \Psi^2 \rangle</math>의 꼴로 표현 가능한 상태와 표현 불가능한 상태로 나뉘어진다. 이는 아래의 분리가능성의 문제를 낳는다.


===분리 가능성과 분리 불가능성===
===분리 가능성과 분리 불가능성===
219번째 줄: 219번째 줄:
==== 분리 불가능한 상태 ====
==== 분리 불가능한 상태 ====
두 입자의 상태가 아래와 같다고 해보자.
두 입자의 상태가 아래와 같다고 해보자.
:<math>\left| Q \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_1^1 , \Psi_1^2 \right> + \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_2^1 , \Psi_2^2 \right></math>
:<math>| Q \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_1^1 , \Psi_1^2 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_2^1 , \Psi_2^2 \rangle</math>


위의 상태벡터는  
위의 상태벡터는  
:1번 입자의 상태 : <math>\left| Q^1 \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_1 \right> +  \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_2 \right></math>
:1번 입자의 상태 : <math>| Q^1 \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_1 \rangle +  \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_2 \rangle</math>
:2번 입자의 상태 : <math>\left| Q^2 \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_1 \right> +  \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_2 \right></math>  
:2번 입자의 상태 : <math>| Q^2 \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_1 \rangle +  \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_2 \rangle</math>  
로 분리될 수 없다. 두 입자의 상태 <math>\left| Q \right></math>를 보고, 1번 입자의 상태는 이러이러하고 2번 입자의 상태는 저러저러하다고 말할 수 없다. 두 입자의 상태 <math>\left| Q \right></math>가 <math>\left| Q^1 \right>\left| Q^2 \right></math>의 꼴로 표현될 수 없는 경우, 그 상태를 분리 불가능한 상태라고 한다.  
로 분리될 수 없다. 두 입자의 상태 <math>| Q \rangle</math>를 보고, 1번 입자의 상태는 이러이러하고 2번 입자의 상태는 저러저러하다고 말할 수 없다. 두 입자의 상태 <math>| Q \rangle</math>가 <math>| Q^1 \rangle| Q^2 \rangle</math>의 꼴로 표현될 수 없는 경우, 그 상태를 분리 불가능한 상태라고 한다.  


==== 분리 가능한 상태 ====
==== 분리 가능한 상태 ====
두 입자의 상태가 아래와 같다고 해보자.
두 입자의 상태가 아래와 같다고 해보자.
:<math>\left| Q \right> = \frac{1}{2} \left| \Psi_1^1 , \Psi_1^2 \right> + \frac{1}{2} \left| \Psi_2^1 , \Psi_1^2 \right> + \frac{1}{2} \left| \Psi_2^1 , \Psi_2^2 \right></math>
:<math>| Q \rangle = \frac{1}{2} | \Psi_1^1 , \Psi_1^2 \rangle + \frac{1}{2} | \Psi_2^1 , \Psi_1^2 \rangle + \frac{1}{2} | \Psi_2^1 , \Psi_2^2 \rangle</math>


위의 상태 <math>\left| Q \right></math>는 아래의 <math>\left| Q^1 \right></math>과 <math>\left| Q^2 \right></math>의 텐서곱 <math>\left| Q^1 \right> \left| Q^2 \right></math>로 정확히 표현된다.
위의 상태 <math>| Q \rangle</math>는 아래의 <math>| Q^1 \rangle</math>과 <math>| Q^2 \rangle</math>의 텐서곱 <math>| Q^1 \rangle | Q^2 \rangle</math>로 정확히 표현된다.
:<math>\left| Q^1 \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_1^1 \right> +  \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_2^1 \right></math>
:<math>| Q^1 \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_1^1 \rangle +  \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_2^1 \rangle</math>
:<math>\left| Q^2 \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_1^2 \right> +  \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_2^2 \right></math>
:<math>| Q^2 \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_1^2 \rangle +  \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_2^2 \rangle</math>
이 경우 우리는 1번 입자의 상태는 <math>\left| Q^1 \right></math>, 2번 입자의 상태는 <math>\left| Q^2 \right></math>라고 말할 수 있다.  
이 경우 우리는 1번 입자의 상태는 <math>| Q^1 \rangle</math>, 2번 입자의 상태는 <math>| Q^2 \rangle</math>라고 말할 수 있다.  


즉, 두 입자의 상태 <math>\left| Q \right></math>가 <math>\left| Q^1 \right> \left| Q^2 \right></math>의 꼴로 표현 가능한 경우, 그 상태를 분리 가능한 상태라고 한다.
즉, 두 입자의 상태 <math>| Q \rangle</math>가 <math>| Q^1 \rangle | Q^2 \rangle</math>의 꼴로 표현 가능한 경우, 그 상태를 분리 가능한 상태라고 한다.


===측정===
===측정===


두입자의 상태 <math>\left| k \right></math>에서, 1번 입자의 속성 <math>A</math>의 측정값이 <math>a_i</math>이고 2번 입자의 속성 <math>B</math>의 측정값이 <math>b_j</math>일 확률은  
두입자의 상태 <math>| k \rangle</math>에서, 1번 입자의 속성 <math>A</math>의 측정값이 <math>a_i</math>이고 2번 입자의 속성 <math>B</math>의 측정값이 <math>b_j</math>일 확률은  
:<math>\left| \left< A^1 = a_i , B^2 = b_j | k \right> \right|^2</math>
:<math>| \langle A^1 = a_i , B^2 = b_j | k \rangle |^2</math>
   
   
만약, 1번 입자의 속성 <math>A</math>의 측정값이 <math>a_i</math>일 확률은
만약, 1번 입자의 속성 <math>A</math>의 측정값이 <math>a_i</math>일 확률은
:<math>\left| \left< A^1 = a_i , L^2 = l_1 | k \right> \right|^2 + \left| \left< A^1 = a_i , L^2 = l_2 | k \right> \right|^2 + \cdots + \left| \left< A^1 = a_i , L^2 = l_j | k \right> \right|^2 + \cdots</math>
:<math>| \langle A^1 = a_i , L^2 = l_1 | k \rangle |^2 + | \langle A^1 = a_i , L^2 = l_2 | k \rangle |^2 + \cdots + | \langle A^1 = a_i , L^2 = l_j | k \rangle |^2 + \cdots</math>


===4) 붕괴===
===4) 붕괴===


실제로 1번 입자의 속성 <math>A</math>를 측정하여 <math>a_5</math>가 측정됐다면, 측정직후의 상태는 어떻게 될까?
실제로 1번 입자의 속성 <math>A</math>를 측정하여 <math>a_5</math>가 측정됐다면, 측정직후의 상태는 어떻게 될까?
:원래상태 : <math>\left| k \right> = \sum_{i, j} d_{ij} \left| A^1 = a_i , B^2 = b_j \right></math>
:원래상태 : <math>| k \rangle = \sum_{i, j} d_{ij} | A^1 = a_i , B^2 = b_j \rangle</math>
:측정 후 : <math>\left| k' \right> = \alpha \sum_{j} d_{5j} \left| A^1 = a_5 , B^2 = b_j \right></math> (where <math>\alpha = \frac{1}{\sum_j d_{5j}}</math>)
:측정 후 : <math>| k' \rangle = \alpha \sum_{j} d_{5j} | A^1 = a_5 , B^2 = b_j \rangle</math> (where <math>\alpha = \frac{1}{\sum_j d_{5j}}</math>)


{{상자|내용=
{{상자|내용=
'''예. 측정 시 벌어지는 붕괴'''
'''예. 측정 시 벌어지는 붕괴'''
:<math>\left| k \right> = \frac{1}{\sqrt3} \left| A^1 = a_1 , B^2 = b_2 \right> + \frac{1}{\sqrt3} \left| A^1 = a_1 , B^2 = b_{27} \right> + \frac{1}{\sqrt3} \left| A^1 = a_8 , B^2 = b_{38} \right></math>일 때,  
:<math>| k \rangle = \frac{1}{\sqrt3} | A^1 = a_1 , B^2 = b_2 \rangle + \frac{1}{\sqrt3} | A^1 = a_1 , B^2 = b_{27} \rangle + \frac{1}{\sqrt3} | A^1 = a_8 , B^2 = b_{38} \rangle</math>일 때,  
:1번 입자의 속성 <math>A</math>의 측정값이 <math>a_1</math>라고 하자. 이 때, 측정후의 상태는 아래와 같이 붕괴한다.
:1번 입자의 속성 <math>A</math>의 측정값이 <math>a_1</math>라고 하자. 이 때, 측정후의 상태는 아래와 같이 붕괴한다.
:<math>\left| k \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| A^1 = a_1 , B^2 = b_2 \right> + \frac{1}{\sqrt2} \left| A^1 = a_1 , B^2 = b_{27} \right></math>
:<math>| k \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | A^1 = a_1 , B^2 = b_2 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | A^1 = a_1 , B^2 = b_{27} \rangle</math>
}}
}}


266번째 줄: 266번째 줄:
{{상자|내용=
{{상자|내용=
'''예1. 3차원 좌표공간에서 자유롭게 움직이며 스핀값을 가지는 전자 하나로 구성된 계의 상태공간'''
'''예1. 3차원 좌표공간에서 자유롭게 움직이며 스핀값을 가지는 전자 하나로 구성된 계의 상태공간'''
:<math>\{ \left| SPIN = spin_i \right> \left| \Psi_x = x_j \right> \left| \Psi_y = y_k \right> \left| \Psi_z = z_l \right> : i=1 \text{ or } 2, \; j, k, l \in {\mathbb R} \}</math>
:<math>\{ | SPIN = spin_i \rangle | \Psi_x = x_j \rangle | \Psi_y = y_k \rangle | \Psi_z = z_l \rangle : i=1 \text{ or } 2, \; j, k, l \in {\mathbb R} \}</math>


'''예2. 위의 상태공간에서의 일반적인 상태벡터 표현'''
'''예2. 위의 상태공간에서의 일반적인 상태벡터 표현'''
:<math>\left| Q \right> = \sum_{i,j,k,l} a_{ijkl} \left| SPIN = spin_i \right> \left| \Psi_x = x_j \right> \left| \Psi_y = y_k \right> \left| \Psi_z = z_l \right> </math>
:<math>| Q \rangle = \sum_{i,j,k,l} a_{ijkl} | SPIN = spin_i \rangle | \Psi_x = x_j \rangle | \Psi_y = y_k \rangle | \Psi_z = z_l \rangle </math>
}}
}}


==5. 두-경로 실험에 대한 표준적인 해석==
==두-경로 실험에 대한 표준적인 해석==


===1) 두-경로 실험에서 장치를 통과한 전자는 왜 모두 흰색으로 측정되는가?===
===1) 두-경로 실험에서 장치를 통과한 전자는 왜 모두 흰색으로 측정되는가?===


[[그림:양자역학과 경험, 그림 2.8.png|그림 2.8. 두-경로 실험에 대한 표준 해석|thumb]]'''<math>t_1</math> 에서의 상태'''
[[그림:양자역학과 경험, 그림 2.8.png|그림 2.8. 두-경로 실험에 대한 표준 해석|thumb]]'''<math>t_1</math> 에서의 상태'''
:<math>\begin{split}
:<math>\begin{align} | Q_{t_1} \rangle &= | white, X=x_1 , Y=y_1 \rangle \\  
\left| Q_{t_1} \right>&= \left| white, X=x_1 , Y=y_1 \right> \\
& = \frac{1}{\sqrt {2}} | hard \rangle | X=x_{1} ,Y=y _{1} \rangle+\frac{1}{\sqrt {2}} | soft \rangle | X=x _{1} , Y=y _{1} \rangle \\  
& = \frac{1}{\sqrt {2}} \left| hard \right> \left| X=x_{1} ,Y=y _{1} \right>+\frac{1}{\sqrt {2}} \left| soft \right> \left| X=x _{1} , Y=y _{1} \right> \\
& = \frac{1}{\sqrt {2}} | a \rangle+ \frac{1}{\sqrt {2}} | b \rangle \\ \end{align}
& = \frac{1}{\sqrt {2}} \left| a \right>+ \frac{1}{\sqrt {2}} \left| b \right>
\end{split}
</math>
</math>


'''<math>t_2</math> 에서의 상태'''
'''<math>t_2</math> 에서의 상태'''
: <math>\left| Q_{t_2} \right> = \frac{1}{\sqrt {2}} \left| hard \right> \left| X=x_{2} ,Y=y _{2} \right>+\frac{1}{\sqrt {2}} \left| soft \right> \left| X=x _{3} , Y=y _{1} \right></math>
: <math>| Q_{t_2} \rangle = \frac{1}{\sqrt {2}} | hard \rangle | X=x_{2} ,Y=y _{2} \rangle+\frac{1}{\sqrt {2}} | soft \rangle | X=x _{3} , Y=y _{1} \rangle</math>
:<math>t_2</math>의 시점에서, 전자가 두 경로 중 어디에 있느냐고 묻는 것 자체가 의미 없는 질문이다. <math>t_2</math>에서의 전자의 상태는 두 상태의 중첩으로 표현될 뿐이다.
:<math>t_2</math>의 시점에서, 전자가 두 경로 중 어디에 있느냐고 묻는 것 자체가 의미 없는 질문이다. <math>t_2</math>에서의 전자의 상태는 두 상태의 중첩으로 표현될 뿐이다.


'''<math>t_4</math> 에서의 상태'''
'''<math>t_4</math> 에서의 상태'''
: <math>\begin{split}
: <math>\begin{align}
\left| Q_{t_2} \right> & = \frac{1}{\sqrt {2}} \left| hard \right> \left| X=x_{5} ,Y=y _{4} \right>+\frac{1}{\sqrt {2}} \left| soft \right> \left| X=x _{5} , Y=y _{4} \right> \\
| Q_{t_2} \rangle & = \frac{1}{\sqrt {2}} | hard \rangle | X=x_{5} ,Y=y _{4} \rangle+\frac{1}{\sqrt {2}} | soft \rangle | X=x _{5} , Y=y _{4} \rangle \\
& =  \frac{1}{\sqrt {2}} ( \left| hard \right> - \left| soft \right> ) \left| X=x_{5} ,Y=y _{4} \right> \\
& =  \frac{1}{\sqrt {2}} ( | hard \rangle - | soft \rangle ) | X=x_{5} ,Y=y _{4} \rangle \\
& = \left| white, X=x_5 , Y=y_4 \right>
& = | white, X=x_5 , Y=y_4 \rangle
\end{split}
\end{align}
</math>
</math>


299번째 줄: 297번째 줄:


만약 <math>t_2</math>에서 전자의 위치를 측정한다면, 중첩상태는 사라지고, 아래처럼 둘 중 하나의 상태로 붕괴한다.  
만약 <math>t_2</math>에서 전자의 위치를 측정한다면, 중첩상태는 사라지고, 아래처럼 둘 중 하나의 상태로 붕괴한다.  
:<math>\left| hard \right> \left| X=x_2 , Y=y_2 \right> \text{ or } \left| soft \right> \left| X=x_3 , Y=y_1 \right> </math>
:<math>| hard \rangle | X=x_2 , Y=y_2 \rangle \text{ or } | soft \rangle | X=x_3 , Y=y_1 \rangle </math>


둘 중 하나가 관측될 확률은 1/2이며, 이대로 가면 <math>t_4</math>에서의 상태는 아래의 두 상태 중 하나가 된다.
둘 중 하나가 관측될 확률은 1/2이며, 이대로 가면 <math>t_4</math>에서의 상태는 아래의 두 상태 중 하나가 된다.
:<math>\left| Q_{t_4} \right> = \left| hard , X=x_5 , Y=y_4 \right> \text{ or } \left| soft , X=x_5 , Y=y_4 \right> </math>
:<math>| Q_{t_4} \rangle = | hard , X=x_5 , Y=y_4 \rangle \text{ or } | soft , X=x_5 , Y=y_4 \rangle </math>


따라서 <math>t_4</math> 시점에 색깔을 측정하면 검은색과 흰색이 반반씩 측정된다.
따라서 <math>t_4</math> 시점에 색깔을 측정하면 검은색과 흰색이 반반씩 측정된다.
309번째 줄: 307번째 줄:


만약, 경로 <math>y_1 , x_3 </math>에 함정을 설치하면, <math>t_4</math>에서의 상태는 아래와 같다.
만약, 경로 <math>y_1 , x_3 </math>에 함정을 설치하면, <math>t_4</math>에서의 상태는 아래와 같다.
:<math> \left| Q_{t_4} \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| hard \right> \left| X=x_5 , y=y_4 \right> + \frac{1}{\sqrt2} \left| soft \right> \left| X=x_3 , y=y_1 \right></math>
:<math> | Q_{t_4} \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | hard \rangle | X=x_5 , y=y_4 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | soft \rangle | X=x_3 , y=y_1 \rangle</math>


따라서 <math>t_4</math>에 <math>(x_5 , y_4 )</math>지점에서 전자가 검출될 확률은 1/2이며, 그 때의 전자는 단단한 전자일 것이다. 따라서 그 지점에서 색깔을 측정하면 검은색과 흰색이 반반씩 측정될 것이다.
따라서 <math>t_4</math>에 <math>(x_5 , y_4 )</math>지점에서 전자가 검출될 확률은 1/2이며, 그 때의 전자는 단단한 전자일 것이다. 따라서 그 지점에서 색깔을 측정하면 검은색과 흰색이 반반씩 측정될 것이다.
315번째 줄: 313번째 줄:
===아무것도 아닌(total-of-nothing) 상자의 효과===
===아무것도 아닌(total-of-nothing) 상자의 효과===


상자의 구현 : 상태 <math>\left| A \right></math>의 입자가 들어오면 <math>- \left| A \right></math>의 상태로 바꾸어 내보내는 방식으로 구현한다.
상자의 구현 : 상태 <math>| A \rangle</math>의 입자가 들어오면 <math>- | A \rangle</math>의 상태로 바꾸어 내보내는 방식으로 구현한다.


보통의 경우, 입자의 관측가능속성은 하나도 바뀌지 않는다. 그러나, 위의 실험에서 중첩상태 중 한 경로에만 상자를 설치하면, 재밌는 변화가 일어난다. 예를 들어, 경로 <math>(x_{3.5} , y_1 )</math>에 이 상자를 설치하면 <math>t_3 </math>에서의 상태는 아래와 같이 된다.
보통의 경우, 입자의 관측가능속성은 하나도 바뀌지 않는다. 그러나, 위의 실험에서 중첩상태 중 한 경로에만 상자를 설치하면, 재밌는 변화가 일어난다. 예를 들어, 경로 <math>(x_{3.5} , y_1 )</math>에 이 상자를 설치하면 <math>t_3 </math>에서의 상태는 아래와 같이 된다.
:<math>\left| Q_{t_3} \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| hard \right> \left| X=x_3 , Y=y_3 \right> + \frac{1}{\sqrt2} \left| soft \right> \left| X=x_4 , Y=y_2 \right></math>
:<math>| Q_{t_3} \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | hard \rangle | X=x_3 , Y=y_3 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | soft \rangle | X=x_4 , Y=y_2 \rangle</math>


그리고 <math>t_4</math>에 이르렀을 때 그 상태는  
그리고 <math>t_4</math>에 이르렀을 때 그 상태는  
:<math>\begin{split}
:<math>\begin{align}
\left| Q_{t_4} \right> &= \frac{1}{\sqrt2} ( \left| hard \right> + \left| soft \right> ) \left| X=x_5 , Y=y_4 \right>\\
| Q_{t_4} \rangle &= \frac{1}{\sqrt2} ( | hard \rangle + | soft \rangle ) | X=x_5 , Y=y_4 \rangle\\
&= \left| black , X=x_5 , Y=y_5 \right>
&= | black , X=x_5 , Y=y_5 \rangle
\end{split}
\end{align}
</math>
</math>
:가 되어, 색깔이 검은색으로 바뀌어버린다.
:가 되어, 색깔이 검은색으로 바뀌어버린다.
337번째 줄: 335번째 줄:
[[분류:요약문]]
[[분류:요약문]]
[[분류:발제문]]
[[분류:발제문]]
[[분류:과학교양]]
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