"칸토어와 무한 집합"의 두 판 사이의 차이

칸토어는 ‘대각선 논증’이란 방법을 이용하여 실수의 집합이 자연수의 집합보다 큰 ‘나열할 수 없는 무한 집합’임을 증명했다. 우선 실수를 그림과 같이 자연수와 일대일 대응시키는 방법이 있다고 가정해 보자(단, <math>a</math>는 실수의 정수부, <math>d_i</math>는 실수의 소수점아래 <math>i</math>번째 수). 이러한 나열에서 <math>r_1</math>은 자연수 1과 대응되는 실수이고, <math>r_2</math>는 자연수 2와 대응되는 실수이며, 자연수 <math>n</math>과 대응되는 실수는 <math>r_n = a_n . d_1^n d_2^n \cdots d_i^n \cdots </math>이 된다. 만약 자연수와의 대응이 완벽하다면, 모든 실수는 이런 방식에 의해 빠짐없이 나열될 수 있을 것이다. 그러나 위와 같은 나열이 완성되었다고 할 때, 우리는 나열된 어떤 수와도 다른 수를 언제나 생각해낼 수 있다. 예를 들어, 정수부의 수는 <math>a_1</math>과 다르고, 소수점아래 첫째 자리의 수는 <math>d_1^2</math>와 다르고, 소수점아래 둘째 자리의 수는 <math>d_2^3</math>과 다르고, 이런 방식으로 계속 대각선을 따라 소수점아래 번째 자리의 수를 <math>d_i^{i+1}</math>과 다르도록 수를 만든다면, 그 수는 나열된 어떤 수와도 다른 새로운 실수가 된다. 이는 실수를 빠짐없이 자연수와 대응시킬 수 있다는 가정이 잘못되었음을 말해준다. 즉 실수의 집합은 자연수의 집합보다 크기가 큰 것이다.