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양자역학의 형식적 구조 (원본 보기)

2025년 10월 3일 (금) 09:42 판

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 '''예1. 스핀 공간(2차원 벡터공간)에서의 단단하기 속성의 표현'''
 :hardness operator = <math>\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}</math>
-:고유값 +1의 고유벡터 <math>\left| hard \right> = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}</math> (means precise hard)
+:고유값 +1의 고유벡터 <math>| hard \rangle = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}</math> (means precise hard)
-:고유값 -1의 고유벡터 <math>\left| soft \right> = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}</math> (means precise soft)
+:고유값 -1의 고유벡터 <math>| soft \rangle = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}</math> (means precise soft)
 '''예2. 스핀 공간(2차원 벡터공간)에서의 색깔 속성의 표현'''
 :color operator = <math>\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}</math>
-:고유값 +1의 고유벡터 <math>\left| black \right> = \begin{bmatrix} 1 \over \sqrt 2 \\ 1 \over \sqrt 2 \end{bmatrix}</math> (means precise black)
+:고유값 +1의 고유벡터 <math>| black \rangle = \begin{bmatrix} 1 \over \sqrt 2 \\ 1 \over \sqrt 2 \end{bmatrix}</math> (means precise black)
-:고유값 -1의 고유벡터 <math>\left| white \right> = \begin{bmatrix}1 \over \sqrt 2 \\ - {1 \over \sqrt 2} \end{bmatrix}</math> (means precise white)
+:고유값 -1의 고유벡터 <math>| white \rangle = \begin{bmatrix}1 \over \sqrt 2 \\ - {1 \over \sqrt 2} \end{bmatrix}</math> (means precise white)
 *2차원 벡터공간을 양자역학에서는 스핀 공간이라 지칭한다.
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 {{상자|내용=
 '''예.'''
-:<math>\left| hard \right> = \frac{1}{\sqrt 2} \left| black \right> + \frac{1}{\sqrt 2}  \left| white \right></math>
+:<math>| hard \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} | black \rangle + \frac{1}{\sqrt 2}  | white \rangle</math>
-:<math>\left| soft \right> = \frac{1}{\sqrt 2}  \left| black \right> - \frac{1}{\sqrt 2}  \left| white \right></math>
+:<math>| soft \rangle = \frac{1}{\sqrt 2}  | black \rangle - \frac{1}{\sqrt 2}  | white \rangle</math>
 }}
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 상태벡터는 슈뢰딩거 방정식을 따라 시간의 흐름에 따라 결정론적으로 변화한다.
 # 상태벡터의 길이는 항상 1이므로 상태벡터는 시간에 따라 방향만 변화한다.
-# <math>t_1 : \left| A \right> \to t_2 : \left| A' \right></math>이고, <math>t_1 : \left| B \right> \to t_2 : \left| B' \right></math>이면, <math>t_1 : \alpha \left| A \right> + \beta \left| B \right> \to t_2 : \alpha \left| A' \right> + \beta \left| B' \right> </math>이다. (선형성)
+# <math>t_1 : | A \rangle \to t_2 : | A' \rangle</math>이고, <math>t_1 : | B \rangle \to t_2 : | B' \rangle</math>이면, <math>t_1 : \alpha | A \rangle + \beta | B \rangle \to t_2 : \alpha | A' \rangle + \beta | B' \rangle </math>이다. (선형성)
 ===(D) 실험과의 연결===
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 현 상태벡터가 측정하려는 속성 연산자의 고유벡터라면 그것의 고유값이 바로 측정값이 될 테지만, 만약 현 상태벡터가 측정하려는 속성 연산자의 고유벡터가 아니라면 어떻게 될 것인가? 그것은 확률의 문제이다.
-상태벡터 <math>\left| A \right></math>의 속성 <math>B</math>를 측정하는 상황에서, 속성 <math>B</math>에 대한 연산자의 고유벡터들이 <math>\left| B = b _{1} \right> , \left| B = b _{2} \right> , \cdots , </math> ( <math>b_i</math>는 각 고유값, <math>\left| B = b_i \right></math>는 고유값 <math>b_i</math>의 고유벡터) 이라고 할 때, 속성 <math>B</math>의 측정값이 <math>b_j</math>일 확률은 아래와 같다.
+상태벡터 <math>| A \rangle</math>의 속성 <math>B</math>를 측정하는 상황에서, 속성 <math>B</math>에 대한 연산자의 고유벡터들이 <math>| B = b _{1} \rangle , | B = b _{2} \rangle , \cdots , </math> ( <math>b_i</math>는 각 고유값, <math>| B = b_i \rangle</math>는 고유값 <math>b_i</math>의 고유벡터) 이라고 할 때, 속성 <math>B</math>의 측정값이 <math>b_j</math>일 확률은 아래와 같다.
-:<math>P(B=b_j ) = \left( \left< a | B = b_j \right> \right)^2</math>
+:<math>P(B=b_j ) = \left( \langle a | B = b_j \rangle \right)^2</math>
-* 여기서 <math>\left| a \right></math>와 <math>- \left| a \right></math>가 정확히 같은 물리적 상태를 표상한다는 점이 해명된다.
+* 여기서 <math>| a \rangle</math>와 <math>- | a \rangle</math>가 정확히 같은 물리적 상태를 표상한다는 점이 해명된다.
 {{상자|내용=
 '''예. precise soft 상태인 전자의 색깔을 측정했을 때, 각 색깔이 측정될 확률.'''
-:<math> \left| soft \right> = \frac{1}{\sqrt 2} \left| black \right> - \frac{1}{\sqrt 2} \left| white \right>이므로,</math>
+:<math> | soft \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} | black \rangle - \frac{1}{\sqrt 2} | white \rangle이므로,</math>
-:<math>P(Color=black) = \left( \left< soft | black \right> \right)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt 2} \right)^2 = \frac {1}{2}</math>
+:<math>P(Color=black) = \left( \langle soft | black \rangle \right)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt 2} \right)^2 = \frac {1}{2}</math>
-:<math>P(Color=white) = \left( \left< soft | white \right> \right)^2 = \left( - \frac{1}{\sqrt 2} \right)^2 = \frac {1}{2}</math>
+:<math>P(Color=white) = \left( \langle soft | white \rangle \right)^2 = \left( - \frac{1}{\sqrt 2} \right)^2 = \frac {1}{2}</math>
 }}