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양자역학의 형식적 구조 (원본 보기)

2025년 10월 3일 (금) 09:51 판

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1,117

번

@@ 181번째 줄: / 181번째 줄: @@
 *일차원 공간에서의 위치 연산자를 <math>X</math>라 하면, <math>X</math>의 고유값들은 연속적이면서 그 범위는 <math>(-\infty , \infty)</math>.
 *즉, 평범한 일차원의 공간을 표상하기 위한 상태공간은 무한차원공간이어야 한다..
-*흔히, 위처럼 무한차원의 상태공간에서의 상태벡터를 <math>\left| \Psi \right></math>라 지칭한다.
+*흔히, 위처럼 무한차원의 상태공간에서의 상태벡터를 <math>| \Psi \rangle</math>라 지칭한다.
-<math>\left| \Psi \right></math>를 연산자 <math>X</math>의 무한한 고유벡터들을 기저로 삼아 표현하면 아래와 같다.
+<math>| \Psi \rangle</math>를 연산자 <math>X</math>의 무한한 고유벡터들을 기저로 삼아 표현하면 아래와 같다.
-:<math>\left| \Psi \right> = a_5 \left| X=5 \right> + a_7 \left| X=7 \right> + a_{72.93} \left| X=72.93 \right> + \cdots</math> (where <math> a_x = \left< \Psi | X=x \right></math>)
+:<math>| \Psi \rangle = a_5 | X=5 \rangle + a_7 | X=7 \rangle + a_{72.93} | X=72.93 \rangle + \cdots</math> (where <math> a_x = \langle \Psi | X=x \rangle</math>)
 === 파동함수===
 *위의 표현과 동등하게 <math>(-\infty , \infty)</math>의 정의역을 갖고 그 함수값으로 <math>a_x</math>를 갖는 함수 <math>\Psi (x)</math>를 생각할 수 있다.
-:<math>\Psi (x) = \left< \Psi | X=x \right> = a_x</math> (흔히 이 함수가 파동함수의 형태를 갖기 때문에 파동함수라고 부름)
+:<math>\Psi (x) = \langle \Psi | X=x \rangle = a_x</math> (흔히 이 함수가 파동함수의 형태를 갖기 때문에 파동함수라고 부름)
 {{상자|내용=
-'''예. <math>\left| \Psi \right></math>를 파동함수 <math>\Psi (x)</math>로 번역하기'''
+'''예. <math>| \Psi \rangle</math>를 파동함수 <math>\Psi (x)</math>로 번역하기'''
-:<math>\left| \Psi \right> = \frac{1}{\sqrt 2} \left| X=1 \right> + \frac{1}{\sqrt 2} \left| X=-1 \right></math>를 <math>\Psi (x)</math>로 표현하면,
+:<math>| \Psi \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} | X=1 \rangle + \frac{1}{\sqrt 2} | X=-1 \rangle</math>를 <math>\Psi (x)</math>로 표현하면,
 :<math>\Psi (x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt2} \quad (x=1) \\  \frac{1}{\sqrt2} \quad (x=-1) \\ 0 \quad (x \neq 1 \& x \neq -1 ) \end{cases}</math>
 }}
-* <math>P(X=x_j ) = \left| \Psi (x_j ) \right)^2</math>
+* <math>P(X=x_j ) = | \Psi (x_j ) \right)^2</math>
 == 2개 이상의 입자로 구성된 계==
@@ 202번째 줄: / 202번째 줄: @@
 ===두 입자로 구성된 계의 상태벡터와 상태공간===
-번 입자의 상태벡터가 <math>\left| \Psi_a \right></math>, 2번 입자의 상태벡터가 <math>\left| \Psi_b \right></math>일 때, 입자쌍의 상태벡터는 보통 <math>\left| \Psi_a \right>_1 \left| \Psi_b \right>_2</math> 또는 <math>\left| \Psi_a^1 , \Psi_b^2 \right></math>로 표현된다.
+번 입자의 상태벡터가 <math>| \Psi_a \rangle</math>, 2번 입자의 상태벡터가 <math>| \Psi_b \rangle</math>일 때, 입자쌍의 상태벡터는 보통 <math>| \Psi_a \rangle_1 | \Psi_b \rangle_2</math> 또는 <math>| \Psi_a^1 , \Psi_b^2 \rangle</math>로 표현된다.
 번 입자와 2번 입자 각각의 상태가 N차원의 상태공간에서 기술될 때, 두 입자쌍의 상태는 새롭게 구성된 N<sup>2</sup>차원의 상태공간에서 기술된다. 이 때 새롭게 구성된 상태공간의 기저는 두 입자의 상태공간의 각 기저벡터들 간의 텐서곱에 의해 만들어지는 N<sup>2</sup>개의 직교단위벡터들에 의해 구성된다.
-새로운 기저벡터들 : <math>\left| \Psi_a^1 , \Psi_b^2 \right></math> for <math>i , j = 1 , 2, \cdots , N</math> (<math>\Psi_i</math>와 <math>\Psi_j</math>는 원래의 기저벡터들).
+새로운 기저벡터들 : <math>| \Psi_a^1 , \Psi_b^2 \rangle</math> for <math>i , j = 1 , 2, \cdots , N</math> (<math>\Psi_i</math>와 <math>\Psi_j</math>는 원래의 기저벡터들).
-: <math>\left< \Psi_i^1 , \Psi_j^2 \middle| \Psi_k^1 , \Psi_l^2 \right> =0</math> unless <math>i=k \text{  &  } j=k</math> (where <math>\left< \Psi_i^1 , \Psi_j^2 \middle| \Psi_k^1 , \Psi_l^2 \right> =\left< \Psi_i^1 \middle| \Psi_k^1 \right> \left< \Psi_j^2 \middle| \Psi_l^2 \right></math>)
+: <math>\langle \Psi_i^1 , \Psi_j^2 \middle| \Psi_k^1 , \Psi_l^2 \rangle =0</math> unless <math>i=k \text{  &  } j=k</math> (where <math>\langle \Psi_i^1 , \Psi_j^2 \middle| \Psi_k^1 , \Psi_l^2 \rangle =\langle \Psi_i^1 \middle| \Psi_k^1 \rangle \langle \Psi_j^2 \middle| \Psi_l^2 \rangle</math>)
 :즉, 새로운 기저벡터들간의 벡터곱(내적)은 원리적으로 0.
 이제 새로운 상태공간에서 두 입자로 구성된 계의 상태는 일반적으로 다음과 같이 표현된다.
-:<math>\left| \Psi^{1,2} \right> = a_{11} \left| \Psi_1^1 , \Psi_1^2 \right> + a_{12} \left| \Psi_1^1 , \Psi_2^2 \right> + \cdots + a_{ij} \left| \Psi_i^1 , \Psi_j^2 \right> + \cdots</math>
+:<math>| \Psi^{1,2} \rangle = a_{11} | \Psi_1^1 , \Psi_1^2 \rangle + a_{12} | \Psi_1^1 , \Psi_2^2 \rangle + \cdots + a_{ij} | \Psi_i^1 , \Psi_j^2 \rangle + \cdots</math>
-위의 일반적인 상태 <math>\left| \Psi^{1,2} \right></math>는 <math>\left| \Psi^1 \right> \left| \Psi^2 \right></math>의 꼴로 표현 가능한 상태와 표현 불가능한 상태로 나뉘어진다. 이는 아래의 분리가능성의 문제를 낳는다.
+위의 일반적인 상태 <math>| \Psi^{1,2} \rangle</math>는 <math>| \Psi^1 \rangle | \Psi^2 \rangle</math>의 꼴로 표현 가능한 상태와 표현 불가능한 상태로 나뉘어진다. 이는 아래의 분리가능성의 문제를 낳는다.
 ===분리 가능성과 분리 불가능성===
@@ 219번째 줄: / 219번째 줄: @@
 ==== 분리 불가능한 상태 ====
 두 입자의 상태가 아래와 같다고 해보자.
-:<math>\left| Q \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_1^1 , \Psi_1^2 \right> + \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_2^1 , \Psi_2^2 \right></math>
+:<math>| Q \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_1^1 , \Psi_1^2 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_2^1 , \Psi_2^2 \rangle</math>
 위의 상태벡터는
-:1번 입자의 상태 : <math>\left| Q^1 \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_1 \right> +  \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_2 \right></math>
+:1번 입자의 상태 : <math>| Q^1 \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_1 \rangle +  \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_2 \rangle</math>
-:2번 입자의 상태 : <math>\left| Q^2 \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_1 \right> +  \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_2 \right></math>
+:2번 입자의 상태 : <math>| Q^2 \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_1 \rangle +  \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_2 \rangle</math>
-로 분리될 수 없다. 두 입자의 상태 <math>\left| Q \right></math>를 보고, 1번 입자의 상태는 이러이러하고 2번 입자의 상태는 저러저러하다고 말할 수 없다. 두 입자의 상태 <math>\left| Q \right></math>가 <math>\left| Q^1 \right>\left| Q^2 \right></math>의 꼴로 표현될 수 없는 경우, 그 상태를 분리 불가능한 상태라고 한다.
+로 분리될 수 없다. 두 입자의 상태 <math>| Q \rangle</math>를 보고, 1번 입자의 상태는 이러이러하고 2번 입자의 상태는 저러저러하다고 말할 수 없다. 두 입자의 상태 <math>| Q \rangle</math>가 <math>| Q^1 \rangle| Q^2 \rangle</math>의 꼴로 표현될 수 없는 경우, 그 상태를 분리 불가능한 상태라고 한다.
 ==== 분리 가능한 상태 ====
 두 입자의 상태가 아래와 같다고 해보자.
-:<math>\left| Q \right> = \frac{1}{2} \left| \Psi_1^1 , \Psi_1^2 \right> + \frac{1}{2} \left| \Psi_2^1 , \Psi_1^2 \right> + \frac{1}{2} \left| \Psi_2^1 , \Psi_2^2 \right></math>
+:<math>| Q \rangle = \frac{1}{2} | \Psi_1^1 , \Psi_1^2 \rangle + \frac{1}{2} | \Psi_2^1 , \Psi_1^2 \rangle + \frac{1}{2} | \Psi_2^1 , \Psi_2^2 \rangle</math>
-위의 상태 <math>\left| Q \right></math>는 아래의 <math>\left| Q^1 \right></math>과 <math>\left| Q^2 \right></math>의 텐서곱 <math>\left| Q^1 \right> \left| Q^2 \right></math>로 정확히 표현된다.
+위의 상태 <math>| Q \rangle</math>는 아래의 <math>| Q^1 \rangle</math>과 <math>| Q^2 \rangle</math>의 텐서곱 <math>| Q^1 \rangle | Q^2 \rangle</math>로 정확히 표현된다.
-:<math>\left| Q^1 \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_1^1 \right> +  \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_2^1 \right></math>
+:<math>| Q^1 \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_1^1 \rangle +  \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_2^1 \rangle</math>
-:<math>\left| Q^2 \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_1^2 \right> +  \frac{1}{\sqrt2} \left| \Psi_2^2 \right></math>
+:<math>| Q^2 \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_1^2 \rangle +  \frac{1}{\sqrt2} | \Psi_2^2 \rangle</math>
-이 경우 우리는 1번 입자의 상태는 <math>\left| Q^1 \right></math>, 2번 입자의 상태는 <math>\left| Q^2 \right></math>라고 말할 수 있다.
+이 경우 우리는 1번 입자의 상태는 <math>| Q^1 \rangle</math>, 2번 입자의 상태는 <math>| Q^2 \rangle</math>라고 말할 수 있다.
-즉, 두 입자의 상태 <math>\left| Q \right></math>가 <math>\left| Q^1 \right> \left| Q^2 \right></math>의 꼴로 표현 가능한 경우, 그 상태를 분리 가능한 상태라고 한다.
+즉, 두 입자의 상태 <math>| Q \rangle</math>가 <math>| Q^1 \rangle | Q^2 \rangle</math>의 꼴로 표현 가능한 경우, 그 상태를 분리 가능한 상태라고 한다.
 ===측정===
-두입자의 상태 <math>\left| k \right></math>에서, 1번 입자의 속성 <math>A</math>의 측정값이 <math>a_i</math>이고 2번 입자의 속성 <math>B</math>의 측정값이 <math>b_j</math>일 확률은
+두입자의 상태 <math>| k \rangle</math>에서, 1번 입자의 속성 <math>A</math>의 측정값이 <math>a_i</math>이고 2번 입자의 속성 <math>B</math>의 측정값이 <math>b_j</math>일 확률은
-:<math>\left| \left< A^1 = a_i , B^2 = b_j | k \right> \right|^2</math>
+:<math>| \langle A^1 = a_i , B^2 = b_j | k \rangle |^2</math>
 만약, 1번 입자의 속성 <math>A</math>의 측정값이 <math>a_i</math>일 확률은
-:<math>\left| \left< A^1 = a_i , L^2 = l_1 | k \right> \right|^2 + \left| \left< A^1 = a_i , L^2 = l_2 | k \right> \right|^2 + \cdots + \left| \left< A^1 = a_i , L^2 = l_j | k \right> \right|^2 + \cdots</math>
+:<math>| \langle A^1 = a_i , L^2 = l_1 | k \rangle |^2 + | \langle A^1 = a_i , L^2 = l_2 | k \rangle |^2 + \cdots + | \langle A^1 = a_i , L^2 = l_j | k \rangle |^2 + \cdots</math>
 ===4) 붕괴===
 실제로 1번 입자의 속성 <math>A</math>를 측정하여 <math>a_5</math>가 측정됐다면, 측정직후의 상태는 어떻게 될까?
-:원래상태 :	<math>\left| k \right> = \sum_{i, j} d_{ij} \left| A^1 = a_i , B^2 = b_j \right></math>
+:원래상태 :	<math>| k \rangle = \sum_{i, j} d_{ij} | A^1 = a_i , B^2 = b_j \rangle</math>
-:측정 후 : <math>\left| k' \right> = \alpha \sum_{j} d_{5j} \left| A^1 = a_5 , B^2 = b_j \right></math> (where <math>\alpha = \frac{1}{\sum_j d_{5j}}</math>)
+:측정 후 : <math>| k' \rangle = \alpha \sum_{j} d_{5j} | A^1 = a_5 , B^2 = b_j \rangle</math> (where <math>\alpha = \frac{1}{\sum_j d_{5j}}</math>)
 {{상자|내용=
 '''예. 측정 시 벌어지는 붕괴'''
-:<math>\left| k \right> = \frac{1}{\sqrt3} \left| A^1 = a_1 , B^2 = b_2 \right> + \frac{1}{\sqrt3} \left| A^1 = a_1 , B^2 = b_{27} \right> + \frac{1}{\sqrt3} \left| A^1 = a_8 , B^2 = b_{38} \right></math>일 때,
+:<math>| k \rangle = \frac{1}{\sqrt3} | A^1 = a_1 , B^2 = b_2 \rangle + \frac{1}{\sqrt3} | A^1 = a_1 , B^2 = b_{27} \rangle + \frac{1}{\sqrt3} | A^1 = a_8 , B^2 = b_{38} \rangle</math>일 때,
 :1번 입자의 속성 <math>A</math>의 측정값이 <math>a_1</math>라고 하자. 이 때, 측정후의 상태는 아래와 같이 붕괴한다.
-:<math>\left| k \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| A^1 = a_1 , B^2 = b_2 \right> + \frac{1}{\sqrt2} \left| A^1 = a_1 , B^2 = b_{27} \right></math>
+:<math>| k \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | A^1 = a_1 , B^2 = b_2 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | A^1 = a_1 , B^2 = b_{27} \rangle</math>
 }}
@@ 266번째 줄: / 266번째 줄: @@
 {{상자|내용=
 '''예1. 3차원 좌표공간에서 자유롭게 움직이며 스핀값을 가지는 전자 하나로 구성된 계의 상태공간'''
-:<math>\{ \left| SPIN = spin_i \right> \left| \Psi_x = x_j \right> \left| \Psi_y = y_k \right> \left| \Psi_z = z_l \right> : i=1 \text{ or } 2, \; j, k, l \in {\mathbb R} \}</math>
+:<math>\{ | SPIN = spin_i \rangle | \Psi_x = x_j \rangle | \Psi_y = y_k \rangle | \Psi_z = z_l \rangle : i=1 \text{ or } 2, \; j, k, l \in {\mathbb R} \}</math>
 '''예2. 위의 상태공간에서의 일반적인 상태벡터 표현'''
-:<math>\left| Q \right> = \sum_{i,j,k,l} a_{ijkl} \left| SPIN = spin_i \right> \left| \Psi_x = x_j \right> \left| \Psi_y = y_k \right> \left| \Psi_z = z_l \right> </math>
+:<math>| Q \rangle = \sum_{i,j,k,l} a_{ijkl} | SPIN = spin_i \rangle | \Psi_x = x_j \rangle | \Psi_y = y_k \rangle | \Psi_z = z_l \rangle </math>
 }}
@@ 278번째 줄: / 278번째 줄: @@
 [[그림:양자역학과 경험, 그림 2.8.png|그림 2.8. 두-경로 실험에 대한 표준 해석|thumb]]'''<math>t_1</math> 에서의 상태'''
 :<math>\begin{split}
-\left| Q_{t_1} \right>&= \left| white, X=x_1 , Y=y_1 \right> \\
+| Q_{t_1} \rangle&= | white, X=x_1 , Y=y_1 \rangle \\
-& = \frac{1}{\sqrt {2}} \left| hard \right> \left| X=x_{1} ,Y=y _{1} \right>+\frac{1}{\sqrt {2}} \left| soft \right> \left| X=x _{1} , Y=y _{1} \right> \\
+& = \frac{1}{\sqrt {2}} | hard \rangle | X=x_{1} ,Y=y _{1} \rangle+\frac{1}{\sqrt {2}} | soft \rangle | X=x _{1} , Y=y _{1} \rangle \\
-& = \frac{1}{\sqrt {2}} \left| a \right>+ \frac{1}{\sqrt {2}} \left| b \right>
+& = \frac{1}{\sqrt {2}} | a \rangle+ \frac{1}{\sqrt {2}} | b \rangle
 \end{split}
 </math>
 '''<math>t_2</math> 에서의 상태'''
-: <math>\left| Q_{t_2} \right> = \frac{1}{\sqrt {2}} \left| hard \right> \left| X=x_{2} ,Y=y _{2} \right>+\frac{1}{\sqrt {2}} \left| soft \right> \left| X=x _{3} , Y=y _{1} \right></math>
+: <math>| Q_{t_2} \rangle = \frac{1}{\sqrt {2}} | hard \rangle | X=x_{2} ,Y=y _{2} \rangle+\frac{1}{\sqrt {2}} | soft \rangle | X=x _{3} , Y=y _{1} \rangle</math>
 :<math>t_2</math>의 시점에서, 전자가 두 경로 중 어디에 있느냐고 묻는 것 자체가 의미 없는 질문이다. <math>t_2</math>에서의 전자의 상태는 두 상태의 중첩으로 표현될 뿐이다.
 '''<math>t_4</math> 에서의 상태'''
 : <math>\begin{split}
-\left| Q_{t_2} \right> & = \frac{1}{\sqrt {2}} \left| hard \right> \left| X=x_{5} ,Y=y _{4} \right>+\frac{1}{\sqrt {2}} \left| soft \right> \left| X=x _{5} , Y=y _{4} \right> \\
+| Q_{t_2} \rangle & = \frac{1}{\sqrt {2}} | hard \rangle | X=x_{5} ,Y=y _{4} \rangle+\frac{1}{\sqrt {2}} | soft \rangle | X=x _{5} , Y=y _{4} \rangle \\
-& =  \frac{1}{\sqrt {2}} ( \left| hard \right> - \left| soft \right> ) \left| X=x_{5} ,Y=y _{4} \right> \\
+& =  \frac{1}{\sqrt {2}} ( | hard \rangle - | soft \rangle ) | X=x_{5} ,Y=y _{4} \rangle \\
-& = \left| white, X=x_5 , Y=y_4 \right>
+& = | white, X=x_5 , Y=y_4 \rangle
 \end{split}
 </math>
@@ 299번째 줄: / 299번째 줄: @@
 만약 <math>t_2</math>에서 전자의 위치를 측정한다면, 중첩상태는 사라지고, 아래처럼 둘 중 하나의 상태로 붕괴한다.
-:<math>\left| hard \right> \left| X=x_2 , Y=y_2 \right> \text{ or } \left| soft \right> \left| X=x_3 , Y=y_1 \right> </math>
+:<math>| hard \rangle | X=x_2 , Y=y_2 \rangle \text{ or } | soft \rangle | X=x_3 , Y=y_1 \rangle </math>
 둘 중 하나가 관측될 확률은 1/2이며, 이대로 가면 <math>t_4</math>에서의 상태는 아래의 두 상태 중 하나가 된다.
-:<math>\left| Q_{t_4} \right> = \left| hard , X=x_5 , Y=y_4 \right> \text{ or } \left| soft , X=x_5 , Y=y_4 \right> </math>
+:<math>| Q_{t_4} \rangle = | hard , X=x_5 , Y=y_4 \rangle \text{ or } | soft , X=x_5 , Y=y_4 \rangle </math>
 따라서 <math>t_4</math> 시점에 색깔을 측정하면 검은색과 흰색이 반반씩 측정된다.
@@ 309번째 줄: / 309번째 줄: @@
 만약, 경로 <math>y_1 , x_3 </math>에 함정을 설치하면, <math>t_4</math>에서의 상태는 아래와 같다.
-:<math> \left| Q_{t_4} \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| hard \right> \left| X=x_5 , y=y_4 \right> + \frac{1}{\sqrt2} \left| soft \right> \left| X=x_3 , y=y_1 \right></math>
+:<math> | Q_{t_4} \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | hard \rangle | X=x_5 , y=y_4 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | soft \rangle | X=x_3 , y=y_1 \rangle</math>
 따라서 <math>t_4</math>에 <math>(x_5 , y_4 )</math>지점에서 전자가 검출될 확률은 1/2이며, 그 때의 전자는 단단한 전자일 것이다. 따라서 그 지점에서 색깔을 측정하면 검은색과 흰색이 반반씩 측정될 것이다.
@@ 315번째 줄: / 315번째 줄: @@
 ===아무것도 아닌(total-of-nothing) 상자의 효과===
-상자의 구현 : 상태 <math>\left| A \right></math>의 입자가 들어오면 <math>- \left| A \right></math>의 상태로 바꾸어 내보내는 방식으로 구현한다.
+상자의 구현 : 상태 <math>| A \rangle</math>의 입자가 들어오면 <math>- | A \rangle</math>의 상태로 바꾸어 내보내는 방식으로 구현한다.
 보통의 경우, 입자의 관측가능속성은 하나도 바뀌지 않는다. 그러나, 위의 실험에서 중첩상태 중 한 경로에만 상자를 설치하면, 재밌는 변화가 일어난다. 예를 들어, 경로 <math>(x_{3.5} , y_1 )</math>에 이 상자를 설치하면 <math>t_3 </math>에서의 상태는 아래와 같이 된다.
-:<math>\left| Q_{t_3} \right> = \frac{1}{\sqrt2} \left| hard \right> \left| X=x_3 , Y=y_3 \right> + \frac{1}{\sqrt2} \left| soft \right> \left| X=x_4 , Y=y_2 \right></math>
+:<math>| Q_{t_3} \rangle = \frac{1}{\sqrt2} | hard \rangle | X=x_3 , Y=y_3 \rangle + \frac{1}{\sqrt2} | soft \rangle | X=x_4 , Y=y_2 \rangle</math>
 그리고 <math>t_4</math>에 이르렀을 때 그 상태는
 :<math>\begin{split}
-\left| Q_{t_4} \right> &= \frac{1}{\sqrt2} ( \left| hard \right> + \left| soft \right> ) \left| X=x_5 , Y=y_4 \right>\\
+| Q_{t_4} \rangle &= \frac{1}{\sqrt2} ( | hard \rangle + | soft \rangle ) | X=x_5 , Y=y_4 \rangle\\
-&= \left| black , X=x_5 , Y=y_5 \right>
+&= | black , X=x_5 , Y=y_5 \rangle
 \end{split}
 </math>