에테르와 상대성 이론

지구의 절대 운동 탐지 실패와 에테르

19세기 물리학자인 마이켈슨과 몰리는 지구의 절대 운동에 따른 효과를 탐지하고자 했다. 그들이 가정한 에테르 이론에 따르면, 우주는 ‘에테르’라는 매질로 가득 채워져 있으며, 빛은 에테르의 진동을 통해 전달되는 파동이다. 또한 에테르는 절대 공간에 고정되어 있기에 운동의 절대적 기준이 된다고 가정되었다. 그렇다면 에테르를 기준으로 관찰자-광원-거울이 함께 $v$의 속도로 운동 중인 그림 1의 시스템을 상상해 보자.

그림 1. 에테르에 대해 v의 속도로 함께 운동 중인 관찰자-광원-거울 시스템

파동인 빛의 전파 속도는 에테르에 대해 $c$로 일정하므로, 에테르에 대해 정지한 관찰자 2에게 빛의 속도는 $c$로 일정하다. 따라서 A(광원)에서 출발한 빛은 ${\frac {L}{c-v}}$의 시간 동안 ${\frac {L}{1-v/c}}$의 거리를 이동하여 B(거울)에 도달하고, B에서 반사된 빛은 ${\frac {L}{c+v}}$의 시간 동안 ${\frac {L}{1+v/c}}$의 거리를 이동하여 A(관찰자)에 도달한다. 이를 운동 중인 시스템 내의 관찰자 1의 관점에서 보면, 빛은 A에서 B까지 $c-v$의 속도로 거리 $L$을 이동하고, B에서 A까지 $c+v$의 속도로 다시 거리 $L$을 이동한다. 즉 그에게 빛이 AB를 왕복하는 평균 속도는 빛의 이동 거리 $2L$을 이동 시간 ${\frac {L}{c-v}}+{\frac {L}{c+v}}$, 즉 ${\frac {2L}{c\{1-(v/c)^{2}\}}}$로 나눈 값인 $c\{1-(v/c)^{2}\}$으로, 이를 실험을 통해 측정한다면 에테르에 대한 시스템의 속도인 $v$의 값에 따라 달라져야 한다. 그런데 지구는 자전과 공전을 하므로, 에테르를 기준으로 한 지표면의 운동은 1일 및 1년 주기의 변화를 겪을 것이고, 따라서 지구상에서 측정되는 빛의 평균 속도 역시 주기적으로 달라질 것이다. 그러나 그러한 주기적 변화는 어떠한 측정 장치로도 탐지되지 않았다.

결국 에테르 이론에 기초하여 지구의 절대 운동을 탐지하려는 마이켈슨과 몰리의 계획은 실패했다. 대다수의 과학자들은 여전히 에테르 이론에 기초하여 왜 빛의 속도가 관찰자의 운동과 무관하게 일정한 것처럼 측정되는지를 설명하기 위해 노력했다. 그러나 아인슈타인은 에테르가 없기에 에테르에 대한 관찰자의 운동은 어떠한 방법으로도 탐지될 수 없다고 생각했다. 그는 관찰자의 운동과 무관하게 빛의 속도가 $c$로 언제나 일정하다는 광속 불변의 원리를 참으로 전제한 후, 관찰자에 따라 시간이 다르게 흐를 수 있다고 주장했다. 나의 1초는 다른 누군가의 1초와 다를 수 있다는 것이다.

고전 전자기학의 비대칭성과 에테르

그림 2. 에테르에 대해 (a) 도선이 고정된 채 자석이 접근하는 경우와 (b) 자석이 고정된 채 도선이 접근하는 경우

아인슈타인은 일찍이 고전 전자기학의 비대칭적 성격으로부터 에테르의 필요성을 의심하고 있었다. 고전 전자기학에 따르면, 전기장과 자기장은 에테르라는 매질의 서로 다른 상태들로, 자기장의 변화는 전기장을 낳으며, 전기장은 그곳에 놓인 도선에 전류를 흐르게 만든다. 그래서 그림 2a처럼 에테르에 대해 고정된 도선에 자석을 접근시키면 도선에 전류가 유도되는 것이다. 그런데 고전 전자기학에 따르면, 고정된 자기장 하에서 움직이는 전하는 특정한 방향의 힘을 받아 운동하게 된다. 그래서 그림 2b처럼 에테르에 대해 고정된 자석에 도선을 접근시키면 도선 속 전하들이 힘을 받아 전류가 유도되는 것이다. 결국 고전 전자기학은 그림 2의 두 현상을 서로 다른 에테르의 상태에서 비롯된 별개의 현상처럼 기술한다. 그림 2a에서는 전기장이 존재하는 반면 그림 2b에서는 전기장이 존재하지 않기 때문이다. 그러나 두 현상은 관찰을 통해 구분될 수 없다. 아인슈타인이 보기에, 두 현상은 자석과 도선의 상대적인 운동에 의해 회로에 전류가 유도되는 완벽하게 동일한 현상으로, 둘을 다른 현상처럼 기술하는 것은 에테르라는 고정된 매질을 가정함으로써 발생하는 착각인 것이다.

그렇다면 두 현상은 어떻게 동일한 방식으로 이해될 수 있을까? 아인슈타인에 따르면 자연에 실재하는 것은 전기장이나 자기장이 아니라 전자기장이며, 특정한 상태의 전자기장은 관찰자의 운동에 따라 전기장 성분과 자기장 성분으로 다르게 분해되어 관찰된다. 그래서 자석과 도선의 상대적인 운동에 의해 전류가 유도되는 동일한 현상은 서로 다른 관찰자에게 서로 다른 방식으로 관찰될 뿐이다. 즉 도선에 대해 정지해 있는 관찰자에게는 그림 2a에 대한 고전 전자기학의 기술처럼 전기장 성분이 탐지되고, 자석에 대해 정지해 있는 관찰자에게는 그림 2b에 대한 고전 전자기학의 기술처럼 전기장 성분이 탐지되지 않을 뿐, 전자기장의 측면에서는 동일한 일이 벌어진 것으로 이해될 수 있다는 것이다. 이러한 이해 방식에서는 전기장과 자기장을 관찰자와 무관한 방식으로 기술하기 위해 가정해야 했던 에테르라는 존재는 불필요해진다.

연습문제

문제 1

버스 안에는 갑이 타고 있으며, 버스 밖에는 을이 서 있다. 버스의 높이는 갑과 을 모두에게 $L$로 측정되며, 버스의 길이는 갑에게 $2L$로 측정되었다. 한편 을이 측정하기에 버스는 오른쪽으로 $v$의 속도로 운동 중이다(단 $v$는 0보다 크다). 이제 버스의 중앙 상단(C)에 위치한 광원에서 빛이 사방으로 출발했다고 하자.

버스 안에는 갑이 타고 있으며, 버스 밖에는 을이 서 있다. 버스의 높이는 갑과 을 모두에게 $L$로 측정되며, 버스의 길이는 갑에게 $2L$로 측정되었다. 한편 을이 측정하기에 버스는 오른쪽으로 $v$의 속도로 운동 중이다(단 $v$는 $0$보다 크다). 이제 버스의 중앙 상단(C)에 위치한 광원에서 빛이 사방으로 출발했다고 하자.

한편, 어떠한 관찰자에게든 시간은 그 관찰자와의 거리가 고정되어 있는 두 지점을 빛이 왕복한 횟수를 통해 측정된다. 즉 각 관찰자에게 시간은 각자가 가지고 있는 동일한 규격의 빛 왕복 시계를 통해 측정된다고 할 수 있는데, 편의상 시계 속의 빛이 위아래를 1회 왕복하는 시간을 ‘1똑딱’이라고 정의하자. 아인슈타인이 이 상황을 이해한 것으로 가장 적절한 것은?

1. 갑이 보기에 빛은 B보다 A에 빨리 도착하겠군.
2. 을이 보기에 빛은 A와 B에 동시에 도착하겠군.
3. 갑이 보기에 을의 1똑딱은 자신의 1똑딱보다 짧겠군.
4. 을이 보기에 갑의 1똑딱은 자신의 1똑딱보다 길겠군.
5. 을이 보기에 빛이 D에 도달하는 시간은 1똑딱이겠군.

정답 해설

• 정답 : 4번(을이 보기에 갑의 1똑딱은 자신의 1똑딱보다 길겠군). 을이 보기에 갑의 시계는 오른쪽으로 움직이고 있다. 따라서 을이 보기에, 갑의 시계 속 빛은 자신의 시계의 위아래 간격인 $0.5L$의 거리를 왕복하는 것이 아니라 비스듬한 길을 따라 그보다 더 긴 거리를 이동해야 1회 왕복할 수 있다. 그런데 아인슈타인에 의하면, 빛의 속도는 누구에게나 항상 $c$로 일정하고, 문제의 설명에 의하면 시간은 각자의 빛 왕복 시계로 측정된다. 따라서 을이 보기에 갑의 1똑딱(갑의 시계가 1회 왕복하는 데 걸리는 시간)은 을의 1똑딱(을의 시계가 1회 왕복하는 데 걸리는 시간)보다 길다. 즉 이는 갑의 시계가 을의 시계보다 느리게 감으로써, 두 관찰자의 시간이 다른 속도로 흐름을 말한다.

오답 해설

• 1번. 아인슈타인에 의하면, 빛의 속도는 관찰자의 운동과 무관하게 언제나 $c$이다. 따라서 갑이 보기에 C에서 출발한 빛은 어느 방향으로든 $c$의 속도로 전파되며, 빛은 A와 B에 동시에 도착한다.
• 2번. 아인슈타인에 의하면, 빛의 속도는 관찰자의 운동과 무관하게 언제나 $c$이다. 그런데 을이 보기에 버스는 운동 중이다. 따라서 을이 보기에, 양쪽 방향으로 동일한 속도로 운동하는 빛은 점점 멀어지는 B보다 다가오는 A에 먼저 도착한다. 결국, 갑과 을은 서로 다른 위치인 A와 B에서 일어나는 사건의 동시성에 대해 서로 다른 판단을 할 수 있다. 빛이 A에 도착하는 사건과 B에 도착하는 사건은 갑에게 동시에 일어나지만, 을에게는 동시에 일어나지 않는다.
• 3번. 갑이 보기에 을의 시계는 왼쪽으로 움직이고 있다. 따라서 갑이 보기에, 을의 시계 속 빛은 자신의 시계의 위아래 간격인 $0.5L$의 거리를 왕복하는 것이 아니라 비스듬한 길을 따라 그보다 더 긴 거리를 이동해야 1회 왕복할 수 있다. 그런데 아인슈타인에 의하면, 빛의 속도는 누구에게나 항상 $c$로 일정하고, 문제의 설명에 따르면 시간은 각자의 빛 왕복 시계로 측정된다. 따라서 갑이 보기에 을의 1똑딱(을의 시계가 1회 왕복하는 데 걸리는 시간)은 갑의 1똑딱(갑의 시계가 1회 왕복하는 데 걸리는 시간)보다 길다. 즉 이는 을의 시계가 갑의 시계보다 느리게 감으로써, 두 관찰자의 시간이 다른 속도로 흐름을 말한다. 이러한 모든 분석은 정답이 되는 4번 선지와 정확히 대칭적이며, 이에 따르면, 어떠한 관찰자가 보든, 자신의 입장에서 운동 중인 대상의 시간은 자신의 시간보다 느리게 흐른다.
• 5번. 을이 보기에 버스는 오른쪽으로 움직이고 있다. 따라서 을이 보기에, C에서 출발한 빛이 D에 도착하려면 비스듬한 길을 따라 $L$보다 더 긴 거리를 이동해야 한다. 그런데 아인슈타인에 의하면, 빛의 속도는 누구에게나 항상 $c$로 일정하고, 문제의 설명에 의하면 시간은 각자의 빛 왕복 시계로 측정된다. 따라서 을이 보기에 빛이 D에 도달하는 데 걸리는 시간은 자신의 시계 속 빛이 $0.5L$의 간격을 왕복하는 데 (즉 $L$의 거리를 이동하는 데) 걸리는 시간인 1똑딱보다 길다.

심화 이해 1 : 시간 지연

을에게 자신의 시계의 1똑딱($T$)은 위아래를 왕복하는 시간인 반면, 을이 보기에 갑의 시계는 $v$의 속도로 오른쪽으로 운동 중이며, 따라서 갑의 시계의 1똑딱($t$)은 빛이 $c$의 속도로 비스듬한 경로를 따라 왕복하는 시간이 된다.

관찰자 을에게 자신의 시계의 1똑딱(T)은 빛이 $c$의 속도로 총 $L$의 거리를 움직이는 데 걸리는 시간으로, 아래와 같이 결정된다.

$T={\frac {L}{c}}$

반면 관찰자 을에게, 갑의 시계는 $v$의 속도로 오른쪽으로 운동 중이며, 따라서 갑의 시계의 1똑딱($t$)은 빛이 $c$의 속도로 비스듬한 경로를 따라 왕복하는 시간이 되며, 시계_갑의 1똑딱 $t$, 관찰자 을에 대한 시계의 속도 $v$, 빛의 속도 $c$ 사이에는 아래와 같은 간단한 관계가 성립한다.

$(ct/2)^{2}=(vt/2)^{2}+(L/2)^{2}$ (피타고라스의 정리에 의해)

이를 정리하면

$(c^{2}-v^{2})t^{2}=L^{2}$

이 되고, 시계_갑의 1똑딱 $t$는 아래와 같이 정리된다.

${\begin{aligned}t&={\frac {1}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}L\\&={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}{\frac {L}{c}}\\&={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}T\end{aligned}}$

이에 따르면, 시계_갑의 1똑딱 $t$는 관찰자 을에 대한 시계의 속도 $v$가 증가할수록 함께 증가한다.

심화 이해 2 : 길이 수축

문제의 고찰에 따르면 다른 지점에서 일어나는 사건들의 동시성은 관찰자에 따라 달라질 수 있다. 예컨대 빛이 A에 도달하는 사건과 B에 도달하는 사건은 갑에게는 동시적인 반면, 을에게는 동시적이지 않다. 그렇다고 아인슈타인이 모든 동시성을 관찰자 의존적인 것으로 생각한 것은 아니다. 적어도 관찰자에 의존하지 않는 동시성도 있는데, 그것은 바로 한 지점에서 일어나는 사건들의 동시성이다. 예를 들어, C에서 출발한 빛이 각각 A, B, D에 반사되어 돌아와 C에서 다시 만나는 사건은 분명히 갑에게 동시적인 사건이며, 그렇다면 그것은 을에게도 동시적인 사건이어야 한다. 그런데 을의 입장에서 C에서 출발한 빛이 D에서 반사되어 돌아오는 시간은 $2t$, 즉, $2{\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}T$이다.

그런데 을의 입장에서 여전히 버스의 길이가 여전히 $2L$이라면, C에서 출발한 빛이 B에서 반사되어 돌아오는 시간은 아래와 같이 계산된다.

C에서 D까지의 경로 : $ct_{1}=L+vt_{1}$. 따라서 $t_{1}=L/(c-v)$

D에서 C까지의 경로 : $ct_{2}=L-vt_{2}$. 따라서 $t_{2}=L/(c+v)$

전체 시간 $t_{1}+t_{2}=L/(c-v)+L/(c+v)={\frac {2cL}{c^{2}-v^{2}}}=2{\frac {1}{1-(v/c)^{2}}}{\frac {L}{c}}=2{\frac {1}{1-(v/c)^{2}}}T$

그런데 이 시간은 빛이 D를 거쳐 돌아오는 시간과 같지 않다. 즉,

$2{\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}T\neq 2{\frac {1}{1-(v/c)^{2}}}T$

을의 입장에서 버스의 높이는 $L$로 그대로이지만, 버스가 움직이는 방향의 길이는 $2l$로 변화한다고 가정하자. 버스 안에 있는 갑의 입장에서 D에서 반사되어 돌아오는 빛과 B에서 반사되어 돌아오는 빛이 동시에 만난다면, 버스 밖의 관찰자 을의 입장에서도 두 빛으 동시에 만나야 한다. 이를 기준 삼아, 버스의 길이 변화를 유도할 수 있다.

아인슈타인의 해법은 관찰자 을의 입장에서 움직이는 버스의 길이가 정지해 있을 때의 길이와 달라진다는 것이다. $v$의 속도로 움직이는 버스의 길이가 $2L$ 대신 $2l$이 된다고 가정하면, C에서 출발한 빛이 B에서 반사되어 돌아오는 시간은 아래와 같이 계산된다.

C에서 D까지의 경로 : $ct_{1}=l+vt_{1}$. 따라서 $t_{1}=l/(c-v)$

D에서 C까지의 경로 : $ct_{2}=l-vt_{2}$. 따라서 $t_{2}=l/(c+v)$

전체 시간 $t_{1}+t_{2}=l/(c-v)+l/(c+v)=2{\frac {1}{1-(v/c)^{2}}}{\frac {l}{c}}$

이제 이 시간은 빛이 D를 거쳐 돌아오는 시간 $2{\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}T$와 같아야 한다. 즉,

${\begin{aligned}2{\frac {1}{1-(v/c)^{2}}}{\frac {l}{c}}&=2{\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}T\\&=2{\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}{\frac {L}{c}}\end{aligned}}$

이를 정리하면,

$l={\sqrt {1-(v/c)^{2}}}L$

이에 따르면, 관찰자 을에게 움직이는 버스의 길이는 그 속도 $v$가 증가할수록 줄어든다.

문제 2

(가)와 (나)에서 자석과 도선은 서로 가까워지고 있는 중이며, (가)의 관찰자는 도선이 다가오고 있는 것을 관찰 중이며, (나)의 관찰자는 자석이 다가오는 것을 관찰 중이다. 그러나 그들은 도선과 자석이 절대 공간에 대해 실제로 어떠한 운동 중인지는 알지 못한다.

(가)와 (나)에서 자석과 도선은 서로 가까워지고 있는 중이며, (가)의 관찰자는 도선이 다가오고 있는 것을 관찰 중이며, (나)의 관찰자는 자석이 다가오는 것을 관찰 중이다. 그러나 그들은 도선과 자석이 절대 공간에 대해 실제로 어떠한 운동 중인지는 알지 못한다. 이 상황에 대해 아인슈타인이 이해한 방식으로 가장 적절한 것은?

1. 고전 전자기학의 입장에서는 (가)와 (나)에서 실제로 벌어지는 일을 완전하게 기술할 수 없다.
2. 고전 전자기학의 입장에서, (가)의 도선에는 전기장이 형성되지만, (나)의 도선에는 전기장이 형성되지 않는다.
3. 고전 전자기학의 입장에서, (가)에서는 도선에 전류가 유도되지만 (나)에서는 도선에 전류가 유도되지 않는다.
4. 아인슈타인의 입장에서, (가)와 (나)에서 발견되는 자석과 도선의 상호 작용은 서로 다른 종류의 현상이다.
5. 아인슈타인의 입장에서, (가)의 관찰자는 전기장을 탐지하지만, (나)의 관찰자는 전기장을 탐지하지 못한다.

정답 해설

• 정답 : 1번. 고전 전자기학의 입장에서 문제의 현상들을 완전하게 기술하려면, 자석과 도선이 에테르에 대해 어떠한 운동 상태인지를 알아야 한다. 그러나 문제에는 그러한 정보가 주어지지 않은 채 서로 다른 관찰 시점만을 제공하기 있기 때문에, 고전 전자기학의 입장에서는 (가)와 (나)에서 실제로 벌어지는 일을 완전하게 기술할 수 없다.

오답 해설

• 2번. 고전 전자기학의 입장에서 문제의 현상들을 완전하게 기술하려면, 자석과 도선이 에테르에 대해 어떠한 운동 상태인지를 알아야 한다. 그러나 문제에는 그러한 정보가 주어지지 않은 채 서로 다른 관찰 시점만을 제공하기 있기 때문에, (가)와 (나) 중 어느 상황에서 전기장이 형성되었는지 알 수 없다.
• 3번. (가)와 (나)는 모두 자석과 도선이 서로를 향해 접근 중인 상황으로, 도선에 전류가 유도되는 현상이다. 고전 전자기학은 에테르에 대해 정지한 것이 무엇이고 운동 중인 것이 무엇인지에 따라 그에 대한 설명을 달리 할 뿐, 도선에 전류가 유도된다는 동일한 관찰 귀결은 부정하지 않는다.
• 4번. 아인슈타인에 의하면, (가)와 (나)는 모두 자석과 도선의 상대적인 운동에 의해 전류가 유도되는 동일한 현상이다.
• 5번. 아인슈타인에 의하면, 도선에 대해 정지해 있는 관찰자에게는 전기장 성분이 탐지되고, 자석에 대해 정지해 있는 관찰자에게는 전기장 성분이 탐지되지 않는다. 도선에 대해 정지해 있는 관찰자는 (나)의 관찰자이고, 자석에 대해 정지해 있는 관찰자는 (가)의 관찰자이므로, (가)의 관찰자는 전기장을 탐지지 못하지만, (나)의 관찰자는 전기장을 탐지한다.

관련 항목

• 공간이란 무엇인가
• 아인슈타인의 시계들: 시간의 장소