기호논리학/기본 개념

벤슨 메이츠, 『기호논리학』 (문예출판사, 1995), 1장.

논리학은 무엇에 관한 학문인가

• 논리학은 타당한 논변의 전제들과 결론 사이에 성립하는 귀결 관계를 탐구한다.
• 한 논변은 그 논변의 결론이 그 전제들로부터 따라나오거나 전제들의 귀결일 경우 타당하다라고 말해진다. 그렇지 않을 경우 그 논변은 부당하다.
• 주어진 논변이 타당한가의 문제는 전제들과 결론이 의미하는 바를 명료하게 이해하더라도 답하기 어려울 수 있다는 데 주의할 것.

타당성과 참

• 논변이란, 결론이라 불리는 한 서술문과 전제들이라 불리는 다른 서술문들로 구성된 (단일 언어에 속한) 서술문들의 한 체계이다.
• 전제들의 수가 무한한 경우와 전제들의 수가 0인 경우는?
• 서술문은 문장의 일종으로, 참이거나 거짓임.
• 논변의 타당성 기준의 다양한 표현들
  • 논변은 그것의 전제들이 참이면서 그것의 결론이 거짓인 것이 가능하지 않을 경우에 그리고 오직 그 경우에만 타당하다.
  • 논변이 타당하다 = 만일 전제들이 참이라면 결론이 참이어야 한다.
  • 논변은 그 논변의 전제들이 참인 상상가능한 모든 상황하에서 결론이 참일 경우에 그리고 오직 그 경우에만 타당하다.
• 거짓 전제들과/이나 거짓 결론을 가진 타당한 논변도 존재한다는 데 주의할 것.
• 타당한 논변에서 일어날 수 없는 진리치의 유일한 조합은 전제들이 참이고 결론이 거짓인 경우뿐임!
• 반면 부당한 논변은 진리치의 모든 조합에서 발생할 수 있음.
• 즉, 논변의 타당성은 단순히 전제들과 결론의 진리치가 무엇이냐에 의존하는 것이 아니다. 타당성은 오직 만일 전제들이 참이라면 결론도 역시 참이라는 것을 보장할 뿐이다.

타당성과 필연적 참

• 필연적 참을 이용해 정의된 논변의 타당성 : 유한한 수의 전제들을 가진 논변은 그 논변에 상응하는 조건문이 필연적으로 참일 경우에 오직 그 경우에만 타당하다.
  • 상응하는 조건문이란? 전제 A와 결론 B로 구성된 논변에 상응하는 조건문은 "만약 A라면, B이다."임.
• 상상가능성을 이용해 정의된 문장의 필연적 참 : (서술)문장은 그것이 거짓인 상황을 상상할 수 없을 경우에 오직 그 경우에만 필연적으로 참이다.
• 부당한 논변 개념을 통해 정의된 문장의 필연적 참 : 문장은 그 자신을 결론으로 갖는 부당한 논변이 존재하지 않을 경우에 그리고 오직 그 경우에만 필연적으로 참이다. (필연적으로 참인 문장은 모든 전제 집합의 귀결이며, 모든 전제 집합의 귀결인 어떠한 문장도 필연적으로 참이다.)
  • 예 : “소크라테스는 기원전 399년에 죽었거나 소크라테스는 기원전 399년에 죽지 않았다.”라는 문장은 “잔디는 녹색이다.”라는 전제의 귀결이다.
• 타당한 논변과 증명의 관계 : 타당한 논변과 증명은 서로 동일시 될 수 없다. 수학적 참들은 필연적 참의 모범 사례로 간주되지만(즉, 그 문장을 결론으로 가지는 부당한 논변이 존재하지 않는다), 그것의 증명을 찾는 일은 타당한 논변을 만들어낸 일보다 더 많은 일과 관련되어 있다.

라이프니츠의 가능세계

• 참 : 현실세계에서 참
• 필연적 참 : 모든 가능세계에서 참 (e.g., 수학이나 논리학에서의 참)
• 우연적 참 : 현실세계에서는 참이지만 모든 가능세계에서 참인 것은 아님 (e.g., 과학 법칙들)
• 상상가능성(conceivability)을 통해 정의된 문장의 필연적 참 : 문장이 주장하는 바의 정반대 상황이 상상될 수 없다면 그 문장은 필연적 참이다.
  • '비심리적' 의미의 상상가능성 : 한 사태는 그 사태가 존재한다는 가정으로부터 어떠한 모순도 따라나오지 않는다면 상상가능하다.

순환

우리는 여기서 하나의 순환에 빠지게 된다. 논리적 귀결로부터 출발하여 필연성, 가능성, 상상가능성을 거쳐 다시 논리적 귀결로 되돌아왔기 때문이다. 그러나 비형식적 설명에서 그러한 순환이 별로 심각한 문젯거리는 아니다. 설명의 순환적 체계가 설명하고자 하는 바에 대한 이해를 도모하는 데 성공적일 수도 있기 때문이다. 그리고 최소한 그것은 연계된 용어들 간의 어떤 상호관계들을 보여줄 수 있다.

부가적인 논의

• 참 vs. 참임이 알려진 것(known to be true)
• 거짓 vs. 논리적 기이함
• 가능성의 다양한 층위 : 기술적 / 물리적 / 논리적 가능성
• 논리학의 대상에 대한 다양한 제안들 : 문장(sentence) vs. 명제(proposition) vs. 진술(statement) vs. 사고(thought) vs. 판단(judgment)
• 문장이 논리학의 대상이 되기 위한 단서조항들 : 맥락의존성 제거, 애매성 제거

논리적 형식

• 필연적 참 : 논리적 (형식에 의한 필연적) 참 vs. 그 외의 필연적 참
• 타당한 논변 : 논리적 형식에 의해 타당한 논변 vs. 그 외의 타당한 논변
• 문장틀 : 논리어들과 문장문자(sentential letter), 집합문자(class letter), 개체문자(individual)들이 모여 이루어진 표현
• 문장 : 문장틀의 문자들에 적당한 종류이 표현들을 대치하여 얻은 결과
• 문장틀을 이용해 논리적 참을 정의하기
  • 모든 대입예가 참인 문장틀의 대입예 : 이름이 없는 대상은 대입예에서 제외되나?
  • 개체문자들, 집합문자들, 문장문자들에 어떤 해석을 주건 간에 ‘참이 되는’ 문장틀의 대입예
  • e.g., $x$는 A이거나 또는 $x$는 A가 아니다. : 이 문장틀은 '$x$'에 무슨 개체를 할당하든지 'A'에 무슨 개체들의 집합을 할당하든지 참이 된다. 따라서 이 문장틀의 모든 대입예는 논리적 참이다.

인공언어

• 자연언어의 한계 : 문장틀의 각 대입예마다 약간의 조정이 불가피하여, 엄밀하 방식의 전개가 불가능.
• "S or not S"의 대입예들
  • All men are mortal or not all men are mortal.
  • Socrates is mortal or Socrates is not mortal.
  • Smith cracked the safe or Smith did not crack the safe.
  • Either Smith cracked the safe and Jones drove the getaway car, or it is not the case that Smith cracked the safe and Jones drove the getaway car.
• 즉, 일반적으로 자연언어에 있어서는 대입예로서 문자그대로 필연적 참만을 가지는 문장틀은, 있다 하더라도, 매우 적다는 것이 분명.
• 해결책 : 자연언어보다 문법적으로 더 쉽고 더 규칙적인 인공언어의 창조!