발산 (벡터 연산자)

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맥스웰이 고안한 유체 시스템의 유체 흐름과 공급원 및 배수구 사이의 관계는 ‘발산’이라는 벡터 연산자를 이용하면 간편하게 표현된다. 이는 유체 시스템과 같은 벡터장 내 임의의 지점에서 나오는 유량과 그 지점으로 들어가는 유량의 차이를 나타내는 벡터 연산자로서, 각 지점의 공급량(배수량은 음의 공급량)을 구하는 데 사용된다. 수학적인 기호를 이용하면, [math]\mathbf {v} = (v_x , v_y , v_z)[/math]로 정의된 벡터장 내 각 지점의 발산은 [math]\nabla \cdot \mathbf {v}[/math]로 표현되며, 그 값은 [math]\mathbf v[/math]의 각 성분에 대한 편미분(즉, 성분별 증가분)의 합으로 구성된 다음의 스칼라량으로 정의된다.

[math]\nabla \cdot \mathbf {v} = \frac {\partial v_x }{\partial x} + \frac {\partial v_y }{\partial y}+\frac {\partial v_z }{\partial z}[/math]
발산.png
다음의 그림은 발산의 의미를 이해하는 데 도움이 될 것이다. 이 그림은 각 변의 길이가 1인 단위 입방체의 각 면에 들어오고 나가는 유량이 튜브(화살표)의 개수로 그려져 있다. 이 단위 입방체에서 유량의 발산은 다음과 같이 대략 계산될 수 있다.
[math]\nabla \cdot \mathbf {v} = \frac {\partial v_x }{\partial x} + \frac {\partial v_y }{\partial y}+\frac {\partial v_z }{\partial z} \simeq \frac {\delta v_x }{\delta x} + \frac {\delta v_y }{\delta y}+\frac {\delta v_z }{\delta z} = (2-1) +(0-0)+(1-1) = 1[/math]

즉 입방체에 들어오는 유체는 튜브 두 개를 통해 들어오지만, 입방체에서 나가는 유체는 총 세 개의 튜브를 통해 나가고 있으므로, 입방체 내에는 튜브가 시작되는 한 개의 공급원이 있어야 하는 것이다.

이러한 수학적 직관을 통해, 이후 맥스웰은 [math](\nabla \cdot \mathbf {v})[/math] 형태의 수학적 표현이 등장하면 그것의 물리적 의미를 쉽게 해석할 수 있었다. 그래서 전기력선의 발산[math](\nabla \cdot \mathbf {D})[/math]은 전기력선의 생성량으로서 전하량을 의미했으며, 자기력선의 발산[math](\nabla \cdot \mathbf {B})[/math]은 자기력선의 생성량으로서 자유 자극의 양을 의미했다.

발산 정리

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