The Method of Analysis in Mathematics

Marchi, Peggy, “The Method of Analysis in Mathematics”, in Scientific Discovery, Logic, and Rationality.

분석은 모르는 것을 아는 것으로 환원시키는 것. 이 글에서는 수학에서의 분석의 두 사례로서, 피타고라스 정리를 증명하기 위한 두 가지 시도(피타고라스의 시도와 유클리드의 시도)에 대해 논의할 것임. 유클리드의 경우, 모르는 것은 피타고라스 정리, 아는 것은 유클리드 공리들, 환원의 방법은 피타고라스 정리를 그 공리들로부터 연역해내는 것이었음. 피타고라스의 경우, 모르는 것은 피타고라스 정리, 아는 것은 정수들, 환원 방법은 기하학적 도형이 정수들로 표현될 수 있음을 보이는 것이었음. 유클리드의 분석 방법이 피타고라스보다 월등했음을 보일 것이다.

모든 분석에서, 주어진 아는 것에 대한 가정이 있음. 이 가정은 문제 풀이를 위한, 즉 문제를 정식화하기 위한 항들을 선택하기 위한 발견법적 도구로 보일 수 있음. 그러나 이는 다른 문제 야기. 어떤 ‘아는 것’이 선호되어야 하며, 그 기준은 무엇인가? 즉 ‘아는 것’과 기준의 선택 문제는 분석을 수행할 때 핵심 문제.

문제풀이는 언제나 맥락, 즉 문제풀이의 기준 속에서 수행. 문제의 선택은 문제풀이의 틀과 해답의 기준에 대한 선택도 동반. 우리가 문제를 변경할 때, 우리는 문제풀이의 기준도 변경할 수 있음. 문제를 변경할 때, 기존 문제와 새 문제 중 어느 것이 좋은 문제인지, 더 나은 문제는 없는지 선택해야 함. 즉 문제를 변경할 수 있다는 것은, 어떤 문제가 풀만한 가치가 있는지 선택하는 문제가 있다는 뜻이기도 함.

이 글의 주장 : 문제풀이 기준에 좋고 나쁨이 있음. 특히 이 글의 사례에서 보이는 것은, 유클리드의 기준이 피타고라스의 기준보다 낫다는 것임.

피타고라스의 문제풀이 기준

피타고라스의 믿음 : 모든 것은 수로 환원될 수 있다.

피타고라스의 문제풀이 기준은, 무언가가 정수 또는 그 비율로 환원될 수 있음을 보이는 동시에, 정수의 속성으로부터 문제되는 그것의 속성을 추론하기. 피타고라스 정리의 경우, 피타고라스는 피타고라스 트리플을 산출하는 공식으로 정리 증명된다고 생각. 왜냐하면 직각 삼각형의 세 변은 정수로 환원될 수 있다고 가정됐기 때문. 물론 이 가정은 잘못. 잘못된 가정 인식하지 못한 것은 그의 문제풀이 기준 때문이기도 함. 피타고라스는 자신의 가정을 잠정적인 출발점으로 생각하기보다 우주의 근본적 진리로 간주. 그래서 그 출발점을 시험하려 들지 않았음. 정수로 환원하는 피타고라스의 문제풀이 기준은 모든 것은 수로 환원된다는 가정에 의존. 그래서 이 문제풀이 기준은 잘못된 출발점을 시험하기보다 강화.

논박된 피타고라스 - 루트 2의 무리수 증명

에우독소스의 비율 이론에 근거한 증명 있었지만, 유클리드는 그에 의존하지 않고 오직 기하학적 공리만으로 증명 시도. 하나는 교육적인 이유였고, 또 다른 하나는 에우독소스의 증명은 무리수의 크기 비교에 관한 것일 뿐, 무리수의 존재에 관한 것은 아니었음. 유클리드의 피타고라스의 정리 증명은 유한한 기하학적 존재자에 관한 진술로부터 무리수의 존재를 연역해냄으로써, 무리수를 실재하는 것으로 확립. 달리 말해, 유클리드는 무리수를 수용가능한 아는 것으로 분석했지만, 에우독소스는 그렇지 않았음.

유클리드의 문제풀이 기준

플라톤이 공리를 자명한 참으로 놓은 것과 달리 유클리드는 공리를 잠정적인 것으로 놓음.