발산 (벡터 연산자)

맥스웰이 고안한 유체 시스템의 유체 흐름과 공급원 및 배수구 사이의 관계는 ‘발산’이라는 벡터 연산자를 이용하면 간편하게 표현된다. 이는 유체 시스템과 같은 벡터장 내 임의의 지점에서 나오는 유량과 그 지점으로 들어가는 유량의 차이를 나타내는 벡터 연산자로서, 각 지점의 공급량(배수량은 음의 공급량)을 구하는 데 사용된다. 수학적인 기호를 이용하면, $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$로 정의된 벡터장 내 각 지점의 발산은 $\nabla \cdot \mathbf {v}$로 표현되며, 그 값은 $\mathbf {v}$의 각 성분에 대한 편미분(즉, 성분별 증가분)의 합으로 구성된 다음의 스칼라량으로 정의된다.

$\nabla \cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}$

다음의 그림은 발산의 의미를 이해하는 데 도움이 될 것이다. 이 그림은 각 변의 길이가 1인 단위 입방체의 각 면에 들어오고 나가는 유량이 튜브(화살표)의 개수로 그려져 있다. 이 단위 입방체에서 유량의 발산은 다음과 같이 대략 계산될 수 있다.

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {v} &={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\\&\simeq {\frac {\Delta v_{x}}{\Delta x}}+{\frac {\Delta v_{y}}{\Delta y}}+{\frac {\Delta v_{z}}{\Delta z}}\\&=(2-1)+(0-0)+(1-1)\\&=1\end{aligned}}$

즉 입방체에 들어오는 유체는 튜브 두 개를 통해 들어오지만, 입방체에서 나가는 유체는 총 세 개의 튜브를 통해 나가고 있으므로, 입방체 내에는 튜브가 시작되는 한 개의 공급원이 있어야 하는 것이다.

이러한 수학적 직관을 통해, 맥스웰은 전자기장을 기술하는 방정식에서 $(\nabla \cdot \mathbf {v} )$ 형태의 수학적 표현이 등장하면 그것의 물리적 의미를 쉽게 해석할 수 있었다. 그래서 전기력선의 발산$(\nabla \cdot \mathbf {D} )$은 전기력선의 생성량으로서 전하량을 의미했으며, 자기력선의 발산$(\nabla \cdot \mathbf {B} )$은 자기력선의 생성량으로서 자유 자극의 양을 의미했다.

발산 정리

공급원 주위의 유체의 속도 분포. 공급원으로터 $q$개의 단위 튜브가 뻗어 나오면, 거리 $r$에서 단위 튜브의 단면적은 ${\frac {4\pi r^{2}}{q}}$이 되며, 그곳에서 물줄기의 속도는 ${\frac {q}{4\pi r^{2}}}$가 된다. 거리가 $r,2r,3r$로 늘어남에 따라, 단위 튜브의 단면적은 $1,4,9$로 증가하고, 물줄기의 속도는 $v,{\frac {v}{4}},{\frac {v}{9}}$로 줄어든다.

압축 불가능한 유체 시스템과 같은 벡터장에서, 임의의 지점의 (단위 면적당) 유량($\mathbf {v}$)의 발산($\nabla \cdot \mathbf {v}$)이 그 지점의 공급 밀도($\rho$)를 나타낼 경우($\nabla \cdot \mathbf {v} =\rho$), 임의의 크기를 가진 공간의 표면을 통해 빠져나가는 총유량($\iint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {S}$)은 그 내부의 총 공급량($\iiint \rho dV$)과 같다. 즉 이를 수학적으로 표현한 것이 다음의 발산 정리이다.

if $\nabla \cdot \mathbf {v} =\rho$

then $\iint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {S} =\iiint \rho dV$

이 발산 정리를 이용하면, 총공급량 $q$의 점 공급원과 그로부터 무한대의 거리에 총배수량 $q$의 배수구들이 사방으로 배치된 시스템에서, 공급원으로부터의 거리 $r$에 따른 유체의 속도 $\mathbf {v}$는 아래와 같이 구해진다.

$\nabla \cdot \mathbf {v} =\rho$

$\iint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {S} =\iiint \rho dV$

$\mathbf {v} \cdot 4\pi r^{2}=q$ (∵ 반지름 $r$인 구면의 면적은 $4\pi r^{2}$)

$\therefore \mathbf {v} ={\frac {q}{4\pi r^{2}}}$

관련 항목

• 기울기 (벡터 연산자) ($\nabla$)
• 회전 (벡터 연산자) ($\nabla \times$)
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