발산 (벡터 연산자)

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맥스웰이 고안한 유체 시스템의 유체 흐름과 공급원 및 배수구 사이의 관계는 ‘발산’이라는 벡터 연산자를 이용하면 간편하게 표현된다. 이는 유체 시스템과 같은 벡터장 내 임의의 지점에서 나오는 유량과 그 지점으로 들어가는 유량의 차이를 나타내는 벡터 연산자로서, 각 지점의 공급량(배수량은 음의 공급량)을 구하는 데 사용된다. 수학적인 기호를 이용하면, 로 정의된 벡터장 내 각 지점의 발산은 로 표현되며, 그 값은 의 각 성분에 대한 편미분(즉, 성분별 증가분)의 합으로 구성된 다음의 스칼라량으로 정의된다.

발산.png

다음의 그림은 발산의 의미를 이해하는 데 도움이 될 것이다. 이 그림은 각 변의 길이가 1인 단위 입방체의 각 면에 들어오고 나가는 유량이 튜브(화살표)의 개수로 그려져 있다. 이 단위 입방체에서 유량의 발산은 다음과 같이 대략 계산될 수 있다.

구문 분석 실패 (알 수 없는 함수 "\begin{split}"): {\displaystyle \begin{split} \nabla \cdot \mathbf {v} &= \frac {\partial v_x }{\partial x} + \frac {\partial v_y }{\partial y}+\frac {\partial v_z }{\partial z} \\ &\simeq \frac {\Delta v_x }{\Delta x} + \frac {\Delta v_y }{\Delta y}+\frac {\Delta v_z }{\Delta z} \\ &= (2-1) +(0-0)+(1-1) \\ &= 1 \end{split}}

즉 입방체에 들어오는 유체는 튜브 두 개를 통해 들어오지만, 입방체에서 나가는 유체는 총 세 개의 튜브를 통해 나가고 있으므로, 입방체 내에는 튜브가 시작되는 한 개의 공급원이 있어야 하는 것이다.

이러한 수학적 직관을 통해, 맥스웰은 전자기장을 기술하는 방정식에서 형태의 수학적 표현이 등장하면 그것의 물리적 의미를 쉽게 해석할 수 있었다. 그래서 전기력선의 발산은 전기력선의 생성량으로서 전하량을 의미했으며, 자기력선의 발산은 자기력선의 생성량으로서 자유 자극의 양을 의미했다.

발산 정리

공급원 주위의 유체의 속도 분포. 공급원으로터 개의 단위 튜브가 뻗어 나오면, 거리 에서 단위 튜브의 단면적은 이 되며, 그곳에서 물줄기의 속도는 가 된다. 거리가 로 늘어남에 따라, 단위 튜브의 단면적은 로 증가하고, 물줄기의 속도는 로 줄어든다.

압축 불가능한 유체 시스템과 같은 벡터장에서, 임의의 지점의 (단위 면적당) 유량()의 발산()이 그 지점의 공급 밀도()를 나타낼 경우(), 임의의 크기를 가진 공간의 표면을 통해 빠져나가는 총유량()은 그 내부의 총 공급량()과 같다. 즉 이를 수학적으로 표현한 것이 다음의 발산 정리이다.

if
then

이 발산 정리를 이용하면, 총공급량 의 점 공급원과 그로부터 무한대의 거리에 총배수량 의 배수구들이 사방으로 배치된 시스템에서, 공급원으로부터의 거리 에 따른 유체의 속도 는 아래와 같이 구해진다.

(∵ 반지름 인 구면의 면적은 )

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