발산 (벡터 연산자)

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맥스웰이 고안한 유체 시스템의 유체 흐름과 공급원 및 배수구 사이의 관계는 ‘발산’이라는 벡터 연산자를 이용하면 간편하게 표현된다. 이는 유체 시스템과 같은 벡터장 내 임의의 지점에서 나오는 유량과 그 지점으로 들어가는 유량의 차이를 나타내는 벡터 연산자로서, 각 지점의 공급량(배수량은 음의 공급량)을 구하는 데 사용된다. 수학적인 기호를 이용하면, 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathbf {v} = (v_x , v_y , v_z)} 로 정의된 벡터장 내 각 지점의 발산은 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v}} 로 표현되며, 그 값은 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathbf v} 의 각 성분에 대한 편미분(즉, 성분별 증가분)의 합으로 구성된 다음의 스칼라량으로 정의된다.

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} = \frac {\partial v_x }{\partial x} + \frac {\partial v_y }{\partial y}+\frac {\partial v_z }{\partial z}}
발산.png

다음의 그림은 발산의 의미를 이해하는 데 도움이 될 것이다. 이 그림은 각 변의 길이가 1인 단위 입방체의 각 면에 들어오고 나가는 유량이 튜브(화살표)의 개수로 그려져 있다. 이 단위 입방체에서 유량의 발산은 다음과 같이 대략 계산될 수 있다.

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \begin{align} \nabla \cdot \mathbf {v} &= \frac {\partial v_x }{\partial x} + \frac {\partial v_y }{\partial y}+\frac {\partial v_z }{\partial z} \\ &\simeq \frac {\Delta v_x }{\Delta x} + \frac {\Delta v_y }{\Delta y}+\frac {\Delta v_z }{\Delta z} \\ &= (2-1) +(0-0)+(1-1) \\ &= 1 \end{align}}

즉 입방체에 들어오는 유체는 튜브 두 개를 통해 들어오지만, 입방체에서 나가는 유체는 총 세 개의 튜브를 통해 나가고 있으므로, 입방체 내에는 튜브가 시작되는 한 개의 공급원이 있어야 하는 것이다.

이러한 수학적 직관을 통해, 맥스웰은 전자기장을 기술하는 방정식에서 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {v})} 형태의 수학적 표현이 등장하면 그것의 물리적 의미를 쉽게 해석할 수 있었다. 그래서 전기력선의 발산구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {D})} 은 전기력선의 생성량으로서 전하량을 의미했으며, 자기력선의 발산구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {B})} 은 자기력선의 생성량으로서 자유 자극의 양을 의미했다.

발산 정리

공급원 주위의 유체의 속도 분포. 공급원으로터 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle q} 개의 단위 튜브가 뻗어 나오면, 거리 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r} 에서 단위 튜브의 단면적은 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \frac{4 \pi r^2}{q}} 이 되며, 그곳에서 물줄기의 속도는 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \frac{q}{4 \pi r^2}} 가 된다. 거리가 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r, 2r, 3r} 로 늘어남에 따라, 단위 튜브의 단면적은 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle 1, 4, 9} 로 증가하고, 물줄기의 속도는 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle v, \frac{v}{4}, \frac{v}{9}} 로 줄어든다.

압축 불가능한 유체 시스템과 같은 벡터장에서, 임의의 지점의 (단위 면적당) 유량(구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathbf v} )의 발산(구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v}} )이 그 지점의 공급 밀도(구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \rho} )를 나타낼 경우(구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf v = \rho} ), 임의의 크기를 가진 공간의 표면을 통해 빠져나가는 총유량(구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \iint \mathbf{v} \cdot d \mathbf{S}} )은 그 내부의 총 공급량(구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \iiint \rho d V} )과 같다. 즉 이를 수학적으로 표현한 것이 다음의 발산 정리이다.

if 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} = \rho}
then 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \iint \mathbf {v} \cdot d \mathbf{ S} = \iiint \rho d V}

이 발산 정리를 이용하면, 총공급량 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle q} 의 점 공급원과 그로부터 무한대의 거리에 총배수량 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle q} 의 배수구들이 사방으로 배치된 시스템에서, 공급원으로부터의 거리 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r} 에 따른 유체의 속도 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathbf v} 는 아래와 같이 구해진다.

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} = \rho}
구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \iint \mathbf {v} \cdot d \mathbf{ S} = \iiint \rho d V}
구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \mathbf {v} \cdot 4 \pi r^2 = q} (∵ 반지름 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle r} 인 구면의 면적은 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle 4 \pi r^2 } )
구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \therefore \mathbf {v} = \frac {q}{4 \pi r^2 }}

관련 항목

  • 기울기 (벡터 연산자) (구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \nabla} )
  • 회전 (벡터 연산자) (구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \nabla \times} )
  • 정동욱, 뉴턴의 품에 들어온 ‘힘의 선’ (『패러데이 & 맥스웰』, 만남 4)


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