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맥스웰은 우선 두 개의 점전하 <math>q_1</math>과 <math>q_2</math>만으로 이루어진 시스템의 전체 탄성 에너지가 다음과 같이 결정된다는 것을 구했다(<math>U</math>는 전체 탄성 에너지, <math>\Psi_1</math>는 <math>q_1</math>에 의해 형성된 전기 포텐셜(<math>q_1</math>에 의해 <math>q_1</math> 위치에 형성된 전기 포텐셜은 <math>\Psi_{11}</math>, <math>q_2</math> 위치에 형성된 전기 포텐셜은 <math>\Psi_{12}</math>), <math>\Psi_2</math>는 <math>q_2</math>에 의해 형성되는 전기 포텐셜(<math>q_2</math>에 의해 <math>q_1</math> 위치에 형성된 전기 포텐셜은 <math>\Psi_{21}</math>, <math>q_2</math> 위치에 형성된 전기 포텐셜은 <math>\Psi_{22}</math>)이며, {{장|패러데이의 힘의 선에 관하여}}에서 등장했던 기전력과 전기 포텐셜 사이의 관계식 <math>\mathbf {E} = - \nabla \Psi</math>는 여기서도 동일하게 성립한다). | 맥스웰은 우선 두 개의 점전하 <math>q_1</math>과 <math>q_2</math>만으로 이루어진 시스템의 전체 탄성 에너지가 다음과 같이 결정된다는 것을 구했다(<math>U</math>는 전체 탄성 에너지, <math>\Psi_1</math>는 <math>q_1</math>에 의해 형성된 전기 포텐셜(<math>q_1</math>에 의해 <math>q_1</math> 위치에 형성된 전기 포텐셜은 <math>\Psi_{11}</math>, <math>q_2</math> 위치에 형성된 전기 포텐셜은 <math>\Psi_{12}</math>), <math>\Psi_2</math>는 <math>q_2</math>에 의해 형성되는 전기 포텐셜(<math>q_2</math>에 의해 <math>q_1</math> 위치에 형성된 전기 포텐셜은 <math>\Psi_{21}</math>, <math>q_2</math> 위치에 형성된 전기 포텐셜은 <math>\Psi_{22}</math>)이며, {{장|패러데이의 힘의 선에 관하여}}에서 등장했던 기전력과 전기 포텐셜 사이의 관계식 <math>\mathbf {E} = - \nabla \Psi</math>는 여기서도 동일하게 성립한다). | ||
:<math>\begin{ | :<math> | ||
\begin{align} | |||
U &= \frac {k}{2} \iiint \mathbf {D}^2 dV \\ | U &= \frac {k}{2} \iiint \mathbf {D}^2 dV \\ | ||
&= \frac {1}{2k} \iiint \mathbf {E}^2 dV \quad \left( \because \mathbf {D} = - \frac {\mathbf E}{k} \right) \\ | &= \frac {1}{2k} \iiint \mathbf {E}^2 dV \quad \left( \because \mathbf {D} = - \frac {\mathbf {E}}{k} \right) \\ | ||
&= \frac {1}{2} \iiint \rho (\Psi_1 +\Psi_2 ) dV \quad \left( \because \rho = \frac {1}{k} \nabla \cdot \mathbf {E} \text{, } \mathbf {E} = - \nabla (\Psi_1 + \Psi_2 ) \right) \\ | &= \frac {1}{2} \iiint \rho (\Psi_1 +\Psi_2 ) dV \quad \left( \because \rho = \frac {1}{k} \nabla \cdot \mathbf {E} \text{, } \mathbf {E} = - \nabla (\Psi_1 + \Psi_2 ) \right) \\ | ||
&= \frac {1}{2} \left( q_1 \Psi_{11} + q_2 \Psi_{22} \right) + q_1 \Psi_{21} | &= \frac {1}{2} \left( q_1 \Psi_{11} + q_2 \Psi_{22} \right) + q_1 \Psi_{21} | ||
\end{ | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||