맥스웰이 고안한 유체 시스템의 유체 흐름과 공급원 및 배수구 사이의 관계는 ‘발산’이라는 벡터 연산자를 이용하면 간편하게 표현된다. 이는 유체 시스템과 같은 벡터장 내 임의의 지점에서 나오는 유량과 그 지점으로 들어가는 유량의 차이를 나타내는 벡터 연산자로서, 각 지점의 공급량(배수량은 음의 공급량)을 구하는 데 사용된다. 수학적인 기호를 이용하면,
로 정의된 벡터장 내 각 지점의 발산은
로 표현되며, 그 값은
의 각 성분에 대한 편미분(즉, 성분별 증가분)의 합으로 구성된 다음의 스칼라량으로 정의된다.
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4869cdfa5e6c65747d4f3c26678240640cb2378e)
다음의 그림은 발산의 의미를 이해하는 데 도움이 될 것이다. 이 그림은 각 변의 길이가 1인 단위 입방체의 각 면에 들어오고 나가는 유량이 튜브(화살표)의 개수로 그려져 있다. 이 단위 입방체에서 유량의 발산은 다음과 같이 대략 계산될 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {v} &={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\\&\simeq {\frac {\Delta v_{x}}{\Delta x}}+{\frac {\Delta v_{y}}{\Delta y}}+{\frac {\Delta v_{z}}{\Delta z}}\\&=(2-1)+(0-0)+(1-1)\\&=1\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103b802c4ba62302bf58e1e1df83c12fb06253f7)
즉 입방체에 들어오는 유체는 튜브 두 개를 통해 들어오지만, 입방체에서 나가는 유체는 총 세 개의 튜브를 통해 나가고 있으므로, 입방체 내에는 튜브가 시작되는 한 개의 공급원이 있어야 하는 것이다.
이러한 수학적 직관을 통해, 맥스웰은 전자기장을 기술하는 방정식에서
형태의 수학적 표현이 등장하면 그것의 물리적 의미를 쉽게 해석할 수 있었다. 그래서 전기력선의 발산
은 전기력선의 생성량으로서 전하량을 의미했으며, 자기력선의 발산
은 자기력선의 생성량으로서 자유 자극의 양을 의미했다.
발산 정리
공급원 주위의 유체의 속도 분포. 공급원으로터
![{\displaystyle q}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
개의 단위 튜브가 뻗어 나오면, 거리
![{\displaystyle r}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
에서 단위 튜브의 단면적은
![{\displaystyle {\frac {4\pi r^{2}}{q}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be27abae52990a9bde6f63753099cd2df1141ffc)
이 되며, 그곳에서 물줄기의 속도는
![{\displaystyle {\frac {q}{4\pi r^{2}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ba30c741ce4622459a3923d739e180c2e0999e)
가 된다. 거리가
![{\displaystyle r,2r,3r}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67195df664eb165b4834215a1cee84299d8ac9c2)
로 늘어남에 따라, 단위 튜브의 단면적은
![{\displaystyle 1,4,9}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fb7b2e2d731b05a50818434f7bc0515f358386)
로 증가하고, 물줄기의 속도는
![{\displaystyle v,{\frac {v}{4}},{\frac {v}{9}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc4a6ca8db26cc941e7aa0facb18dd807b11214)
로 줄어든다.
압축 불가능한 유체 시스템과 같은 벡터장에서, 임의의 지점의 (단위 면적당) 유량(
)의 발산(
)이 그 지점의 공급 밀도(
)를 나타낼 경우(
), 임의의 크기를 가진 공간의 표면을 통해 빠져나가는 총유량(
)은 그 내부의 총 공급량(
)과 같다. 즉 이를 수학적으로 표현한 것이 다음의 발산 정리이다.
- if
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\rho }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818d84f6e5fcfd2669a432929830235c52898b50)
- then
![{\displaystyle \iint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {S} =\iiint \rho dV}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f252d2bea5e07694634911648eea10dade26d42)
이 발산 정리를 이용하면, 총공급량
의 점 공급원과 그로부터 무한대의 거리에 총배수량
의 배수구들이 사방으로 배치된 시스템에서, 공급원으로부터의 거리
에 따른 유체의 속도
는 아래와 같이 구해진다.
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\rho }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818d84f6e5fcfd2669a432929830235c52898b50)
![{\displaystyle \iint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {S} =\iiint \rho dV}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f252d2bea5e07694634911648eea10dade26d42)
(∵ 반지름
인 구면의 면적은
)
![{\displaystyle \therefore \mathbf {v} ={\frac {q}{4\pi r^{2}}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490bf932c31767dd817a940e0c4c4b63bd8d8b20)
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