발산 (벡터 연산자)

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맥스웰이 고안한 유체 시스템의 유체 흐름과 공급원 및 배수구 사이의 관계는 ‘발산’이라는 벡터 연산자를 이용하면 간편하게 표현된다. 이는 유체 시스템과 같은 벡터장 내 임의의 지점에서 나오는 유량과 그 지점으로 들어가는 유량의 차이를 나타내는 벡터 연산자로서, 각 지점의 공급량(배수량은 음의 공급량)을 구하는 데 사용된다. 수학적인 기호를 이용하면, [math]\mathbf {v} = (v_x , v_y , v_z)[/math]로 정의된 벡터장 내 각 지점의 발산은 [math]\nabla \cdot \mathbf {v}[/math]로 표현되며, 그 값은 [math]\mathbf v[/math]의 각 성분에 대한 편미분(즉, 성분별 증가분)의 합으로 구성된 다음의 스칼라량으로 정의된다.

[math]\nabla \cdot \mathbf {v} = \frac {\partial v_x }{\partial x} + \frac {\partial v_y }{\partial y}+\frac {\partial v_z }{\partial z}[/math]
발산.png
다음의 그림은 발산의 의미를 이해하는 데 도움이 될 것이다. 이 그림은 각 변의 길이가 1인 단위 입방체의 각 면에 들어오고 나가는 유량이 튜브(화살표)의 개수로 그려져 있다. 이 단위 입방체에서 유량의 발산은 다음과 같이 대략 계산될 수 있다.
[math]\begin{split} \nabla \cdot \mathbf {v} &= \frac {\partial v_x }{\partial x} + \frac {\partial v_y }{\partial y}+\frac {\partial v_z }{\partial z} \\ &\simeq \frac {\Delta v_x }{\Delta x} + \frac {\Delta v_y }{\Delta y}+\frac {\Delta v_z }{\Delta z} \\ &= (2-1) +(0-0)+(1-1) \\ &= 1 \end{split}[/math]

즉 입방체에 들어오는 유체는 튜브 두 개를 통해 들어오지만, 입방체에서 나가는 유체는 총 세 개의 튜브를 통해 나가고 있으므로, 입방체 내에는 튜브가 시작되는 한 개의 공급원이 있어야 하는 것이다.

이러한 수학적 직관을 통해, 맥스웰은 전자기장을 기술하는 방정식에서 [math](\nabla \cdot \mathbf {v})[/math] 형태의 수학적 표현이 등장하면 그것의 물리적 의미를 쉽게 해석할 수 있었다. 그래서 전기력선의 발산[math](\nabla \cdot \mathbf {D})[/math]은 전기력선의 생성량으로서 전하량을 의미했으며, 자기력선의 발산[math](\nabla \cdot \mathbf {B})[/math]은 자기력선의 생성량으로서 자유 자극의 양을 의미했다.

발산 정리

공급원 주위의 유체의 속도 분포. 공급원으로터 [math]q[/math]개의 단위 튜브가 뻗어 나오면, 거리 [math]r[/math]에서 단위 튜브의 단면적은 [math]\frac{4 \pi r^2}{q}[/math]이 되며, 그곳에서 물줄기의 속도는 [math]\frac{q}{4 \pi r^2}[/math]가 된다. 거리가 [math]r, 2r, 3r[/math]로 늘어남에 따라, 단위 튜브의 단면적은 [math]1, 4, 9[/math]로 증가하고, 물줄기의 속도는 [math]v, \frac{v}{4}, \frac{v}{9}[/math]로 줄어든다.

압축 불가능한 유체 시스템과 같은 벡터장에서, 임의의 지점의 (단위 면적당) 유량([math]\mathbf v[/math])의 발산([math]\nabla \cdot \mathbf {v}[/math])이 그 지점의 공급 밀도([math]\rho[/math])를 나타낼 경우([math]\nabla \cdot \mathbf v = \rho[/math]), 임의의 크기를 가진 공간의 표면을 통해 빠져나가는 총유량([math]\iint \mathbf{v} \cdot d \mathbf{S}[/math])은 그 내부의 총 공급량([math]\iiint \rho d V[/math])과 같다. 즉 이를 수학적으로 표현한 것이 다음의 발산 정리이다.

if [math]\nabla \cdot \mathbf {v} = \rho[/math]
then [math]\iint \mathbf {v} \cdot d \mathbf{ S} = \iiint \rho d V[/math]

이 발산 정리를 이용하면, 총공급량 [math]q[/math]의 점 공급원과 그로부터 무한대의 거리에 총배수량 [math]q[/math]의 배수구들이 사방으로 배치된 시스템에서, 공급원으로부터의 거리 [math]r[/math]에 따른 유체의 속도 [math]\mathbf v[/math]는 아래와 같이 구해진다.

[math]\nabla \cdot \mathbf {v} = \rho[/math]
[math]\iint \mathbf {v} \cdot d \mathbf{ S} = \iiint \rho d V[/math]
[math]\mathbf {v} \cdot 4 \pi r^2 = q[/math] (∵ 반지름 [math]r[/math]인 구면의 면적은 [math]4 \pi r^2 [/math])
[math]\therefore \mathbf {v} = \frac {q}{4 \pi r^2 }[/math]

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