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'''심화 이해 1 : 시간 지연''' | '''심화 이해 1 : 시간 지연''' | ||
[[그림:시간 지연 공식의 유도.png|thumb|을에게 자신의 시계의 1똑딱(T)은 위아래를 왕복하는 시간인 반면, 을이 보기에 갑의 시계는 <math>v</math>의 속도로 오른쪽으로 운동 중이며, 따라서 갑의 시계의 1똑딱(<math>t</math>)은 빛이 <math>c</math>의 속도로 비스듬한 경로를 따라 왕복하는 시간이 된다.]] | [[그림:시간 지연 공식의 유도.png|thumb|을에게 자신의 시계의 1똑딱(<math>T</math>)은 위아래를 왕복하는 시간인 반면, 을이 보기에 갑의 시계는 <math>v</math>의 속도로 오른쪽으로 운동 중이며, 따라서 갑의 시계의 1똑딱(<math>t</math>)은 빛이 <math>c</math>의 속도로 비스듬한 경로를 따라 왕복하는 시간이 된다.]] | ||
관찰자 을에게 자신의 시계의 1똑딱(T)은 | 관찰자 을에게 자신의 시계의 1똑딱(T)은 빛이 <math>c</math>의 속도로 <math>L/2</math>의 거리를 왕복하는 시간으로, 아래와 같이 결정된다. | ||
:<math>T = \frac{L}{c}</math> | |||
반면 관찰자 을에게, 갑의 시계는 <math>v</math>의 속도로 오른쪽으로 운동 중이며, 따라서 갑의 시계의 1똑딱(<math>t</math>)은 빛이 <math>c</math>의 속도로 비스듬한 경로를 따라 왕복하는 시간이 되며, 시계<sub>갑</sub>의 1똑딱 <math>t</math>, 관찰자 을에 대한 시계의 속도 <math>v</math>, 빛의 속도 <math>c</math> 사이에는 아래와 같은 간단한 관계가 성립한다. | |||
:<math>(ct/2)^2 = (vt/2)^2 + (L/2)^2</math> (피타고라스의 정리에 의해) | |||
이를 정리하면 | |||
:<math>(c^2 - v^2)t^2 = L^2</math> | :<math>(c^2 - v^2)t^2 = L^2</math> | ||
이 되고, 시계<sub>갑</sub>의 1똑딱 <math>t</math>는 아래와 같이 정리된다. | |||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
t &= \frac{1}{\sqrt{c^2 - v^2}} L \\ | t &= \frac{1}{\sqrt{c^2 - v^2}} L \\ | ||
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&=\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} T | &=\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} T | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
이에 따르면, 시계<sub>갑</sub>의 1똑딱 <math>t</math>는 관찰자 을에 대한 시계의 속도 <math>v</math>가 증가할수록 함께 증가한다. | |||
'''심화 이해 2 : 길이 수축''' | '''심화 이해 2 : 길이 수축''' | ||
문제의 고찰에 따르면 다른 지점에서 일어나는 사건들의 동시성은 관찰자에 따라 달라질 수 있다. 예컨대 빛이 A에 도달하는 사건과 B에 도달하는 사건은 갑에게는 동시적인 반면, 을에게는 동시적이지 않다. 그렇다고 아인슈타인이 모든 동시성을 관찰자 의존적인 것으로 생각한 것은 아니다. 적어도 관찰자에 의존하지 않는 동시성도 있는데, 그것은 바로 한 지점에서 일어나는 사건들의 동시성이다. 예를 들어, C에서 출발한 빛이 각각 A, B, D에 반사되어 돌아와 C에서 다시 만나는 사건은 분명히 갑에게 동시적인 사건이며, 그렇다면 그것은 을에게도 동시적인 사건이어야 한다. 그런데 을의 입장에서 C에서 출발한 빛이 D에서 반사되어 돌아오는 시간은 <math>2t</math>, 즉, <math>2\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} T</math>이다. | |||
그런데 을의 입장에서 여전히 버스의 길이가 여전히 <math>2L</math>이라면, C에서 출발한 빛이 B에서 반사되어 돌아오는 시간은 아래와 같이 계산된다. | |||
:C에서 D까지의 경로 : <math>ct_1 = L+vt_1</math>. 따라서 <math>t_1 = L/(c-v)</math> | |||
:D에서 C까지의 경로 : <math>ct_2 = L-vt_2</math>. 따라서 <math>t_2 = L/(c+v)</math> | |||
:전체 시간 <math>t_1 + t_2 = L/(c-v) + L/(c+v) = \frac{2cL}{c^2 - v^2} = 2 \frac{1}{1 - (v/c)^2} \frac{L}{c} = 2 \frac{1}{1 - (v/c)^2} T</math> | |||
그런데 이 시간은 빛이 D를 거쳐 돌아오는 시간과 같지 않다. 즉, | |||
:<math>2\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} T \neq 2 \frac{1}{1 - (v/c)^2} T</math> | |||
[[그림:길이 수축 공식의 유도.png|thumb|을의 입장에서 버스의 높이는 <math>L</math>로 그대로이지만, 버스가 움직이는 방향의 길이는 <math>2l</math>로 변화한다고 가정하자. 버스 안에 있는 갑의 입장에서 D에서 반사되어 돌아오는 빛과 B에서 반사되어 돌아오는 빛이 동시에 만난다면, 버스 밖의 관찰자 을의 입장에서도 두 빛으 동시에 만나야 한다. 이를 기준 삼아, 버스의 길이 변화를 유도할 수 있다.]] | |||
아인슈타인의 해법은 관찰자 을의 입장에서 움직이는 버스의 길이가 정지해 있을 때의 길이와 달라진다는 것이다. <math>v</math>의 속도로 움직이는 버스의 길이가 <math>2L</math> 대신 <math>2l</math>가 된다고 가정하면, C에서 출발한 빛이 B에서 반사되어 돌아오는 시간은 아래와 같이 계산된다. | |||
:C에서 D까지의 경로 : <math>ct_1 = l+vt_1</math>. 따라서 <math>t_1 = l/(c-v)</math> | |||
:D에서 C까지의 경로 : <math>ct_2 = l-vt_2</math>. 따라서 <math>t_2 = l/(c+v)</math> | |||
:전체 시간 <math>t_1 + t_2 = l/(c-v) + l/(c+v)=2\frac{1}{1-(v/c)^2}\frac{l}{c}</math> | |||
이제 이 시간은 빛이 D를 거쳐 돌아오는 시간 <math>2\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} T</math>과 같아야 한다. 즉, | |||
:<math>\begin{align} | |||
2\frac{1}{1-(v/c)^2}\frac{l}{c} &= 2\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} T \\ | |||
&= 2\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \frac{L}{c} | |||
\end{align}</math> | |||
이를 정리하면, | |||
:<math>2\frac{1}{1-(v/c)^2}\frac{l}{c} = 2\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} L/c</math> | |||
:<math>l = \sqrt{1 - (v/c)^2} L</math> | |||
이에 따르면, 관찰자 을에게 움직이는 버스의 길이는 그 속도 <math>v</math>가 증가할수록 줄어든다. | |||
=== 문제 2 === | === 문제 2 === | ||