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# 을이 보기에 빛이 D에 도달하는 시간은 1똑딱이겠군. | # 을이 보기에 빛이 D에 도달하는 시간은 1똑딱이겠군. | ||
====정답 해설==== | |||
* 정답 : 4번(을이 보기에 갑의 1똑딱은 자신의 1똑딱보다 길겠군). 을이 보기에 갑의 시계는 오른쪽으로 움직이고 있다. 따라서 을이 보기에, 갑의 시계 속 빛은 자신의 시계의 위아래 간격인 <math>0.5L</math>의 거리를 왕복하는 것이 아니라 비스듬한 길을 따라 그보다 더 긴 거리를 이동해야 1회 왕복할 수 있다. 그런데 아인슈타인에 의하면, 빛의 속도는 누구에게나 항상 <math>c</math>로 일정하고, 문제의 설명에 의하면 시간은 각자의 빛 왕복 시계로 측정된다. 따라서 을이 보기에 갑의 1똑딱(갑의 시계가 1회 왕복하는 데 걸리는 시간)은 을의 1똑딱(을의 시계가 1회 왕복하는 데 걸리는 시간)보다 길다. 즉 이는 갑의 시계가 을의 시계보다 느리게 감으로써, 두 관찰자의 시간이 다른 속도로 흐름을 말한다. | * 정답 : 4번(을이 보기에 갑의 1똑딱은 자신의 1똑딱보다 길겠군). 을이 보기에 갑의 시계는 오른쪽으로 움직이고 있다. 따라서 을이 보기에, 갑의 시계 속 빛은 자신의 시계의 위아래 간격인 <math>0.5L</math>의 거리를 왕복하는 것이 아니라 비스듬한 길을 따라 그보다 더 긴 거리를 이동해야 1회 왕복할 수 있다. 그런데 아인슈타인에 의하면, 빛의 속도는 누구에게나 항상 <math>c</math>로 일정하고, 문제의 설명에 의하면 시간은 각자의 빛 왕복 시계로 측정된다. 따라서 을이 보기에 갑의 1똑딱(갑의 시계가 1회 왕복하는 데 걸리는 시간)은 을의 1똑딱(을의 시계가 1회 왕복하는 데 걸리는 시간)보다 길다. 즉 이는 갑의 시계가 을의 시계보다 느리게 감으로써, 두 관찰자의 시간이 다른 속도로 흐름을 말한다. | ||
====오답 해설==== | |||
* 1번. 아인슈타인에 의하면, 빛의 속도는 관찰자의 운동과 무관하게 언제나 <math>c</math>이다. 따라서 갑이 보기에 C에서 출발한 빛은 어느 방향으로든 <math>c</math>의 속도로 전파되며, 빛은 A와 B에 동시에 도착한다. | * 1번. 아인슈타인에 의하면, 빛의 속도는 관찰자의 운동과 무관하게 언제나 <math>c</math>이다. 따라서 갑이 보기에 C에서 출발한 빛은 어느 방향으로든 <math>c</math>의 속도로 전파되며, 빛은 A와 B에 동시에 도착한다. | ||
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* 3번. 갑이 보기에 을의 시계는 왼쪽으로 움직이고 있다. 따라서 갑이 보기에, 을의 시계 속 빛은 자신의 시계의 위아래 간격인 <math>0.5L</math>의 거리를 왕복하는 것이 아니라 비스듬한 길을 따라 그보다 더 긴 거리를 이동해야 1회 왕복할 수 있다. 그런데 아인슈타인에 의하면, 빛의 속도는 누구에게나 항상 <math>c</math>로 일정하고, 문제의 설명에 따르면 시간은 각자의 빛 왕복 시계로 측정된다. 따라서 갑이 보기에 을의 1똑딱(을의 시계가 1회 왕복하는 데 걸리는 시간)은 갑의 1똑딱(갑의 시계가 1회 왕복하는 데 걸리는 시간)보다 길다. 즉 이는 을의 시계가 갑의 시계보다 느리게 감으로써, 두 관찰자의 시간이 다른 속도로 흐름을 말한다. 이러한 모든 분석은 정답이 되는 4번 선지와 정확히 대칭적이며, 이에 따르면, 어떠한 관찰자가 보든, 자신의 입장에서 운동 중인 대상의 시간은 자신의 시간보다 느리게 흐른다. | * 3번. 갑이 보기에 을의 시계는 왼쪽으로 움직이고 있다. 따라서 갑이 보기에, 을의 시계 속 빛은 자신의 시계의 위아래 간격인 <math>0.5L</math>의 거리를 왕복하는 것이 아니라 비스듬한 길을 따라 그보다 더 긴 거리를 이동해야 1회 왕복할 수 있다. 그런데 아인슈타인에 의하면, 빛의 속도는 누구에게나 항상 <math>c</math>로 일정하고, 문제의 설명에 따르면 시간은 각자의 빛 왕복 시계로 측정된다. 따라서 갑이 보기에 을의 1똑딱(을의 시계가 1회 왕복하는 데 걸리는 시간)은 갑의 1똑딱(갑의 시계가 1회 왕복하는 데 걸리는 시간)보다 길다. 즉 이는 을의 시계가 갑의 시계보다 느리게 감으로써, 두 관찰자의 시간이 다른 속도로 흐름을 말한다. 이러한 모든 분석은 정답이 되는 4번 선지와 정확히 대칭적이며, 이에 따르면, 어떠한 관찰자가 보든, 자신의 입장에서 운동 중인 대상의 시간은 자신의 시간보다 느리게 흐른다. | ||
* 5번. 을이 보기에 버스는 오른쪽으로 움직이고 있다. 따라서 을이 보기에, C에서 출발한 빛이 D에 도착하려면 비스듬한 길을 따라 <math>L</math>보다 더 긴 거리를 이동해야 한다. 그런데 아인슈타인에 의하면, 빛의 속도는 누구에게나 항상 <math>c</math>로 일정하고, 문제의 설명에 의하면 시간은 각자의 빛 왕복 시계로 측정된다. 따라서 을이 보기에 빛이 D에 도달하는 데 걸리는 시간은 자신의 시계 속 빛이 <math>0.5L</math>의 간격을 왕복하는 데 (즉 <math>L</math>의 거리를 이동하는 데) 걸리는 시간인 1똑딱보다 길다. | * 5번. 을이 보기에 버스는 오른쪽으로 움직이고 있다. 따라서 을이 보기에, C에서 출발한 빛이 D에 도착하려면 비스듬한 길을 따라 <math>L</math>보다 더 긴 거리를 이동해야 한다. 그런데 아인슈타인에 의하면, 빛의 속도는 누구에게나 항상 <math>c</math>로 일정하고, 문제의 설명에 의하면 시간은 각자의 빛 왕복 시계로 측정된다. 따라서 을이 보기에 빛이 D에 도달하는 데 걸리는 시간은 자신의 시계 속 빛이 <math>0.5L</math>의 간격을 왕복하는 데 (즉 <math>L</math>의 거리를 이동하는 데) 걸리는 시간인 1똑딱보다 길다. | ||
====심화 이해 1 : 시간 지연==== | |||
[[그림:시간 지연 공식의 유도.png|thumb|을에게 자신의 시계의 1똑딱(<math>T</math>)은 위아래를 왕복하는 시간인 반면, 을이 보기에 갑의 시계는 <math>v</math>의 속도로 오른쪽으로 운동 중이며, 따라서 갑의 시계의 1똑딱(<math>t</math>)은 빛이 <math>c</math>의 속도로 비스듬한 경로를 따라 왕복하는 시간이 된다.]] | |||
관찰자 을에게 자신의 시계의 1똑딱(T)은 빛이 <math>c</math>의 속도로 총 <math>L</math>의 거리를 움직이는 데 걸리는 시간으로, 아래와 같이 결정된다. | |||
:<math>T = \frac{L}{c}</math> | |||
반면 관찰자 을에게, 갑의 시계는 <math>v</math>의 속도로 오른쪽으로 운동 중이며, 따라서 갑의 시계의 1똑딱(<math>t</math>)은 빛이 <math>c</math>의 속도로 비스듬한 경로를 따라 왕복하는 시간이 되며, 시계<sub>갑</sub>의 1똑딱 <math>t</math>, 관찰자 을에 대한 시계의 속도 <math>v</math>, 빛의 속도 <math>c</math> 사이에는 아래와 같은 간단한 관계가 성립한다. | |||
:<math>(ct/2)^2 = (vt/2)^2 + (L/2)^2</math> (피타고라스의 정리에 의해) | |||
이를 정리하면 | |||
:<math>(c^2 - v^2)t^2 = L^2</math> | |||
이 되고, 시계<sub>갑</sub>의 1똑딱 <math>t</math>는 아래와 같이 정리된다. | |||
:<math>\begin{align} | |||
t &= \frac{1}{\sqrt{c^2 - v^2}} L \\ | |||
&=\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \frac{L}{c} \\ | |||
&=\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} T | |||
\end{align}</math> | |||
이에 따르면, 시계<sub>갑</sub>의 1똑딱 <math>t</math>는 관찰자 을에 대한 시계의 속도 <math>v</math>가 증가할수록 함께 증가한다. | |||
====심화 이해 2 : 길이 수축==== | |||
문제의 고찰에 따르면 다른 지점에서 일어나는 사건들의 동시성은 관찰자에 따라 달라질 수 있다. 예컨대 빛이 A에 도달하는 사건과 B에 도달하는 사건은 갑에게는 동시적인 반면, 을에게는 동시적이지 않다. 그렇다고 아인슈타인이 모든 동시성을 관찰자 의존적인 것으로 생각한 것은 아니다. 적어도 관찰자에 의존하지 않는 동시성도 있는데, 그것은 바로 한 지점에서 일어나는 사건들의 동시성이다. 예를 들어, C에서 출발한 빛이 각각 A, B, D에 반사되어 돌아와 C에서 다시 만나는 사건은 분명히 갑에게 동시적인 사건이며, 그렇다면 그것은 을에게도 동시적인 사건이어야 한다. 그런데 을의 입장에서 C에서 출발한 빛이 D에서 반사되어 돌아오는 시간은 <math>2t</math>, 즉, <math>2\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} T</math>이다. | |||
그런데 을의 입장에서 여전히 버스의 길이가 여전히 <math>2L</math>이라면, C에서 출발한 빛이 B에서 반사되어 돌아오는 시간은 아래와 같이 계산된다. | |||
:C에서 D까지의 경로 : <math>ct_1 = L+vt_1</math>. 따라서 <math>t_1 = L/(c-v)</math> | |||
:D에서 C까지의 경로 : <math>ct_2 = L-vt_2</math>. 따라서 <math>t_2 = L/(c+v)</math> | |||
:전체 시간 <math>t_1 + t_2 = L/(c-v) + L/(c+v) = \frac{2cL}{c^2 - v^2} = 2 \frac{1}{1 - (v/c)^2} \frac{L}{c} = 2 \frac{1}{1 - (v/c)^2} T</math> | |||
그런데 이 시간은 빛이 D를 거쳐 돌아오는 시간과 같지 않다. 즉, | |||
:<math>2\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} T \neq 2 \frac{1}{1 - (v/c)^2} T</math> | |||
[[그림:길이 수축 공식의 유도.png|thumb|을의 입장에서 버스의 높이는 <math>L</math>로 그대로이지만, 버스가 움직이는 방향의 길이는 <math>2l</math>로 변화한다고 가정하자. 버스 안에 있는 갑의 입장에서 D에서 반사되어 돌아오는 빛과 B에서 반사되어 돌아오는 빛이 동시에 만난다면, 버스 밖의 관찰자 을의 입장에서도 두 빛으 동시에 만나야 한다. 이를 기준 삼아, 버스의 길이 변화를 유도할 수 있다.]] | |||
아인슈타인의 해법은 관찰자 을의 입장에서 움직이는 버스의 길이가 정지해 있을 때의 길이와 달라진다는 것이다. <math>v</math>의 속도로 움직이는 버스의 길이가 <math>2L</math> 대신 <math>2l</math>이 된다고 가정하면, C에서 출발한 빛이 B에서 반사되어 돌아오는 시간은 아래와 같이 계산된다. | |||
:C에서 D까지의 경로 : <math>ct_1 = l+vt_1</math>. 따라서 <math>t_1 = l/(c-v)</math> | |||
:D에서 C까지의 경로 : <math>ct_2 = l-vt_2</math>. 따라서 <math>t_2 = l/(c+v)</math> | |||
:전체 시간 <math>t_1 + t_2 = l/(c-v) + l/(c+v)=2\frac{1}{1-(v/c)^2}\frac{l}{c}</math> | |||
이제 이 시간은 빛이 D를 거쳐 돌아오는 시간 <math>2\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} T</math>와 같아야 한다. 즉, | |||
:<math>\begin{align} | |||
2\frac{1}{1-(v/c)^2}\frac{l}{c} &= 2\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} T \\ | |||
&= 2\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \frac{L}{c} | |||
\end{align}</math> | |||
이를 정리하면, | |||
:<math>l = \sqrt{1 - (v/c)^2} L</math> | |||
이에 따르면, 관찰자 을에게 움직이는 버스의 길이는 그 속도 <math>v</math>가 증가할수록 줄어든다. | |||
=== 문제 2 === | === 문제 2 === | ||
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# 아인슈타인의 입장에서, (가)와 (나)에서 발견되는 자석과 도선의 상호 작용은 서로 다른 종류의 현상이다. | # 아인슈타인의 입장에서, (가)와 (나)에서 발견되는 자석과 도선의 상호 작용은 서로 다른 종류의 현상이다. | ||
# 아인슈타인의 입장에서, (가)의 관찰자는 전기장을 탐지하지만, (나)의 관찰자는 전기장을 탐지하지 못한다. | # 아인슈타인의 입장에서, (가)의 관찰자는 전기장을 탐지하지만, (나)의 관찰자는 전기장을 탐지하지 못한다. | ||
'''정답 해설''' | |||
* 정답 : 1번. 고전 전자기학의 입장에서 문제의 현상들을 완전하게 기술하려면, 자석과 도선이 에테르에 대해 어떠한 운동 상태인지를 알아야 한다. 그러나 문제에는 그러한 정보가 주어지지 않은 채 서로 다른 관찰 시점만을 제공하기 있기 때문에, 고전 전자기학의 입장에서는 (가)와 (나)에서 실제로 벌어지는 일을 완전하게 기술할 수 없다. | |||
'''오답 해설''' | |||
* 2번. 고전 전자기학의 입장에서 문제의 현상들을 완전하게 기술하려면, 자석과 도선이 에테르에 대해 어떠한 운동 상태인지를 알아야 한다. 그러나 문제에는 그러한 정보가 주어지지 않은 채 서로 다른 관찰 시점만을 제공하기 있기 때문에, (가)와 (나) 중 어느 상황에서 전기장이 형성되었는지 알 수 없다. | |||
* 3번. (가)와 (나)는 모두 자석과 도선이 서로를 향해 접근 중인 상황으로, 도선에 전류가 유도되는 현상이다. 고전 전자기학은 에테르에 대해 정지한 것이 무엇이고 운동 중인 것이 무엇인지에 따라 그에 대한 설명을 달리 할 뿐, 도선에 전류가 유도된다는 동일한 관찰 귀결은 부정하지 않는다. | |||
* 4번. 아인슈타인에 의하면, (가)와 (나)는 모두 자석과 도선의 상대적인 운동에 의해 전류가 유도되는 동일한 현상이다. | |||
* 5번. 아인슈타인에 의하면, 도선에 대해 정지해 있는 관찰자에게는 전기장 성분이 탐지되고, 자석에 대해 정지해 있는 관찰자에게는 전기장 성분이 탐지되지 않는다. 도선에 대해 정지해 있는 관찰자는 (나)의 관찰자이고, 자석에 대해 정지해 있는 관찰자는 (가)의 관찰자이므로, (가)의 관찰자는 전기장을 탐지지 못하지만, (나)의 관찰자는 전기장을 탐지한다. | |||
== 관련 항목 == | == 관련 항목 == | ||