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"케플러의 법칙"의 두 판 사이의 차이
→현대적인 증명
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| (같은 사용자의 중간 판 3개는 보이지 않습니다) | |||
| 35번째 줄: | 35번째 줄: | ||
이어서 <math>C, D, E</math> 등에서 <math>S</math> 방향으로 받은 충격을 고려하면 아래와 같은 관계가 성립한다. | 이어서 <math>C, D, E</math> 등에서 <math>S</math> 방향으로 받은 충격을 고려하면 아래와 같은 관계가 성립한다. | ||
:<math>\triangle SAB = \triangle SBC = \triangle SCD = \triangle SDE = \triangle SEF =\cdots</math> | :<math>\triangle SAB = \triangle SBC = \triangle SCD = \triangle SDE = \triangle SEF = \cdots</math> | ||
위의 관계는 <math>\Delta t</math>를 극히 작은 크기로 줄이더라도 성립하게 되며, 이는 하나의 점 S로부터 '지속적으로' 힘을 받는 물체의 부드러운 곡선 궤도 운동에도 그대로 적용될 수 있다. 즉 임의의 물체 <math>P</math>가 일정한 점 <math>S</math>로부터의 인력, 즉 구심력만을 받고 있을 경우 선분 <math>SP</math>가 같은 시간 동안 휩쓸고 지나가는 면적은 항상 동일하며, 이를 다르게 표현할 경우 그 면적은 시간에 비례한다. (주의할 점 : 이 법칙은 구심력의 크기와는 무관하게 성립한다.) | 위의 관계는 <math>\Delta t</math>를 극히 작은 크기로 줄이더라도 성립하게 되며, 이는 하나의 점 S로부터 '지속적으로' 힘을 받는 물체의 부드러운 곡선 궤도 운동에도 그대로 적용될 수 있다. 즉 임의의 물체 <math>P</math>가 일정한 점 <math>S</math>로부터의 인력, 즉 구심력만을 받고 있을 경우 선분 <math>SP</math>가 같은 시간 동안 휩쓸고 지나가는 면적은 항상 동일하며, 이를 다르게 표현할 경우 그 면적은 시간에 비례한다. (주의할 점 : 이 법칙은 구심력의 크기와는 무관하게 성립한다.) | ||
| 50번째 줄: | 50번째 줄: | ||
:그런데 구심력에 의해 움직이는 물체가 훓고 지나가는 면적은 시간에 비례하므로, | :그런데 구심력에 의해 움직이는 물체가 훓고 지나가는 면적은 시간에 비례하므로, | ||
::<math>\lim_{Q \to P} {\triangle SPQ \over \Delta t} = {1 \over 2} \lim_{Q \to P} {SP \cdot QT \over \Delta t} = {L \over 2} \quad ( | ::<math>\lim_{Q \to P} {\triangle SPQ \over \Delta t} = {1 \over 2} \lim_{Q \to P} {SP \cdot QT \over \Delta t} = {L \over 2} \quad (\text{constant})</math> (단, <math>QT \perp SP</math>). | ||
| 70번째 줄: | 70번째 줄: | ||
:그런데 타원의 성질에 의해 <math>\angle IPR = \angle HPZ</math>이고, <math>IH \parallel IR</math>이므로, | :그런데 타원의 성질에 의해 <math>\angle IPR = \angle HPZ</math>이고, <math>IH \parallel IR</math>이므로, | ||
::<math>\angle PIH = \angle PHI</math> | ::<math>\angle PIH = \angle PHI</math> | ||
::<math>PI=PH \text{ } (\because 이등변삼각형)</math> | ::<math>PI=PH \text{ } (\because \text{이등변삼각형})</math> | ||
| 105번째 줄: | 105번째 줄: | ||
:(6)의 식에 (7)을 적용하면, | :(6)의 식에 (7)을 적용하면, | ||
:: <math>\begin{ | :: <math>\begin{align} | ||
\lim_{Q \rightarrow P} {QT^2 \over QR } &= \lim_{Q \rightarrow P} {{b^2 \cdot PC \cdot (CP+Cv) \cdot Pv} \over {a \cdot Pv \cdot PC^2}} \\ | \lim_{Q \rightarrow P} {QT^2 \over QR } &= \lim_{Q \rightarrow P} {{b^2 \cdot PC \cdot (CP+Cv) \cdot Pv} \over {a \cdot Pv \cdot PC^2}} \\ | ||
&= {{2b^2 \cdot PC^2 \cdot Pv} \over {a \cdot PC^2 \cdot Pv}} \quad ( \because \lim_{Q \rightarrow P} (CP+Cv) =2PC )\\ | &= {{2b^2 \cdot PC^2 \cdot Pv} \over {a \cdot PC^2 \cdot Pv}} \quad ( \because \lim_{Q \rightarrow P} (CP+Cv) =2PC )\\ | ||
&= {2b^2 \over a} \text{ } \quad \cdots \text{ } (\rm N3) | &= {2b^2 \over a} \text{ } \quad \cdots \text{ } (\rm N3) | ||
\end{ | \end{align}</math> | ||
| 140번째 줄: | 140번째 줄: | ||
이를 시간 <math>t</math>에 대해 한 번 더 미분하면, | 이를 시간 <math>t</math>에 대해 한 번 더 미분하면, | ||
:<math>\displaystyle \begin{ | :<math>\displaystyle \begin{align} | ||
{d^2 \mathbf r \over dt^2} &= {d^2 r \over dt^2} \hat r + {dr \over dt} {d \hat r \over dt} + {dr \over dt } {d \theta \over dt} \hat \theta + r {d^2 \theta \over dt^2} \hat \theta + r {d \theta \over dt}{d \hat \theta \over dt} \\ | {d^2 \mathbf r \over dt^2} &= {d^2 r \over dt^2} \hat r + {dr \over dt} {d \hat r \over dt} + {dr \over dt } {d \theta \over dt} \hat \theta + r {d^2 \theta \over dt^2} \hat \theta + r {d \theta \over dt}{d \hat \theta \over dt} \\ | ||
&= \left( {d^2 r \over dt^2} - r \left( {d \theta \over dt} \right)^2 \right) \hat r + \left( r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} \right) \hat \theta | &= \left( {d^2 r \over dt^2} - r \left( {d \theta \over dt} \right)^2 \right) \hat r + \left( r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} \right) \hat \theta | ||
\end{ | \end{align}</math>. | ||
| 160번째 줄: | 160번째 줄: | ||
(M2)의 미분방정식은 아래와 같이 풀린다. | (M2)의 미분방정식은 아래와 같이 풀린다. | ||
:<math>\displaystyle r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} = {1 \over r} {d \over dt} \left( r^2 {d \theta \over dt} \right) = 0 </math> | :<math>\displaystyle r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} = {1 \over r} {d \over dt} \left( r^2 {d \theta \over dt} \right) = 0 </math> | ||
:<math>\displaystyle \therefore r^2 {d \theta \over dt } = L ( | :<math>\displaystyle \therefore r^2 {d \theta \over dt } = L (\text{constant}) \cdots (\rm M3) </math> | ||
[[그림:면적 속도 일정의 법칙.png|left|thumb|궤도 운동을 하는 점과 중심 사이를 잇는 선분이 훑고 지나가는 면적 <math>dA</math>]] | [[그림:면적 속도 일정의 법칙.png|left|thumb|궤도 운동을 하는 점과 중심 사이를 잇는 선분이 훑고 지나가는 면적 <math>dA</math>]] | ||
| 166번째 줄: | 166번째 줄: | ||
(M3)를 이용하여 궤도 운동을 하는 물체와 중심을 잇는 선분이 단위 시간마다 훑고 지나가는 면적 <math>{dA \over dt}</math>를 구하면 | (M3)를 이용하여 궤도 운동을 하는 물체와 중심을 잇는 선분이 단위 시간마다 훑고 지나가는 면적 <math>{dA \over dt}</math>를 구하면 | ||
:<math>\displaystyle {dA \over dt} = {1 \over 2} r^2 {d \theta \over dt}= {L \over 2} \quad ( | :<math>\displaystyle {dA \over dt} = {1 \over 2} r^2 {d \theta \over dt}= {L \over 2} \quad (\text{constant}) \quad \cdots (K2)</math> | ||