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번
"케플러의 법칙"의 두 판 사이의 차이
→현대적인 증명
| (같은 사용자의 중간 판 2개는 보이지 않습니다) | |||
| 50번째 줄: | 50번째 줄: | ||
:그런데 구심력에 의해 움직이는 물체가 훓고 지나가는 면적은 시간에 비례하므로, | :그런데 구심력에 의해 움직이는 물체가 훓고 지나가는 면적은 시간에 비례하므로, | ||
::<math>\lim_{Q \to P} {\triangle SPQ \over \Delta t} = {1 \over 2} \lim_{Q \to P} {SP \cdot QT \over \Delta t} = {L \over 2} \quad ( | ::<math>\lim_{Q \to P} {\triangle SPQ \over \Delta t} = {1 \over 2} \lim_{Q \to P} {SP \cdot QT \over \Delta t} = {L \over 2} \quad (\text{constant})</math> (단, <math>QT \perp SP</math>). | ||
| 70번째 줄: | 70번째 줄: | ||
:그런데 타원의 성질에 의해 <math>\angle IPR = \angle HPZ</math>이고, <math>IH \parallel IR</math>이므로, | :그런데 타원의 성질에 의해 <math>\angle IPR = \angle HPZ</math>이고, <math>IH \parallel IR</math>이므로, | ||
::<math>\angle PIH = \angle PHI</math> | ::<math>\angle PIH = \angle PHI</math> | ||
::<math>PI=PH \text{ } (\because 이등변삼각형)</math> | ::<math>PI=PH \text{ } (\because \text{이등변삼각형})</math> | ||
| 105번째 줄: | 105번째 줄: | ||
:(6)의 식에 (7)을 적용하면, | :(6)의 식에 (7)을 적용하면, | ||
:: <math>\begin{ | :: <math>\begin{align} | ||
\lim_{Q \rightarrow P} {QT^2 \over QR } &= \lim_{Q \rightarrow P} {{b^2 \cdot PC \cdot (CP+Cv) \cdot Pv} \over {a \cdot Pv \cdot PC^2}} \\ | \lim_{Q \rightarrow P} {QT^2 \over QR } &= \lim_{Q \rightarrow P} {{b^2 \cdot PC \cdot (CP+Cv) \cdot Pv} \over {a \cdot Pv \cdot PC^2}} \\ | ||
&= {{2b^2 \cdot PC^2 \cdot Pv} \over {a \cdot PC^2 \cdot Pv}} \quad ( \because \lim_{Q \rightarrow P} (CP+Cv) =2PC )\\ | &= {{2b^2 \cdot PC^2 \cdot Pv} \over {a \cdot PC^2 \cdot Pv}} \quad ( \because \lim_{Q \rightarrow P} (CP+Cv) =2PC )\\ | ||
&= {2b^2 \over a} \text{ } \quad \cdots \text{ } (\rm N3) | &= {2b^2 \over a} \text{ } \quad \cdots \text{ } (\rm N3) | ||
\end{ | \end{align}</math> | ||
| 140번째 줄: | 140번째 줄: | ||
이를 시간 <math>t</math>에 대해 한 번 더 미분하면, | 이를 시간 <math>t</math>에 대해 한 번 더 미분하면, | ||
:<math>\displaystyle \begin{ | :<math>\displaystyle \begin{align} | ||
{d^2 \mathbf r \over dt^2} &= {d^2 r \over dt^2} \hat r + {dr \over dt} {d \hat r \over dt} + {dr \over dt } {d \theta \over dt} \hat \theta + r {d^2 \theta \over dt^2} \hat \theta + r {d \theta \over dt}{d \hat \theta \over dt} \\ | {d^2 \mathbf r \over dt^2} &= {d^2 r \over dt^2} \hat r + {dr \over dt} {d \hat r \over dt} + {dr \over dt } {d \theta \over dt} \hat \theta + r {d^2 \theta \over dt^2} \hat \theta + r {d \theta \over dt}{d \hat \theta \over dt} \\ | ||
&= \left( {d^2 r \over dt^2} - r \left( {d \theta \over dt} \right)^2 \right) \hat r + \left( r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} \right) \hat \theta | &= \left( {d^2 r \over dt^2} - r \left( {d \theta \over dt} \right)^2 \right) \hat r + \left( r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} \right) \hat \theta | ||
\end{ | \end{align}</math>. | ||
| 160번째 줄: | 160번째 줄: | ||
(M2)의 미분방정식은 아래와 같이 풀린다. | (M2)의 미분방정식은 아래와 같이 풀린다. | ||
:<math>\displaystyle r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} = {1 \over r} {d \over dt} \left( r^2 {d \theta \over dt} \right) = 0 </math> | :<math>\displaystyle r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} = {1 \over r} {d \over dt} \left( r^2 {d \theta \over dt} \right) = 0 </math> | ||
:<math>\displaystyle \therefore r^2 {d \theta \over dt } = L ( | :<math>\displaystyle \therefore r^2 {d \theta \over dt } = L (\text{constant}) \cdots (\rm M3) </math> | ||
[[그림:면적 속도 일정의 법칙.png|left|thumb|궤도 운동을 하는 점과 중심 사이를 잇는 선분이 훑고 지나가는 면적 <math>dA</math>]] | [[그림:면적 속도 일정의 법칙.png|left|thumb|궤도 운동을 하는 점과 중심 사이를 잇는 선분이 훑고 지나가는 면적 <math>dA</math>]] | ||
| 166번째 줄: | 166번째 줄: | ||
(M3)를 이용하여 궤도 운동을 하는 물체와 중심을 잇는 선분이 단위 시간마다 훑고 지나가는 면적 <math>{dA \over dt}</math>를 구하면 | (M3)를 이용하여 궤도 운동을 하는 물체와 중심을 잇는 선분이 단위 시간마다 훑고 지나가는 면적 <math>{dA \over dt}</math>를 구하면 | ||
:<math>\displaystyle {dA \over dt} = {1 \over 2} r^2 {d \theta \over dt}= {L \over 2} \quad ( | :<math>\displaystyle {dA \over dt} = {1 \over 2} r^2 {d \theta \over dt}= {L \over 2} \quad (\text{constant}) \quad \cdots (K2)</math> | ||