"케플러의 법칙"의 두 판 사이의 차이

둘러보기로 가기 검색하러 가기
18 바이트 추가됨 ,  2021년 7월 13일 (화) 08:35
 
140번째 줄: 140번째 줄:


이를 시간 <math>t</math>에 대해 한 번 더 미분하면,
이를 시간 <math>t</math>에 대해 한 번 더 미분하면,
:<math>\displaystyle \begin{split}
:<math>\displaystyle \begin{align}
{d^2 \mathbf r \over dt^2} &= {d^2 r \over dt^2} \hat r + {dr \over dt} {d \hat r \over dt} + {dr \over dt } {d \theta \over dt} \hat \theta + r {d^2 \theta \over dt^2} \hat \theta + r {d \theta \over dt}{d \hat \theta \over dt} \\
{d^2 \mathbf r \over dt^2} &= {d^2 r \over dt^2} \hat r + {dr \over dt} {d \hat r \over dt} + {dr \over dt } {d \theta \over dt} \hat \theta + r {d^2 \theta \over dt^2} \hat \theta + r {d \theta \over dt}{d \hat \theta \over dt} \\
&= \left( {d^2 r \over dt^2} - r \left( {d \theta \over dt} \right)^2 \right) \hat r + \left( r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} \right) \hat \theta  
&= \left( {d^2 r \over dt^2} - r \left( {d \theta \over dt} \right)^2 \right) \hat r + \left( r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} \right) \hat \theta  
\end{split}</math>.
\end{align}</math>.




160번째 줄: 160번째 줄:
(M2)의 미분방정식은 아래와 같이 풀린다.
(M2)의 미분방정식은 아래와 같이 풀린다.
:<math>\displaystyle r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} = {1 \over r} {d \over dt} \left( r^2 {d \theta \over dt}  \right) = 0 </math>
:<math>\displaystyle r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} = {1 \over r} {d \over dt} \left( r^2 {d \theta \over dt}  \right) = 0 </math>
:<math>\displaystyle \therefore r^2 {d \theta \over dt } = L (상수) \cdots (\rm M3) </math>
:<math>\displaystyle \therefore r^2 {d \theta \over dt } = L (\text{constant}) \cdots (\rm M3) </math>


[[그림:면적 속도 일정의 법칙.png|left|thumb|궤도 운동을 하는 점과 중심 사이를 잇는 선분이 훑고 지나가는 면적 <math>dA</math>]]
[[그림:면적 속도 일정의 법칙.png|left|thumb|궤도 운동을 하는 점과 중심 사이를 잇는 선분이 훑고 지나가는 면적 <math>dA</math>]]
166번째 줄: 166번째 줄:


(M3)를 이용하여 궤도 운동을 하는 물체와 중심을 잇는 선분이 단위 시간마다 훑고 지나가는 면적 <math>{dA \over dt}</math>를 구하면
(M3)를 이용하여 궤도 운동을 하는 물체와 중심을 잇는 선분이 단위 시간마다 훑고 지나가는 면적 <math>{dA \over dt}</math>를 구하면
:<math>\displaystyle {dA \over dt} = {1 \over 2} r^2 {d \theta \over dt}= {L \over 2} \quad (일정) \quad \cdots (K2)</math>
:<math>\displaystyle {dA \over dt} = {1 \over 2} r^2 {d \theta \over dt}= {L \over 2} \quad (\text{constant}) \quad \cdots (K2)</math>




둘러보기 메뉴