"케플러의 법칙"의 두 판 사이의 차이

이를 시간 <math>t</math>에 대해 한 번 더 미분하면,

이를 시간 <math>t</math>에 대해 한 번 더 미분하면,

{d^2 \mathbf r \over dt^2} &= {d^2 r \over dt^2} \hat r + {dr \over dt} {d \hat r \over dt} + {dr \over dt } {d \theta \over dt} \hat \theta + r {d^2 \theta \over dt^2} \hat \theta + r {d \theta \over dt}{d \hat \theta \over dt} \\

{d^2 \mathbf r \over dt^2} &= {d^2 r \over dt^2} \hat r + {dr \over dt} {d \hat r \over dt} + {dr \over dt } {d \theta \over dt} \hat \theta + r {d^2 \theta \over dt^2} \hat \theta + r {d \theta \over dt}{d \hat \theta \over dt} \\

&= \left( {d^2 r \over dt^2} - r \left( {d \theta \over dt} \right)^2 \right) \hat r + \left( r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} \right) \hat \theta  

&= \left( {d^2 r \over dt^2} - r \left( {d \theta \over dt} \right)^2 \right) \hat r + \left( r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} \right) \hat \theta  

(M2)의 미분방정식은 아래와 같이 풀린다.

(M2)의 미분방정식은 아래와 같이 풀린다.

:<math>\displaystyle r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} = {1 \over r} {d \over dt} \left( r^2 {d \theta \over dt}  \right) = 0 </math>

:<math>\displaystyle r {d^2 \theta \over dt^2} + 2 {dr \over dt} {d \theta \over dt} = {1 \over r} {d \over dt} \left( r^2 {d \theta \over dt}  \right) = 0 </math>

[[그림:면적 속도 일정의 법칙.png|left|thumb|궤도 운동을 하는 점과 중심 사이를 잇는 선분이 훑고 지나가는 면적 <math>dA</math>]]

[[그림:면적 속도 일정의 법칙.png|left|thumb|궤도 운동을 하는 점과 중심 사이를 잇는 선분이 훑고 지나가는 면적 <math>dA</math>]]

(M3)를 이용하여 궤도 운동을 하는 물체와 중심을 잇는 선분이 단위 시간마다 훑고 지나가는 면적 <math>{dA \over dt}</math>를 구하면

(M3)를 이용하여 궤도 운동을 하는 물체와 중심을 잇는 선분이 단위 시간마다 훑고 지나가는 면적 <math>{dA \over dt}</math>를 구하면