Model (번역)

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Boltzmann, L. (1911). Model. Encyclopaedia Britannica.

루트비히 볼츠만 작성 (번역 : 정동욱)

MODEL (O. 불어 modelle, mod. modèle; 이탈리아어 modello, pattern, mould; 라틴어 modus, measure, standard 에서 유래)

실제로 존재하거나, 실제로 만들어질 예정이거나, 혹은 관념 속에만 있는 어떤 대상에 대한 -- 그와 크기가 같든, 크든, 작든 -- 손에 닿는(tangible) 표상. 보다 일반적으로는, 그것의 속성이 모방의 대상이 되는 어떤 것 -- 실제로 존재하는 것이든, 아니면 단지 관념적으로만 상상할 수 있는 것이든 -- 을 지칭하기도 한다. 주물 공장에서, 주물(cast)을 뜰 대상은, 공학적인 목적이든 예술적인 목적이든, 보통 우선 쉽게 작업 가능한 물질로, 일반적으로는 나무로, 제작된다. 그러고 나면 이 모형의 형태는 찰흙이나 석고로 재생산되고, 그렇게 만들어진 주형(mould)에 융해된 금속을 붓는다. 조각가는 우선 밀랍(wax)처럼 부드러운 물질로 그가 조각하고자 하는 대상의 모형을 만드는데, 이 밀랍 모형을, 실물 그대로, 최종적인 작품이 제작될 돌로 옮기는 데에는 정교하고 복잡한 솜씨가 동원된다. 해부학과 생리학에서, 모형은 특히 교수 및 학습 보조용으로 사용되고 있는데, 석고 본뜨기(moulage) 또는 색상 입히기(chromoplastic)와 같은 방법은 살아있는 유기체에 대한 선명한 인상을 만들어주며, 형태와 색깔 모두를 모방한 해부학과 의학 표본을 가능케 해준다. 미시적인 혹은 극히 미시적인 대상의 주형 모형을 만드는 데에는 또다른 특별한 방법이 사용된다. 그들의 내부 상태와 구조는 미리 연구된 상태일 수 있는데, 이들은 마이크로톰(microtome)의 수많은 가로면 절단을 통해 극도로 얇은 절편들로 나뉜다. 그러고 나면 이 각각의 조각들은 확대된 크기로 밀랍이나 펄프의 절편들로 모형화되고, 이 절편들이 함께 굳으면 대상을 재생산하는 형태가 만들어진다.

사고 속의 표상(Representation in Thought)

수학적, 물리적, 기계적(역학적 mechanical) 과학에서의 모형들은 매우 중요하다. 오래 전 철학은 우리 사고 과정의 본질이 우리가 우리 주변의 다양한 실제 대상들에 특정한 물리적 속성들, 즉 우리의 개념들을 부여하고 이를 통해 그 대상들을 우리 마음 속에 표상하려 한다는 사실에 있다고 인지했다. 이러한 관점은 수학자와 물리학자에 의해 쓸모없는 추측(unfertile speculations)에 불과한 것으로 간주되었었지만, 보다 최근 맥스웰(J. C. Maxwell), 헬름홀츠(H. v. Helmholtz), 마흐(E. Mach), 헤르츠(H. Hertz)를 비롯한 많은 사람들은 그것이 수학 및 물리학 이론의 총체와 긴밀한 관계가 있는 것으로 간주하기 시작했다. 이 관점에 따르면, 우리의 사고(thoughts)가 사물(things)과 맺는 관계는 모형이 그것이 표상하는 대상과 맺는 관계와 같다. 그 과정의 본질은 각 사물(thing)에 확정된 내용을 가진 하나의 개념을 부여하는 것인데, 단 이는 사물과 사고 사이의 완벽한 유사성을 함축하지 않는다. 왜냐하면 당연하게도 우리는 우리의 사고를 부여한 사물과 그 사고 사이의 유사성에 대해 거의 아는 것이 없기 때문이다. 그 유사성은 주로 그 관계, 상관관계의 본성에 있는데, 이는 사고와 언어 사이, 언어와 글 사이, 악보의 음표들과 음악 소리 사이 등에서 성립되는 상관관계와 유사하다. 여기서 물론 사물의 기호화는 중요한 점이지만, 가능하다면 둘 사이에 최대한의 대응이 추구된다. 예컨대 음계를 모방하기 위해 음표를 높거나 낮게 놓는 것처럼 말이다. 따라서 우리가 우리의 공간 개념을 얻는 데 도형(figures)이나 도형 기하학의 방법, 또는 다양한 실과 대상 모형을 사용하고, 또 지형(topography)을 개념화하는 데 도면(plans), 지형도(charts), 지구본(globes)을 동원하고, 또 우리의 기계적(역학적 mechanical) 물리적 관념을 얻는 데 운동 모형을 이용해 그것을 보조하려고 할 때, 우리는 단순히 생각 속에서 사물을 이해하고 언어나 글로 그들을 표상할 때의 원리를 확장하고 연장하고 있는 것이다. 정확하게 같은 방식으로, 현미경이나 망원경은 눈에 있는 렌즈의 연장이자 증식이다. 그리고 공책은 기억이 순전히 내부적인 방식으로 수행하는 동일한 과정의 외부적 확장을 표상(재현)한다. 우리가 경도, 거리, 온도 등을 숫자로 표현하는 경우도 모형을 통한 표상과 분명한 일치를 보이는데, 그 경우는 산술적인 유비로 간주되어야 한다. 이와 비슷한 특징을 가진 것으로는 거리를 직선으로 표상하거나 시간에 따른 사건의 경로를 곡선으로 표상하는 것 등을 들 수 있다. 그러나 이 경우에서나, 지도, 지형도, 음표, 그림 등의 경우에서나, 우리는 적법하게 모형을 말할 수 없는데, 왜냐하면 모형은 항상 구체적인 3차원의 공간적인 유사성과 관련되어 있기 때문이다.

과학에서 다루어지는 물체의 부피가 중요하지 않을 경우, 모형 사용의 필요성은 자연히 줄어든다. 사실, 복잡한 모형에 의지하지 않고서 사물을 이해하는 데에는 자명한 장점들이 있다. 모형은 만들기 어렵고, 쉽게 조정가능한 사고, 개념, 계산 기호들과 달리, 극도로 다양한 조건에 맞게 쉽사리 변경되거나 개조될 수 없다. 그러나 과학의 사실이 수적으로 증가함에 따라, 그것들을 이해하고 다른 사람들에게 전달하는 데 최고로 경제적인 방법이 사용되어야 했다. 그래서 시각적인 실연(ocular demonstration)의 확립은, 그것이 복잡한 관계를 빠르고 완전하게 전시하는 데 순수 추상적인 기호보다 훨씬 우수하다는 점에서 피할 수 없었다. 현재 바람직한 것은 다음과 같다. 한편으로는 손에 닿는 모형의 도움에 호소하지 않고 순수 추상적인 전제로부터 결과를 연역하는 능력을 더욱더 완벽하게 만들어야 하며, 다른 한편으로는 문제가 직접적으로는 적절하게 다루어질 수 없는 경우 순수 추상적인 개념들은 객관적이고 이해하기 쉬운 모형에 의해 도움을 받아야 한다.

수학과 물리학의 모형

순수 수학, 특히 기하학에서 모형은 종이반죽이나 석고로 만들어진 모형은 주로 기하학적 도형(figure), 면, 선의 정확한 형태(form)를 지각할 수 있는 형태로 표상(재현)하는 데 사용된다. 직교좌표계에서 2차 방정식으로 표상되는 2차면들은 분류하기 매우 쉬워서, 그 모든 가능한 형태는 몇 가지 모형들로 제시될 수 있다. 단, 곡률선(lines of curvature), 항정선(loxodromics), 측지선(geodesic line)이 면 위에 그려져야 할 경우 이 모형들은 좀더 복잡해질 것이다. 반면, 3차면의 종류는 엄청나게 많아서, 그 기본적인 유형들을 보이기 위해서는, 유해하다고까진 말하진 않더라도, 제작하기 어려운(complicated) 수많은 모형이 필요하다. 보다 복잡한 면의 경우, 싱클래스틱(synclastic) 곡률 혹은 안티클래스틱(anticlastic) 곡률을 가진 통상적인 유형의 면과의 차이를 보이는 특이점들, 예컨대 날카로운 모서리나 꼭지점 혹은 교차면과 같은 지점을 제시하는 것으로 충분하다. 그러한 특이점을 밝히는 일은 현대 수학에서 근본적으로 중요한 일이다.

물리 과학에서도, 형태가 변하지 않는 모형들은 널리 사용되고 있다. 예컨대, 수정에서의 빛의 굴절 작용은, 빛이 모든 방향으로 분산되기 시작하는 수정의 중심에 있는 한 점을 우리가 상상하고 나면 그려질 수 있다. 빛이 출발한 이후 임의의 시점에 도착하는 장소들의 집합은 파면(wave-front)이라 불린다. 이 면은 두 장으로 이루어져 있는데, 그 하나는 다른 하나의 안쪽에 아주 꼭 맞는다. 하나의 광선에서 분리되는 두 광선은 항상 이 면들에 닿은 접면의 접점에 의해 결정된다. 두 개의 축을 가지고 있는 수정의 경우, 이 파면들은 독특한 특이점 -- 이 용어에 대해 위에서 언급한 의미의 -- 을 보이는데, 안쪽 면은 네 개의 돌기(protuberance)를 가진 반면, 바깥쪽 면은 네 개의 깔때기 모양의 역돌기가 있고, 각 역돌기의 최저점은 안쪽 면의 각 돌기의 최고점과 만난다. 각 깔때기에는 한 점에만 닿지 않고 역돌기에 속한 하나의 원에 닿는 접면이 있어서, 그에 대응하는 광선은 두 개의 광선이 아닌 소위 원뿔형 굴절이라 불리는 빛의 완전한 원뿔로 굴절된다. 이는 해밀턴 경(Sir W. R. Hamilton)에 의해 이론적으로 예측되어 험프리 로이드(Humphrey Lloyd)에 의해 실험적으로 탐지되었다. 언어로 적절하게 표현되기 어려운 이 조건은 석고로 만들어진 그 파면이 우리 눈앞에 놓이자 곧바로 자명한 것이 되었다. 열역학에서도 유사한 모형이, 다른 목적 가운데, 물체의 세 가지 열역학적 변수, 예컨대 그것의 온도, 압력, 부피 사이의 관계를 보여주는 면(surfaces)을 표상하는 데 사용된다. 이러한 열역학적 면의 모형을 한번 보면 아주 다양한 조건 하에서의 특정한 물질의 행동을 바로 알아차릴 수 있다. 종좌표가 그 면을 한 번만 가로지를 때 그 물체는 하나의 상태만 가지겠지만, 여러 번 교차할 경우엔 액체나 기체와 같은 여러 상태가 가능할 것이다. 이 영역들 사이의 경계에는 임계 상태가 있어서, 거기서는 한나의 상태에서 다른 상태로의 전이가 일어난다. 요소들(elements) 중 하나로 열량계에서 나타나는 양(예컨대, 엔트로피)이 선택된다면, 열이 들어오거나 빠져나갈 때 그 물체의 행동에 대한 정보도 얻을 수 있다.

지금까지 얘기한 고정 모형 외에도, 다양한 형태의 운동 모형들이 있는데, 기하학에서는 기하학적 도형들이 어떻게 만들어지는지를 다른 도형의 운동을 통해 보여주는 데 그러한 모형이 사용된다(예컨대, 면이 만들어지는 것을 선의 운동을 통해 보여주는 모형). 움직일 수 있는 막대, 코드, 휠, 롤러 등 사이에 실을 단단히 묶은 실 모형들도 이에 포함된다. 역학과 공학에서는, 전체 기계 또는 그 구성요소와 부품의 작동을 눈으로 보여주기 위해 수없이 다양한 작동 모형들(working models)이 사용된다. 이론적 역학에서는 흥미롭거나 특별한 경우들(예컨대, 낙하하는 물체의 운동이나 팽이의 운동, 회전하는 지구 위에 있는 진자의 운동, 유체의 소용돌이 운동 등)에서 작동하는 운동의 물리 법칙을 보여주기 위해 모형이 자주 사용된다. 이와 유사한 것으로는 다양한 물리적 현상을 설명하기 위해 고안된 가설적 운동을 어느 정도 정확하게 수행하는 모형들을 들 수 있다. 예컨대, 음파에서의 입자들의 운동 또는 광파에서의 에테르 원자들의 보다 가설적인 운동을 보여주는 복잡한 파동-기계와 같은 것들을 들 수 있다.

자연의 이론

최근 이런 종류의 모형들이 부각되고 있는데, 이는 자연에 대한 우리 관념상의 변화와 밀접하게 연관되어 있다. 우주의 문제를 푸는 데 시도된 첫 번째 방법은 전적으로 뉴턴의 법칙의 영향력 하에 있었다. 그의 보편 중력 법칙에 유비하여, 모든 물체는 원거리상에서 직접 작용하는 질점들(원자 혹은 분자)로 구성되어 있는 것으로 간주되었다. 그러나 이 원거리 작용의 사정은 그것이 고체탄성체의 성질뿐 아니라 유체(액체와 기체 모두)의 성질까지도 설명할 수 있다는 점에서 뉴턴의 인력 법칙의 사정과 다른 것으로 간주되었다. 열 현상은 눈에 완전히 안 보이는 미세한 입자들의 운동으로 설명되었고, 빛 현상을 설명하기 위해서는 빛 에테르(luminiferous aether)라 불리는 만질 수 없는(impalpable) 매체가 온 우주에 퍼져있다고 가정되었다. 그것[빛 에테르]에는 고체가 가진 같은 성질들이 부여되었고, 또 그것이, 매우 세밀한 조성이지만, 원자들로 구성되어 있다는 점도 가정되었다. 전기와 자기 현상을 설명하기 위해 세 번째 종류의 물질, 즉 전기 유체에 대한 가정이 만들어졌다. 그에 따르면, 전기 유체는 유체의 성질을 넘어서는 것으로 인식되었지만, 여전히 극히 작은(infinitesimal) 입자들로 구성되었으면서 서로 원거리에서 직접 작용했다. 이론 물리학의 이 첫 단계는 직접적인 단계로 불릴 수 있는데, 물질의 내부 구조를 실제로 존재하는 것으로서 탐구하는 것을 그 주요 목적으로 삼는다는 점에서 말이다. 그것은 모든 자연 현상의 원인을 극히 작은 입자들의 운동, 즉 순수 역학적인 현상에서 찾는다는 점에서, 자연에 대한 역학적 이론으로도 알려져 있다. 자기와 전기 현상을 설명하는 과정에서 이는 다소 인공적이고 불가능해 보이는 가설들에 이르게 되었고, 이는 마이클 패러데이(Michael Faraday)의 생각을 채택하고 있던 맥스웰로 하여금 전기와 자기 현상에 대한 내용적으로도 새로울 뿐 아니라 형식적으로도 완전히 다른 이론을 제안하도록 이끌었다. 만약 옛 이론의 분자와 원자가 추상적인 의미에서의 엄밀한 수학적 점으로 간주되지 않는다면, 그것의 참된 성질과 형태는 완전히 알 수 없는 것으로 간주되어야 할 것이며, 이론에서 요구되는 그것들의 배열과 운동은 단지 자연의 작동을 다소 닮으면서 좀 정확하게는 자연의 작동에 부수적인(incidental) 어떤 측면들을 표상하고 있는 과정으로만 간주되어야 할 것이다. 이를 염두에 두고서, 맥스웰은 순수하게 역학적 과정에 대한 관념으로부터 유래했다는 의미에서 순수 역학적인 한 물리적 이론을 제안했다. 그러나 그는 그렇게 구성된 역학적 작동자(agent)의 (자연적) 존재를 믿지 않으며, 그것들을 단지 현상을 재생산할 수 있는 방식 -- 실제로 존재하는 대상과 모종의 유사성을 가진 -- 으로만 간주한다고 명시적으로 말했다. 또한 그는 그것이 폭넓은 군의 현상들을 동일한 종류로 묶고, 그 안에서 (공통적으로) 성립되는 관계들을 결정짓는 역할을 한다고도 말했다. 더 이상 물질의 실제 내부 구조에 대해 묻지 않으면서, 많은 역학적 유비 또는 동역학적 도해가 가능해졌는데 이는 다른 장점을 지녔다. 사실 맥스웰은 원래 특수하고 복잡한 역학적 배치를 사용했지만, 나중에 이는 더욱 일반적이고 막연한(indefinite) 것이 되었다. 역학적 유비의 이론이라 불린 이 이론은 무수한 기계적(역학적) 모형의 제작을 이끌었다. 맥스웰 자신과 그의 추종자들은 에테르의 역학적 구성뿐 아니라 그 안에서 작동하는 별개의 메커니즘들에 대한 표상을 제공하기 위해 설계된 많은 운동 모형을 고안했다. 이 모형들은 순수히 가설적인 메커니즘의 운동을 표상한다는 점에서, 오래된 파동-기계와 닮았다. 그러나 예전에는 자연에 그러한 메커니즘이 실제로 존재한다는 것을 높은 확률로 가정하는 것이 용인된다고 믿어졌으나, 오늘날 철학자들은 그러한 메커니즘 하에서 보이는 현상과 자연에서 보이는 현상 사이에 부분적인 유사성 이상의 가정을 절대로 전혀 하지 않는다. 여기서 다시 한 번, 나무, 금속, 마분지로 만들어진 이 모형들이 정말로 우리 사고 과정의 연장이자 집적체(integration)라는 점이 완전히 분명해진다. 왜냐하면, 이 관점에 따르면, 물리적 이론은 역학적 모형의 정신적 구성일 뿐으로, 그 모형의 작동은 우리 손에 쥔 기계(mechanism)와의 유비를 통해 이해되고, 그 모형은 자연 현상을 이해하는 데 도움이 될 만큼 자연과 많은 공통점을 가지기 때문이다.

비록 맥스웰은 실제 있는 그대로의 물질의 궁극적인 구조에 대한 정밀한 탐구를 한다는 생각을 포기했지만, 독일에서는 그의 작업이 키르히호프(G. R. Kirchhoff)의 주도로 더욱 더 이루어졌다. 키르히호프는 자신의 목적을 세계의 현상을 설명하는 것이 아닌 묘사하는 것으로 정의했다. 그러나 그는 묘사의 방법을 열린 채로 두기 때문에, 역학적 모형과 유비를 통한 묘사에 호소하는 순간 그의 이론은 맥스웰의 것과 크게 다르지 않게 된다. 순수 수학에 의지하는 것이 특히 양적 관계를 정확하게 묘사하는 데 잘 맞기 때문에, 키르히호프 학파는 수학적 표현과 공식에 의한 묘사를 상당히 강조했고, 물리적 이론의 목적은 일차적으로 물리학의 다양한 분야에 걸친 현상들을 실재에 가장 근접하게 확정하는 공식을 만드는 작업으로 간주되게 되었다. 물리적 이론의 본성에 대한 이러한 관점은 수학적 현상론(mathematical phenomenology)으로 알려져 있다. [그러나] 이것도 유비를 통한 현상 제시(presentation)이다. 수학적이라 불릴 수 있는 그러한 유비만 말하는 것이지만 말이다.

그 말의 가장 넓은 의미에서의, 특히 마흐(E. Mach)가 주장한, 또 다른 현상론은 수학에 덜 주목하는 반면, 운동이라는 현상이 다른 모든 것에 비해 근본적이라는 관점이 너무 경솔하게 채택된 것으로 간주한다. 그것은 오히려 다양한 영역의 현상들을 가장 일반적인 용어로 묘사하는 것을 최고로 중요한 것으로 강조하면서, 각 영역에서는 이로부터 도출되는 자기 고유의 근본 법칙과 관념이 사용되어야 한다고 주장한다. 유비 그리고 하나의 영역을 다른 영역으로 -- 예컨대, 열, 전기 등 -- 그리고 역학적 개념들로 설명하는 일은, 이 이론에서, 인식에 고작해야 잠시 동안의(ephemeral) 도움을 주는 것 정도로만 간주되는데, 그것은 역사적 발전 과정에서 필요하지만, 시간이 지나면 다른 것에 그 자리를 넘겨주거나 과학이라는 영역에서 사라지게 된다는 것이다.

이 모든 이론들은 에너지론(energetics)이라 불리는 이론과 대립되는데, 이 이론은 물질이 아닌 에너지라는 개념을 모든 과학적 탐구에서 근본적인 개념으로 간주한다. 그 이론은 주로 에너지가 다양한 작용 영역에서 보여주는 유사성에 기초해 있는 동시에, 유비에 의한 자연 현상의 해석 또는 설명에도 의지하고 있다. 단 여기서 쓰이는 유비는 역학적이지 않으며, 에너지의 다양한 표현(manifestation) 방식 속에서 에너지의 행동을 다룬다.

실험적 모형

나중에 보다 큰 크기로 완성될 기계의 능력을 시험하기 위해 그것을 작은 크기로 만든 실험적 모형과 지금까지 묘사된 모형 사이에는 분명한 차이가 관찰된다. 여기서 지적되어야 할 것으로는, 크기의 차이만으로도 종종 작동 상의 실질적인 차이가 나타날 수 있다는 점인데, 다양한 능력은 길이 차원에 다양한 방식으로 의존하기 때문이다. 즉 무게는 길이 차원의 세 제곱에 비례하고, 일부 면적 및 그러한 면적에 의존하는 현상들은 길이의 제곱에 비례하며, 다른 효과들 -- 마찰, 열의 전파와 전도, 등 -- 은 다양한 법칙에 따라 변화하게 된다. 따라서 어떤 비행-기계는, 작은 크기로 만들어질 때는 자신의 무게를 지탱할 수 있다가도 그 크기가 커지면 그 힘을 잃는다. 뉴턴 경(Sir Isaac Newton)에 의해 제안된, 길이 차원에 대한 다양한 효과들의 의존성에 관한 이론은 단위의 차원(Dimensions of Unit) 항목에서 다뤄진다. 단순한 조건 하에서, 큰 기계와 비교하여 작은 기계는, 같은 비율로 줄어든 시간 단위를 기준으로, 같은 능력을 가진다고 종종 얘기될 수 있다.

물론 실험적 모형에는 순수 역학적 힘만 작용하는 모형뿐 아니라 열, 전자기 및 다른 기계 장치(예컨대, 발전기와 전신기)의 모형도 포함된다. 이러한 모형들의 가장 큰 컬렉션은 워싱턴 특허국 박물관(Washington Patent Office)에서 볼 수 있을 것이다. 때로, 순수 역학적인 힘 외의 것들도 탐구와 교육의 목적에서 모형으로 작동시키기도 한다. 일련의 자연적 과정들 -- 액체의 운동, 가스의 내부 마찰, 금속에서의 열과 전기의 전도와 같은 -- 은 똑같은 미분 방정식으로 표현될 수도 있다. 그리고 문제의 과정들 중 하나 -- 예컨대, 방금 언급했던 전기의 전도 -- 는 측정을 통해 좇는 것이 때때로 가능하기도 하다. 이제 어떤 모형으로 기체의 내부 마찰 문제에서와 같은 경계 조건을 가진 특정한 경우의 전기 전도 상황을 제시할 수 있다면, 우리는 그 모형의 전기 전도를 측정함으로써 그와 유사한 경우인 (기체의) 내부 마찰 상황에서도 적용되는 수치 자료도 -- 다른 방식으로는 복잡한 계산을 통해서만 구할 수 있는 -- 함께 결정할 수 있다. 더구나 복잡한 계산은 매우 자주 기계 장치의 도움으로 완화될 수 있는데, 정교한 계산 기계(덧셈과 뺄셈 및 매우 복잡한 곱셈과 나눗셈을 놀라운 속도와 정확도로 수행한다)나 기계적인 방법으로 고차 방정식을 푸는 장치, 기하학적 도형의 부피나 면적을 구하는 장치, 적분을 수행하는 장치, 함수를 푸리에 급수로 전개해주는 장치 등의 도움을 받을 수 있다.

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