이슈 : 과학에서 모형은 어떻게 사용되는가?

우리는 과학에서 수많은 모형을 접하게 된다. 모형이란 기본적으로 실제 대상을 흉내내는 대리물을 뜻하는 것으로, 우리는 실제 대상을 대신하는 모형을 통해 간접적으로 실제 대상의 특성을 배우곤 한다. 예를 들어 학생들은 조그맣게 제작된 태양계 모형을 가지고 실제 태양계의 여러 가지 특성을 배울 수 있으며, 장기가 드러나 있는 인체 모형을 가지고 실제 인체의 여러 특성을 배울 수 있다. 때로 과학자들은 자신의 연구 대상 대신 그 특성이 잘 알려진 다른 대상을 모형 삼아 실제 연구 대상의 특성을 탐색하기도 하는데, 이 책에서 다룬 맥스웰도 전자기 시스템의 특성을 파악하기 위해 압축불가능한 유체로 이루어진 수력학적 시스템이나 소용돌이 분자와 유동 바퀴로 이루어진 기계적 시스템을 모형으로 동원했었다. 그러나 실제 대상이 아닌 모형이 어떻게 실제 대상을 탐구하는 데 사용될 수 있는 것일까?

효과적인 교육 전달 매체로서의 모형

유리로 만든 식물 모형. 캐슈 나무의 전체 외관은 실물 크기로, 암술, 수술, 줄기 단면 등의 각 부분은 확대된 크기로 제작되었다. 제작자 : 루돌프 블라취카(Rudolf Blaschka). 전시 : 하버드 자연사 박물관. 출처 : 위키미디아

우리가 알고자 하는 자연의 대상 중에는 너무 크거나, 너무 작거나, 또는 너무 멀리 있어서, 때로는 너무 비싸거나 위험해서, 그것을 직접 보고 만지면서 배우기 힘든 대상이 있다. 이러한 경우 실제 대상을 흉내내는 모형을 제작할 수 있다면, 우리는 그 모형을 통해 실제 대상의 특성들을 대신 배울 수 있을 것이다. 태양계는 너무 크고, 각 행성들은 너무 멀리 있어서 그것을 한 눈에 보기 어려우며, 인체의 장기들은 피부 속에 숨어 있어서 그것을 직접 확인하려면 위험하기도 하거니와 윤리적인 문제가 생길 수 있다. 이때 소형으로 제작된 태양계 모형과 내부 장기가 드러나 있는 인체 모형이 있다면, 우리는 각 행성들의 상대적인 크기와 궤도, 공전 주기를 한 눈에 배울 수 있을 것이며, 인체 내 여러 장기들의 위치와 배열에 대해 배울 수 있을 것이다. 식물의 내부 구조를 알기 위해서는 이를 현미경으로 관찰하는 번거로운 과정이 필요하다. 그러나 전문적인 과학자가 현미경을 통해 관찰한 모양을 그림이나 3차원 모형으로 제작해 둔다면, 일반인들은 그 모형을 통해 식물의 내부 구조를 손쉽게 확인할 수 있을 것이다.

모형은 실제 대상을 흉내내도록 제작된 것이지만, 모든 점을 흉내낼 필요는 없다. 무조건 많이 닮는다고 좋은 것도 아니다. 예컨대 태양계 모형은 실제 태양계와 달리 적당히 작아야 유용하며, 식물 모형은 실제 식물과 달리 썩지 않아야 유용하다. 식물의 아주 작은 부분을 보여주는 모형이라면 실제 크기보다 크게 만들어야 유용하다. 또한 인체 모형은 실제 인체보다 단순해야 유용하며, 때로는 각 장기들의 식별을 돕기 위해 각 장기마다 인공적인 색깔이 입혀지기도 한다. 물론 이러한 의도적인 왜곡은 혼동을 초래할 위험이 있다. 모형에 그려진 색깔을 실제 장기의 색깔로 착각할 수도 있기 때문이다. 그러나 이러한 혼동을 피하도록 충분한 주의를 기울일 수만 있다면, 모형은 매우 훌륭한 교육 전달 매체로서 활용될 수 있다.

기억 보조 장치로서의 모형

흔히 사람들은 새로운 현상을 접하게 되면 그 현상의 특징을 정확하게 포착하고 기억하는 데 어려움을 겪기 마련이다. 만약 새로이 접한 현상의 특징을 담고 있으면서도 우리에게 익숙한 대리물을 찾을 수 있다면, 우리는 그 대리물을 모형 삼아 새로운 현상의 특징을 간접적으로 익히고 기억할 수 있다. 즉 모형은 기억을 돕는 보조 장치로서 사용될 수 있다.

예를 들어, 전지와 도선과 전구로 이루어진 전기 회로를 생각해보자. 전기 회로라는 생소한 장치를 처음 접한 학생들은 대부분 전압과 전류와 저항 사이의 관계를 이해하거나 기억하는 데 어려움을 겪는다. 전압, 전류, 저항 사이의 관계를 특징짓는 옴의 법칙을 비롯해 전지에서 생성되는 에너지와 저항에서 소비되는 에너지에 대해 수학적인 공식을 통해 배울 수도 있겠지만, 이러한 공식은 현상의 작동 방식을 전달해주는 데 2% 부족할 뿐 아니라, 때로는 공식조차도 잘 외워지지 않는다.

아래 그림과 같은 펌프-파이프-물레방아 모형은 이 부족한 2%를 채워줄 수 있다. 모형은 전지-도선-전구로 이루어진 회로의 작동을 훌륭하게 흉내내면서도 우리에게 익숙하다. 전지가 만들어내는 전압은 펌프가 끌어올린 물의 수압으로, 전류는 물의 흐름으로, 전기가 전구에 빛을 밝히는 일은 물이 물레방아를 돌리는 일로 비유됨으로써, 전기 회로의 작동에 대한 구체적인 그림이 만들어진다. 전기 회로에 완전히 익숙해지기 전까지, 학생과 같은 초보 연구자들은 전기 회로 문제를 접할 때마다 이 펌프-파이프-물레방아 모형을 머리 속에 떠올리며 전기 회로를 구성하는 요소들 사이의 관계를 더듬을 수 있다. 때로 전기 회로에 대한 공식을 까먹더라도 모형을 이용해 그 공식을 재유도할 수도 있다.

그림 2. 전기 회로와 그에 대한 수력학적 모형.

또 다른 예로 열 전달 현상에 대해 생각해보자. 일반적으로 열은 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 전달되며, 이는 열유동량(heat flux)이 온도의 기울기(gradient)에 비례한다는 수학적인 공식을 통해 표현될 수 있다. 그러나 우리는 이 현상을 수력학적인 모형을 통해서도 표현하고 기억할 수 있다. 즉 온도 차이에 의한 열 흐름을 압력 차이에 따른 물의 흐름에 빗대어 생각한다면, 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 열이 흐르는 현상은 압력이 높은 곳에서 낮은 곳으로 물이 흐르는 현상처럼 그려지게 된다. 물론 물의 흐름은 열의 흐름이 아니며, 물의 압력도 온도가 아니다. 그럼에도 열의 흐름과 온도 사이의 관계는 물의 흐름과 압력 사이의 관계와 매우 닮아 있다. 이러한 관계의 닮음 덕분에 우리는 생소한 열 전달 현상에 대해 익숙한 수력학적인 모형을 떠올릴 수 있고, 이러한 연상 작용은 새로운 현상에 대한 낯설음을 줄여주고 그 현상의 특징을 쉽게 포착하고 기억할 수 있도록 도와준다.

이해와 설명의 원천으로서의 모형

모형은 현상을 이해하고 설명하는 데에도 사용될 수 있다. 열은 왜 반대로는 흐르지 않고 꼭 높은 온도에서 낮은 온도로만 흐를까? 수력학적인 모형은 높은 온도에서 낮은 온도로 열이 흐르는 현상을 정확하게 묘사하고는 있지만, 이러한 열 전달 현상을 설명한다고 말하기에는 다소 무리가 있다. 수력학적인 모형이 열 전달 현상을 설명하기 위해서는, 수력학적 모형에서 물의 흐름이 압력에 의존하는 메커니즘과 유사한 메커니즘이 열 전달 현상에도 존재한다고 가정해야 한다. 즉, 압력 차이가 만들어내는 알짜 힘이 물을 밀어내는 것처럼 온도 차이가 만들어내는 어떤 힘이 열을 밀어낸다고 가정해야 하는 것이다. 이런 가정을 채택하여 설명을 하는 것이 불가능한 것은 아니지만, 역사적으로 이러한 설명은 진지하게 채택된 적이 없었다. 설명을 목적으로 우리는 또 다른 모형을 동원할 수 있다.

누군가는 일반적인 원소처럼 열을 관장하는 원소, 즉 ‘열소’라는 것을 가정하여, 열소 입자들 사이에 작용하는 원거리 척력에 의해 열소 입자들이 열소 입자들이 밀집한 곳에서 밀집하지 않은 쪽으로 퍼지면서 열을 전달하는 상황을 그릴 수 있다. 만약 열을 입자처럼 상상할 수만 있다면, 열 전달이라는 현상은 원거리 척력을 받는 입자들의 확산 운동이라는 보다 익숙한 상황을 모형 삼아 이해 가능한 현상이 되는 것이다. 우리는 이를 ‘열에 대한 입자-원거리력 모형’이라고 부르겠다.

다른 누군가는 열에 해당하는 별도의 물질을 가정하기보다 열의 본질을 물질의 미시적인 운동 상태처럼 생각하여, 활발하게 운동하는 물질에서 덜 활발한 물질로 운동이 전달되는 상황을 그릴 수 있다. 우리는 이를 ‘열에 대한 운동 모형’이라고 부르겠다.

각각의 모형은 열 전달 현상에 대한 그럴듯한 설명을 제공한다. 일단 온도나 열량과 같은 물리량들을 모형 내 구성요소들과 대응시키고 나면, 각 모형은 정의된 작동 원리에 의해 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 열이 흐른다는 결론으로 해석될 수 있는 상황을 자연스럽게 도출하기 때문이다. 입자-원거리력 모형에서는 입자들이 원거리 척력에 의해 퍼짐으로써, 운동 모형에서는 활발하게 운동하는 물질에서 그렇지 않은 물질로 운동이 전달됨으로써 말이다. 다시 말해, 높은 온도에서 낮은 온도로의 열 전달이라는 현상은 각 모형의 작동 원리상 당연한 일 혹은 필연적인 일이 됨으로써 설명이 이루어진다.

이러한 설명들은 여러 가지 이유로 수용되거나 거부된다. 어떤 설명은 모형이 가정하고 있는 작동 원리가 부자연스럽다는 이유로 거부되며, 어떤 설명은 모형의 작동 원리는 자연스럽지만 현상을 정확하게 도출하지 못한다는 이유로 거부된다. 때로 어떤 설명은 모형의 작동 원리도 자연스럽고 그로부터 현상도 정확하게 도출하지만 모형과 현상을 대응시키는 방식이 부자연스럽다는 이유로 거부되기도 한다.

이 책에서 다룬 맥스웰은 당시 당연하게 받아들여지던 전기 유체 입자-원거리력 모형에 대해, 그 모형이 가정하고 있던 원거리 작용이라는 원리를 의심함으로써 그 모형에 기반한 설명을 수용하기 꺼려했다. 그래서 그는 원거리 작용에 의존하지 않는 새로운 설명 모형을 고안했다. 그의 새로운 모형에서 모든 전기와 자기 작용은 특정한 운동 및 긴장 상태에 있는 매질의 작용과 대응되었으며, 이 모형은 잘 정의된 역학의 원리에 의해 자기와 전류, 정전기 및 그들 사이의 상호작용에 대한 모든 현상 법칙들을 완벽하게 도출할 수 있었다.

그러나 맥스웰의 모형에 기반한 설명도 약점이 있었다. 일단 맥스웰의 모형에서 가정된 미끄러짐 없는 완벽한 운동 전달은 비현실적이었으며, 정전기와 자기 작용을 각각 탄성 매질의 긴장 및 운동 상태와 대응시키는 맥스웰의 방식은 전기를 단순히 전기 유체 입자와 대응시키는 기존의 방식보다 훨씬 복잡했다. 이러한 이유로 맥스웰의 설명은 쉽게 수용되지 못했었다.

이론적 탐색과 예측 도구로서의 모형

현상에 대한 설명을 위해 도입되는 모형은 이론적 탐색과 예측을 위한 도구로도 사용될 수 있다. 대부분의 모형은 이미 알려진 현상들을 설명하기 위해 고안되는 것이지만, 모형 자체의 제약 사항으로 인해 일부 현상에 대해 알려진 것과 다른 묘사를 하게 되기도 하며, 모형의 작동 원리에 의해 예기치 않았던 새로운 현상을 예측할 수도 있기 때문이다.

맥스웰의 경우, 자기 현상과 전류 현상을 설명하기 위해 도입했던 소용돌이 분자-유동 바퀴 모형을 정전기 현상까지 설명할 수 있도록 변경하는 과정에서 소용돌이 분자에 탄성이라는 성질을 추가했다. 덕분에 맥스웰은 소용돌이 분자의 탄성 변형 과정에서 발생하는 변위 전류라는 새로운 현상을 상상할 수 있게 되었으며, 결국 변위 전류에 관한 항이 추가된 새로운 전자기장 방정식들을 유도할 수 있었다. 또한 전자기 작용이 일어나는 매질에 부여된 탄성은 전자기 매질에서 벌어지는 작용이 일정한 속도로 전달된다는 것을 함축하고 있었다. 맥스웰은 이 함축을 정밀하게 탐색함으로써 전자기파의 존재와 그 전파 속도를 예측할 수 있었다. 이러한 예측이 실제로 확인되었을 때, 맥스웰의 전자기장 이론은 극적으로 수용되게 되었다.

모형을 사용하지 않았다고 생각해 보자. 지금까지 어떻게 관찰된 적도 없는 변위 전류를 상상해서 그에 관한 항이 들어있는 전자기장 방정식을 만들어내고, 어떻게 본 적도 없는 전자기파의 속도를 계산할 수 있겠는가?

모형과 실재, 그리고 이론적 개념

지금까지 살펴보았듯이, 과학에서 모형은 수많은 용도로 사용되고 있다. 우리는 잘 확립되지 않은 대상을 파악하고 설명하기 위해 그와 닮아 있으면서 우리에게 익숙한 모형을 연상한다. 새로운 대상과 익숙한 모형 사이의 닮음 관계를 이용해 우리는 새로운 대상의 특징을 파악하고 기억하는 데 익숙한 모형을 사용할 수 있으며, 대상의 알려진 특징이 모형의 잘 이해된 작동 원리에 의해 자연스럽게 도출되는 경우, 우리는 그 특징이 나타나는 이유를 설명하거나 이해할 수 있는 한 가지 방식을 얻게 된다. 또한 대상에 대한 새로운 특징이 모형의 작동 원리에 의해 도출되는 경우, 우리는 새로운 예측을 얻게 된다. 맥스웰의 사례에서 보듯이, 이론적인 작업을 하는 과학자들에게 모형은 거의 필수적인 도구에 가깝다.

그러나 우리는 모형과 대상 사이의 관계가 부분적 닮음 관계에 불과하다는 점을 명심해야 한다. 맥스웰은 이 점을 무척 잘 알고 있었다. 맥스웰은 전자기 작용을 묘사하기 위해 매우 구체적이고 복잡한 소용돌이 분자 모형을 고안했지만, 그는 자신의 모형을 구성하는 모든 세부 사항들까지 실제 세계와 닮아 있을 것이라고는 주장하는 것은 과도하다고 생각했다. 전자기 작용을 묘사하는 데 자신이 만든 모형 외에도 수없이 다양한 모형을 고안할 수 있음을 알고 있었던 맥스웰은 전자기 작용을 묘사하기 위한 모형이 갖추어야 할 최소한의 특징만을 모아서 실제 세계도 그러한 특징을 갖추었을 것이라는 조심스러운 주장만을 하고자 했다. 결국 그는 전자기 작용을 묘사하는 모형이라면 구체적인 메커니즘을 모르더라도 적어도 탄성 매질로 이루어져 있어야 하고, 그 탄성 매질에서 벌어지는 모종의 탄성 변형과 운동이 우리에게 관찰되는 전기와 자기 작용과 대응될 것이라고 제안했다. 맥스웰이 보기에, 이는 최소한 받아들여질 수 있는 조심스러운 주장이었다.

오늘날에는 맥스웰의 조심스러운 주장조차도 과도한 주장이 되어버렸다. 맥스웰의 탄성 매질 모형과 실제 세계 사이의 닮은 정도가 맥스웰이 생각했던 것보다 덜한 것으로 드러났기 때문이다. 전자기 작용은 탄성 매질에서 작용이 매질을 통해 점진적으로 전달되는 것처럼 공간을 따라 점진적으로 전달되었으며, 자기 에너지와 전기 에너지는 각각 탄성 매질이 지닌 운동 에너지 및 탄성 위치 에너지와 정확히 대응되었다. 그러나 전자기 작용이 일어나는 장소로 생각되었던 탄성 매질 자체는 불필요한 것으로 폐기되어 버렸다. 매질의 작용으로 생각되던 전자기 작용은 단지 운동량과 에너지를 가진 공간의 작용으로 탈바꿈되었다. 즉 맥스웰의 탄성 매질 모형은 실제 세계와 상당한 차이가 있는 모형이 되어버린 것이다.

이러한 이유 때문에, 어떤 이들은 모형이 이론을 만들어가는 과정에서는 유용하지만 이론이 완성된 이후에는 모형을 폐기해야 한다고 주장하기도 한다. 그러나 실제 세계와 상당한 차이가 드러난 모형조차도 이론적 개념을 이해하는 데 매우 중요한 역할을 한다. 예컨대 오늘날 전자기장은 상식적인 물질관을 가진 사람에게 무척이나 이해하기 어려운 개념 중 하나이다. 공간을 차지하고 있으며 운동량과 에너지를 가지고 있지만, 질량을 가지고 있지는 않은 그런 존재 말이다. 전자기장은 물질인가? 힘인가? 공간 자체인가? 이러한 알쏭달쏭한 개념을 즉시 이해하는 것은 불가능하다. 다만 우리는 그와 부분적으로 닮은 모형의 도움을 받아 그 존재를 차츰 상상할 수 있다. 애초에 맥스웰은 전자기장을 상상하기 위해 운동량과 에너지를 가진 탄성 매질의 상태를 떠올렸다. 이제 우리는 거기에서 질량이라는 속성만 빼면 된다. 이는 우리가 괴물을 상상해내는 과정과 똑같다. 우리가 알고 있는 대상과 모든 것이 다른 괴물은 애초에 상상할 수가 없다. 그러나 우리가 알고 있는 것들을 더하고 뺀 괴물은 상상할 수 있다. 그래서 눈은 세 개고, 입은 두 개이며, 코는 없고, 뿔이 세 개 달린 괴물을 만들어낼 수가 있는 것이다. 즉 우리가 이론적 존재를 상상하고 그에 대한 개념을 교정할 수 있는 것은 우리가 상상할 수 있는 모형과의 유사점과 차이점을 통해서뿐이다. 그래서 이론적 개념을 이해하기 위해서는 이미 실재와의 차이가 확연히 드러난 모형조차도 필요해지는 법이다.

패러데이 & 맥스웰의 목차

정동욱, 『패러데이 & 맥스웰 : 공간에 펼쳐진 힘의 무대』 (김영사, 2010)